~~~~~~~
zur Übersicht
DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

- - - - - - - - - - - - - - - - - -
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

Lösungen der Knobelaufgaben des DENKmal Wettbewerbes von 1997

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



  ?-)


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 9. Aufgabe   vom 15.12.97

Wie alt sind die vier Bauarbeiter ?

Gesucht sind vier Quadratzahlen, davon ergeben zwei bei der Subtraktion von 15 wieder eine Quadratzahl:
 16 - 15 =   1    ! Lösung 1

*25 - 15 =  10    ? 25
*36 - 15 =  21    ? 36
 49 - 15 =  34  
 64 - 15 =  49    ! Lösung 2

 81 - 15 =  66
100 - 15 =  85
  1 + 15 =  16     ! Lösung 1
  4 + 15 =  19     ? 19
  9 + 15 =  24     ? 24
 16 + 15 =  31     ? 31
 25 + 15 =  40     ? 40
 36 + 15 =  51    
 49 + 15 =  64     ! Lösung 2
 64 + 15 =  79
 81 + 15 =  96
Nachdem man die ersten beiden Lösungen 
sofort erkennen kann:
 1 + 15 =  16     
49 + 15 =  64     

Nach dem subtrahieren der gefundenen Werte,
129 - 16 - 64 =  49 
ergibt sich für die beiden anderen Lösungen die Summe 49:

nach dem testen der verbleibenden Möglichkeiten 
findet man die beiden anderen gesuchten Zahlen:
 49 = 25 + 24  
(49 = 36 + 13 erfüllt nicht die Bedingungen)
Damit ergibt sich, dass die vier Bauarbeiter 16, 24, 25 und 64 Jahre alt sein müssen, um den Bedingungen zu genügen.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur Sonderaufgabe ]  [ zur 9. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 8. Aufgabe   vom 8.12.97

Wieviel Nüsse erhielt zum Schluß jeder Matrose mindestens ? ?

aus der Gesamtzahl der Nüsse ergibt sich:

 G = 5 * x1 + 1      G: Gesamtzahl der gesammelten Nüsse
x1 = 5 * x2 + 1/4           
x2 = 5 * x3 + 1/4    R: restliche Nüsse,        
x3 = 5 * x4 + 1/4       (die jeder Matrose zuletzt bekommt)
x4 = 5 * x5 + 1/4
x5 = 5 * R  + 1/4    x1 bis x5 : die jeweiligen Teilmengen an Nüssen

Gleichungen zusammenfassen:

G=5*(5/4*(5/4*(5/4*(5/4*(5/4* R +1/4)+1/4)+1/4)+1/4)+1/4)+1 

Klammern auflösen  :

G=5*(5/4*(5/4*(5/4*(  5^2/4^2* R +5/4^2)+1/4)+1/4)+1/4)+1/4)+1 

...

G=5*(5^5/4^5 * R    +      5^4/4^5 + 5^3/4^4 + 5^2/4^3 + 5/4^2 + 1/4 )+1

G=    5^6/4^5 * R    +      5^5/4^5 + 5^4/4^4 + 5^3/4^3 + 5^2/4^2 + 5/4 + 1


G=    5^6/4^5 * R    +    [5^5/4^5 + 5^4/4^4 + 5^3/4^3 + 5^2/4^2 + 5/4+1]

in der eckigen Klammer befindet sich eine geometrische Zahlenfolge, 
deren Summe man mit der Formel: 
Reihe  
a > 0 ; q ungleich 1  berechnen kann.

Im konkreten Fall gilt: a = 1
                        n = 6

                        q = 5/4


G =  5^6/4^5 * R    +  [1 * Formel]

G =  5^6/4^5 * R    +  [-4 +  5^6/4^5]

G =  5^6/4^5 * ( R + 1) - 4

G =  r+1/4^5 * 5^6 - 4

G =  r+1/1024 * 15625 - 4


G ist eine positive Zahl und 
gesucht wird  für die Lösung die kleinste natürliche Zahl .

daraus folgt dass der Quotient r+1/1024 gleich 1 sein muss.

Das ist genau dann der Fall, wenn R = 1023 ist.

Damit ergibt sich dann für  G = 15621 !

Die Matrosen haben also mindestens 15621 Nüsse gesammelt, 
die sie auf ihre Weise so verteilten, 
dass am Ende noch einmal jeder 1024 Nüsse bekam.



Die Aufgabe fuehrt allerdings noch zu weiteren Erkenntnissen:
von Kai Kirchwehm          

1. Wenn es darum geht, Nüsse zu bewachen, sieh zu, dass Du die erste Schicht uebernimmst.

2. Auch wenn mir inzwischen das Schema zur Berechnung weiterer Lösungen klar ist bin ich heilfroh, dass nicht noch mehr Matrosen auf dieser gottverlassenen Insel gelandet sind ...

3. Insbesondere der erste Matrose konnte wieselflink zaehlen - hat sich auch ganz bestimmt keiner verzaehlt? Wie veraendert sich die Loesung der Aufgabe, wenn sich jeder Matrose um 10% zu seinen Gunsten verzaehlt hat?

4. In Anbetracht der Tatsache, dass ihm in der naeheren Umgebung die Nahrungsgrundlage weitgehend entzogen wurde - wenn es da noch etwas anderes gegeben haette, haetten sich die gierigen Matrosen wohl schon darueber hergemacht -, ist der Affe mit seinen 6 Nuessen ziemlich schlecht weggekommen.

5. Die Moral der Matrosen ist doch sehr bedenklich: Hat wirklich keiner zugegeben, dass er seinen Anteil schon beiseite geschafft hatte?

Darueber koennte man ins Philosophieren geraten ...

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 9. Aufgabe ]  [ zur 8. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 7. Aufgabe   vom 24.11.97

Unter welcher Telefonnummer konnten wir Peter erreichen ?

	1) (a b c ) *  4 = ( d e f ) daraus folgt  f gerade; 
	   => a < 3, da sonst (d e f) nicht 3 stellig, 
	   => a = 1 oder a = 2, ausserdem d >= 4
	2) c = d
	3) b = 2a
	4) c = 2b oder  c = b + 2
	---------------------------------------------------------
	5) (3),(1) => b = 2 oder b = 4
	6) (4),(5) => c ist El. {4,6,8}
	7) (6),(2) => d ist El. {4,6,8}
	8) Fall I: 
	       a = 2 => b=4 (3) 
	             => c = 6 oder c = 8 (4)
	             => a b c * 4 => d e f >= 984 
	             d.h. d <> c => keine Lsg.
	9) Fall II:
	       a = 1 => b = 2 => c = 4 => d = 4
	             => a b c * 4 = 4 9 6 = d e f

	             => Lsg: abc def = 124 496
	               =========================

Die Nummer, unter der wir Peter erreichen konnten 
   war: 124 496 bzw. 12 44 96 !
  (Auch die Nummer 00 00 00  erfüllt alle Bedingungen 
  - wird aber nicht als Telefonnummer benutzt)
~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 8. Aufgabe ]  [ zur 7. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 6. Aufgabe   vom 10.11.97

Wieviele verschiedene Varianten bieten sich Herrn Müller, um auf seine Weise vom Erdboden auf die oberste Sprosse zu gelangen ?

Im mathematischen Sinne besteht die Aufgabe darin,
die Zahlen 1,2 und 3 in unterschiedlichen Reihenfolgen
anzuordneten unter der Bedingung, dass die Summe der
Zahlen immer 7 ergibt.

a) systematisches Probieren:
alle Moeglichkeiten systematisch aufschreiben:
    (die Zahl gibt die Anzahl der Sprossen an)
[1 1 1 1 1 1 1]
 1 1 1 1 1 2
 1 1 1 1 2 1
 ...
 1 3 3
 1 3 1
 3 3 1
Wenn man das konsequent ausführt (über ein paar Stunden hinweg ..;-) )
kommt man auf 44 Möglichkeiten.

b)unter Verwendung von Grundlagen der Kombinatorik 
Unter der Bedingung, dass die Summe der Zahlen 
immer 7 ergibt, kann man diese Zahlenkombinationen 
zunächst einmal geordnet aufschreiben:

[(1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7]
 (2) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2     = 7
 (3) 1 + 1 + 1 + 1 + 3         = 7
 (4) 1 + 1 + 1 + 2 + 2         = 7
 (5) 1 + 1 + 2 + 3             = 7
 (6) 1 + 2 + 2 + 2             = 7
 (7) 1 + 3 + 3                 = 7
 (8) 2 + 2 + 3                 = 7

Da die Reihenfolge, wann Herr Müller z.B 1 , 2 oder 3
Stufen auf einmal nimmt eine Rolle spielt, muss man
jede der 8 Möglichkeiten  noch permutieren, d.h. alle mög-
lichen Reihenfolgen bilden:

( ich habe bei der Darstellung der Lösung neben der anschaulichen 
  Lösung auch die Formel für Permutation : 
  n! / (p1! * p2! * ... *pm!) mit  p1 + p2 + ... + pm = n benutzt.
  Wobei n Elemente in m Gruppen zu je p1,p2,...,pm gleichen Elementen 
  so zusammengefaßt sind, so dass die pi! Permutation 
  der Elemente pi( i= 1,2...,m) als gleich gelten.)

[(1):  1  nur eine Anordnung möglich ]

 (2):  6 Permutationen (die 2 kann überall sein )     
          bzw. 6! / (5! * 1!)= 6 da 6 Elemente und 5 mal 1 und 1 mal 2
 (3):  5 Permutationen  (die 3 kann überall sein)
          bzw. 5! / (4! * 1!)= 5
 (4): 10 Permutationen  (4+3+2+1; die eine 2 kann an 4 Stellen stehen, 
         für die andere bleiben dann 4,3,2 oder 1 Möglichkeit/en)
          bzw. 5! / (3! * 2!)= 10
 (5): 12 Permutationen  ( 4*3; zB. 4 Positionen für die 3 
         mit jeweils 3 Möglichkeiten für die 2 )
          bzw. 4! / (2! * 1! * 1!)= 12
 (6):  4 Permutationen  (die 1 kann überall sein)
          bzw. 4! / (3! * 1!)= 4
 (7):  3 Permutationen  (die 1 kann überall sein)
          bzw. 3! / (2! * 1!)= 3
 (8):  3 Permutationen  (die 3 kann überall sein)
          bzw. 3! / (2! * 1!)= 6
    ---
     44 Möglichkeiten
 

Laut Aufgabentext entfällt die Möglichkeit 7 mal 1 Sprosse 
[..nicht ausschließlich nur eine Sprosse, ...]
und damit ergibt sich als Lösung :
Er hat 43 verschiedene Möglichkeiten, 
die Leiter auf die angegebene Weise hinaufzukommen.

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 7. Aufgabe ]  [ zur 6. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 5. Aufgabe   vom 27.10.97

Ist nun mehr Wasser im Wein oder Wein im Wasser?

diesmal gebe ich für die Aufgabe gleich mehrere Lösungsvorschläge an.

1. die "logische Lösung"
           von Kai Kirchwehm

es befindet sich genausoviel Wein im Wasserglas wie Wasser im Weinglas.
Da beide Gläser genausoviel Flüssigkeit enthalten wie vorher und sich
die Menge der einzelnen Flüssigkeiten nicht ändert, muss zwangsläufig 
die Menge, die aus dem einen Glas entnommen wird, im anderen aufgefüllt
werden und umgekehrt. Dabei ist es übrigens völlig unerheblich, ob man
gründlich umrührt oder beim Zurückschütten eine beliebige "Mischung"
erwischt.

2. die "rechnerische Lösung":
(als Beispiel gebe ich hier die Lösung von Thomas Strohmann wieder,
da er es geschafft hat, 
durch einen Trick die Rechnung wesentlich zu vereinfachen)

Ich wähle folgende Bezeichnungen:

Variablen (in beliebiger Volumeneinheit z.B. ml)
x - Volumen an Wasser im Wasserglas 
x = Volumen an Wein im Weinglas (eigentlich x1)
    aber x1 = x   [TRICK !]
e - Volumen eines Eßlöffels

Ausgangssituation:

Glas            1 (Wasser)         2 (Wein)
Wasservolumen       x                 0
Weinvolumen         0                 x

Wenn man nun aus einem Glas ein bestimmtes Volumen
(das des Eßlöffels: e) Flüssigkeit entnimmt, so 
entnimmt man von jedem Stoff (Wasser oder Wein) nur den
Volumenanteil, den der Stoff im Gemisch hat, also:

                            Volumen Stoff
                      e * --------------------
                          Volumen des Gemischs


Beispiel 1.Umfüllen:

Wasserentnahme:   e * x / (x+0) = e
Weinentnahme:     e * 0 / (x+0) = 0

die Werte erscheinen ja auch irgendwie logisch ;-)

Nun haben wir diese Situation:

Glas            1 (Wasser)      2 (Wein)
Wasservolumen      x - e          0 + e
Weinvolumen         0               x

Jetzt wird es beim 2. Umfüllen interessanter:

Wir entnehmen also aus dem Weinglas folgende Volumina:

Wasser: e * e / (e+x) = e2 / (e+x)
Wein:   e * x / (e+x)

Die Endsituation müssen wir nur noch mit ein paar
Bruchumformungen ausrechnen:

Glas 1 (Wasserglas):
Wasservolumen:
x - e + e2 / (e+x) 
= (x2 - e2 + e2) / (e+x) 
= x2 / (e+x)   <-------------------------
Weinvolumen:                              | 
0 + e * x / (e+x)                         |
= e * x / (e+x) <--------------------     |
                                     |    |
Glas 2 (Weinglas):         je identische Werte da x=y !!!
Wasservolumen:                       |    |
e - e2 / (e+x)                       |    |
= (e2 + e * x - e2) / (e+x)          |    |
= e * x / (e+x) <--------------------     |
Weinvolumen:                              |
x - e * x / (e+x)                         |
= (e * x + x2 - e * x) / (e+x)            |
= x2 / (e+x)   <-------------------------

und hier noch folgende Ergänzung von Wolfgang Schechinger :

Soviel zur Theorie. In der Praxis sieht es nämlich anders aus. Wasser und Wein sind durchaus nicht ähnliche Flüssigkeiten: Wenn man beide mischt, darf man auf gar keinen Fall die beiden Volumina addieren. jetzt mischt sich der Physikochemiker ein.... ;-))

Die Teilchen von Wasser und Wein sind unterschiedlich groß. Während beim Wasser nur eine Teilchensorte da ist, nämlich Wassermoleküle, sind bei Wein verschiedene Moleküle da, z.B. Wasser-, Alkohol- und Zuckermoleküle. Wenn man nur Wassermoleküle zum Wein gibt, dann schaffen es einige, in irgendwelche Lücken zwischen den Wasser-, Zucker- und Weinmoleküle zu schlüpfen, sie brauchen faktisch weniger Platz, als wenn man Wassermoleküle zu Wassermolekülen gibt. (Ein schöner Versuch, der das verdeutlicht, ist das Vermischen von 50ml Wasser und 50ml Ethylalkohol: Das Volumen der Mischung liegt deutlich unter 100ml - bei etwa 95ml, genau aus dem genannten Grund.) Dieser Effekt wird durch die Größe "Covolumen" beschrieben. Sie ist abhängig von der Zusammensetzung der Mischung. Im Klartext: Der Wert des Covolumens für Alkohol in einer 99% (vol) wässrigen Lösung ist ein anderer als der des Wassers in 99% (vol) Alkohol.

Was bedeutet das für die vorliegende Aufgabe?

Das Gesamtvolumen der Flüssigkeit im Weinglas, das bei der Berechnung der Zusammensetzung verwendet wird, ist kleiner als die Summe der beiden Teilvolumina, also kleiner als 105 ml. Damit ist z.B. in der 5ml-Probe, die ich in das Wasserglas zurückbringe, mehr Wein als im obigen Idealbeispiel. Es wird also mehr Wein in das Wasserglas gebracht, als berechnet. Wenn die Werte für das Covolumen von Wasser in Wein anders sind als die des Covolumens von Wein in Wasser (in Abhängigkeit des übertragenen Volumens p und das muss für den Normalfall angenommen werden), haben nach dem Hin- und Hertransferieren der Flüssigkeiten mit dem Löffel die Flüsigkeiten in den beiden Gläsern nichtideale Zusammensetzungen im Sinne der Berechnung (und damit sogar unterschiedliche Volumina).

Und für den Alltag, zum Beispiel das Herstellen einer Radler-Maß oder einer Schorle? Nichts. Erstens hält sich in der Praxis keiner an die physikalische Chemie und zweitens sind die Unterschiede so klein, dass sie nicht auffallen, solange man nicht extreme Versuche anstellt.
- - - danke für den Hinweis, Wolfgang ! - - -

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur neuen Aufgabe ]  [ zur Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 4. Aufgabe   vom 13.10.97

Wie alt waren die drei Personen ?

Die Differenz zwischen zwei beliebigen Zahlen mit vertauschten Ziffern
ist immer ein Vielfaches von 9 ( oder 9 selbst)!
- wer möchte kann diesen netten kleinen Zahlenbeweis selbst durchführen !

Geht man nun von den Vielfachen von 9 aus, so kann man daraus jeweils die Zahl C bestimmen,
woraus sich dann jeweils B und A ergibt.
Aber nur, wenn das "Vielfache von Neun" genau gleich der "Differenz von A und B" ist,
dann sind ALLE Bedingungen erfüllt !

_______________________________________
 Vielfaches
von 9
 
( x )
 Hälfte
von x
 
( C )
 Zehnfache
von C
 
( B )
 Vetauschen
der Ziffern
von B
 ( A ) 
 Differenz
von
(A) und (B)
( y )
 Hälfte
von y
 
( C )
 Vergleich
von
 
x und y
_______________________________________
  9   4,5 45 54   9   4,5   9 ist gleich 9
Lösung der Aufgabe !
_______________________________________
18   9 90 09 81 40,5 18 ungleich 81
(Widerspruch für C !!!)
_______________________________________
27 13,5 135 --- --- ---    
---
   
_______________________________________
36
45
...
18
22,5
...
schon das Zehnfache von 18 übersteigt wesentlich das Alter eines Menschen ;-))
_______________________________________

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 5. Aufgabe ]  [ zur 4. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 3. Aufgabe   vom 29.9.97

An wieviel Geburtstagen wird der Sohn besucht und erhält ein Geldgeschenk?

Ich wähle folgende Bezeichnungen:
a: Alter des Sohnes zum Zeitpunkt des Gespräches
z: Anzahl der Besuche

Summe : 600 = (a + 1) + ( a + 2 ) + ( a + 3 ) + . . . . + ( a + z ) 
zusammengefaßt: 600 =  z * a  + ( 1 + 2 + 3 + ... + z )  
        600 =  z * a  + z * ( z + 1 ) / 2  
          a = 600 / z - ( 1 + z ) / 2 
Bedingung : z und a müssen natürliche Zahlen sein 
            und a < 18 (minderjährig), 
            durch systematisches probieren stellt man fest, 
		dass nur für z = 25  
            alle Bedingungen erfüllt sind :

            Es sind also insgesamt 25 Besuche , 
            der Junge ist 11 Jahre als sein Vater stirbt
            und bekommt zu seinem 12.Geburtstag 
            das erste Mal Dukaten ausgezahlt.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 4. Aufgabe ]  [ zur 3. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 2. Aufgabe   vom 15.9.97

Diese Aufgabe, unter 12 gleichen Kugeln die herauszufinden, 
deren Gewicht etwas abweicht, lässt sich auf verschiedene Arten lösen.
Hier also nur ein Beispiel.
(gemeinsam ist allen Lösungen, dass man bei Wiegen 
mit zwei "Viererpaketen" beginnt, 
bei der zweiten Wägung nach einem bestimmten Schema 
Kugeln zwischen rechts und links austauscht
und stets, aus gewogenen Kugeln auf nicht gewogene Kugeln, 
Rückschlüsse zieht.)


Die Kugeln werden in 3 Pakete (a, b, c) zu je 4 Kugeln unterteilt und entsprechend bezeichnet: a-Paket: a1,a2,a3,a4 b-Paket: b1, b2, b3, b4 c-Paket: c1, c2, c3, c4 . 1.Wägung: 1. Es werden bei der 1. Wägung je 4 Kugeln vom a-Paket(a-Kugeln) und b-Paket(b-Kugeln) gewogen. [da die Bezeichnung willkürlich gewählt wurde, ändert das nichts an der Allgemeingültigkeit] dabei können 3 Zustände auftreten : die linke Seite ist leichter als die rechte , beide Seiten haben das gleiche Gewicht oder die linke Seite ist schwerer als die rechte 2.Wägung/3.Wägung: 2a. Bei Gleichgewicht sollte es keine Probleme geben, wenn man 3 Kugeln aus dem c-Paket gegen 3 "neutrale" Kugeln zB aus dem a-Paket wiegt. ______________________________________________________ 2a1.Bei Gleichstand ist die einzige, bisher ungewogene Kugel aus dem c-Paket die abweichende - 2a2.anderenfalls muss man in der dritten Wägung zwei der drei gerade gewogenen Kugeln aus c gegeneinander wiegen. Aus der Waagestellung ergibt sich, welche Kugel die abweichende ist. (Wenn die Kugeln aus Paket c leichter waren als die neutralen aus a, dann ist bei der letzten Wägung die leichtere Kugel die abweichende ) 2a3.bei Gleichstand ist die 3. c-Kugel die abweichende . (- analog gilt es, wenn die c-Kugeln schwerer waren als die "neutralen".)

2b. Die a-Kugeln sind leichter als die b-Kugeln ( ganz analog geht man für "schwerer" vor) man sortiert die Kugeln folgendermaßen in die Waagschalen: links: 3 leichte 1 schwere und rechts: 1 leichte 3 neutrale. (nebenbei: die 4 ungewogenen c-Kugeln haben ein "neutrales" Gewicht) ______________________________________________________ 2b1.beide Seiten wiegen gleich die gesuchte Kugel befindet sich unter den drei, nicht zum 2.mal gewogenen b-Kugeln - es werden 2 der 3 Kugeln gegeneinander gewogen die schwerere Kugel ist die gesuchte - bei Gleichstand ist die 3. die gesuchte. 2b2.die linke Seite ist schwerer daraus folgt: entweder ist die "schwere Kugel von links" die gesuchte oder die "leichte von rechts" - eine der beiden Kugeln gegen eine "neutrale" auswiegen; bei Gleichstand ist die andere die gesuchte, ansonsten sie selbst. 2b3.die linke Seite ist leichter daraus folgt: eine der 3 "leichten Kugeln von links" ist die gesuchte es werden 2 der 3 Kugeln gegeneinander gewogen die leichtere Kugel ist die gesuchte - bei Gleichstand ist die 3. die gesuchte.

Wer Interesse an einem vollständigen "Lösungsbaum" hat, kann ihn hier ansehen.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 3. Aufgabe ]  [ zur 2. Aufgabe zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 1. Aufgabe   vom 1.9.97

  
  Welche Ziffern stehen an Stelle der Sternchen ?

  * * * * * * * *  :  * *  =  * * 8 * * * 
  * * *
  -----
        * *
        * *
        ---
            * * *
            * * *
            ----- 



Die Aufgabe hat genau eine Lösung : 1 0 8 9 6 1 0 8 : 1 2 = 9 0 8 0 0 9 1 0 8 ----- 9 6 9 6 --- 1 0 8 1 0 8 ----- Die 8 an der dritten Stelle des Quotienten gibt den Hinweis,dass als Divisor nur die Zahlen 10 , 11 oder 12 in Betracht kommen. Aber nur die 12 liefert zusammen mit der 9 ein dreistelliges Produkt. (Bei allen anderen Lösungen käme es zu einer anderen Schreibweise im "Rattenschwanz".)

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 2. Aufgabe ]  [ zur 1. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 10. Aufgabe  

Marie sagt: "Vorgestern war ich 9 und nächstes Jahr werde ich 12."
kann das stimmen, oder hat Marie geflunkert?

Marie hat Silvester Geburtstag gefeiert und führt dieses Gespräch dann am 1.Januar.
Sie ist 10 Jahre alt geworden und war 2 Tage vorher, also am 30. Dez. 9 Jahre alt.
Am Ende des Jahres feiert Marie den 11. und im nächsten Jahr den 12. Geburtstag.
Somit sind alle Bedingungen erfüllt und das Gespräch kann so stattgefunden haben.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 11. Aufgabe ]  [ zur 10. Aufgabe zurück ]        

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 11. Aufgabe  

ich gebe 3 mal die Hälfte meiner Eier und ein halbes ab und habe keine Eier mehr.

Berechnung rückwärts..

Beginn:
Anzahl der Eier Minus die Hälfte und ein Halbes ist gleich 0.

x1 - x1/2 - 1/2 = 0
x1 = 1
x2 - x2/2 - 1/2 = 1
x2 = 3
x3 - x3/2 - 1/2 = 3
x3 = 7

Somit hatte ich zu Beginn genau 7 Eier und gebe 3,5 + 0,5 = 4 Eier ab...
und behalte noch 3 Eier. Davon gebe ich 1,5 + 0,5 = 2 Eier ab ...
und behalte noch 1 Ei. Davon gebe ich 0,5 + 0,5 = 1 Ei ab ...
und habe alle Eier verborgt.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 12. Aufgabe ]  [ zur 11. Aufgabe zurück ]                

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Lösung der 12. Aufgabe  

Der Faulenzer und der Teufel

Wieviel Geld hatte der Faulenzer am Anfang?

Am Besten beginnt man die Aufgabe "am Ende". Nach dem dritten Gang über die Brücke hatte der Faulenzer genau 24 Pfennig, die er dem Teufel abgeben musste. Bevor er das dritte Mal über die Brücke ging hatte er also 12 Pf.

.------------------------------------------------.
|               | Geld     |  Geld    | Gang     |
| nachdem der   | nach der |  vor der | über die |
| Teufel seinen | Brücke   |  Brücke  | Brücke   |
| Anteil hat    |( + 24 )  | (Hälfte) |          |
|---------------+----------+----------+----------|
|   0 Pf        | 24 Pf    |  12 Pf   | 3. Mal   |
|  12 Pf        | 36 Pf    |  18 Pf   | 2. Mal   |
|  18 Pf        | 42 Pf    |  21 Pf   | 1. Mal   |
.------------------------------------------------.
Der Faulenzer hat also 21 Pf in der Tasche, als er dem Teufel begegnet.

 

~~~~~~~
Seiten- anfang
- - - - Seitenanfang

Uebersicht
- - - - Seitenende

 ?-)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 [ zur 12. Aufgabe ]  [ zur 12. Aufgabe zurück ]                

 

 

 

 

 

 

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



  ?-)


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


          und jetzt mit über 100 Lösungen :

Die  Aufgabe  vom 2.7.97

(Das ehemalige Sommerrätsel !)



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


        1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 
Zwischen den Ziffern sind Operatoren so einzufügen, dass die Rechnung stimmt.
       
        Beispiel 1:  123 - 45 - 67 + 89                = 100 

        Beispiel 2:  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9 = 100
zugeschickt von: Manuela !  


Lösungen : 
        (1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 6 - 7 + 8 + 9      = 100   
                                                 von Manuela
        (1 + 2 + 3) * (4 + 5 + 6) - 7 + 8 + 9    = 100          
                                                 von Manuela
        1 - 2 + (3 + 4) * (5 + 6) + 7 + 8 + 9    = 100          
                                                 von Manuela


        1 * 2 + 3² + 4² - 5² + 6² + 7 + 8² - 9 = 100  
                                                 von Manuela
        (1 + 2 + 3) / wurzel(4) * 5 * 6 - 7 + 8 + 9 = 100  
                                                 von Manuela
        1 * 2² + (3 + 4 + 5) * 6 + 7 + 8 + 9 = 100  
                                                 von Manuela
        1 * 2 + 3 * wurzel(4) + 5 * 6 + 7 * 8 + wurzel(9)! = 100  
                                                 von Manuela
        (1 + 2 + 3! - wurzel(4) - 5! + 6! - 7) : ( kubikwurzel(8) * wurzel(9) ) = 100  
                                                 von Gunter
        1 + 2 + 3 + 4 + 5! - 6 - 7 - 8 - 9 = 100  
                                                 von Gerd Ronniger
        (1 * 2 - 3! + 4!) * 5 - 6 + 7 + 8 - 9 = 100  
                                                 von Gunter
        1 + 2² - 3! + 4 + 5² + 6 + 7² + 8 + 9 = 100  
                                                 von Gerd Ronniger

        und hier noch einhundertundeine Lösung  von Thomas Wegmeyer 
        - alle nur mit den Grundrechenarten  !!
        ____________________________________________________________

        Lösung 001:  123 + 45 - 67 + 8 - 9             = 100
        Lösung 002:  123 + 4 - 5 + 67 - 89             = 100
        Lösung 003:  123 + 4 * 5 - 6 * 7 + 8 - 9       = 100
        Lösung 004:  123 - 45 - 67 + 89                = 100 
                            (* siehe auch Beispiellösung 2!)
        Lösung 005:  123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9       = 100
        Lösung 006:  12 + 34 + 5 * 6 + 7 + 8 + 9       = 100
        Lösung 007:  12 + 34 - 5 + 6 * 7 + 8 + 9       = 100
        Lösung 008:  12 + 34 - 5 - 6 + 7 * 8 + 9       = 100
        Lösung 009:  12 + 34 - 5 - 6 - 7 + 8 * 9       = 100
        Lösung 010:  12 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 89       = 100
        Lösung 011:  12 + 3 + 4 - 56/7 + 89            = 100
        Lösung 012:  12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9       = 100
        Lösung 013:  12 + 3 * 45 + 6 * 7 - 89          = 100
        Lösung 014:  12 + 3 * 4 + 5 + 6 + 7 * 8 + 9    = 100
        Lösung 015:  12 + 3 * 4 + 5 + 6 - 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 016:  12 + 3 * 4 - 5 - 6 + 78 + 9       = 100
        Lösung 017:  12 - 3 + 4 * 5 + 6 + 7 * 8 + 9    = 100
        Lösung 018:  12 - 3 + 4 * 5 + 6 - 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 019:  12 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 89       = 100
        Lösung 020:  12 - 3 - 4 + 5 * 6 + 7 * 8 + 9    = 100
        Lösung 021:  12 - 3 - 4 + 5 * 6 - 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 022:  12/3 + 4 * 5 - 6 - 7 + 89         = 100
        Lösung 023:  12/3 + 4 * 5 * 6 - 7 - 8 - 9      = 100
        Lösung 024:  12/3 + 4 * 5 * 6 * 7 : 8 - 9      = 100
        Lösung 025:  12 : (3 * 4) + 5 * 6 + 78 - 9     = 100
        Lösung 026:  12 * 3 - 4 + 5 - 6 + 78 - 9       = 100
        Lösung 027:  12 * 3 - 4 - 5 - 6 + 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 028:  12 * 3 - 4 * 5 + 67 + 8 + 9       = 100
        Lösung 029:  1 + 234 - 56 - 7 - 8 * 9          = 100
        Lösung 030:  1 + 234 * 5 : 6 - 7 - 89          = 100
        Lösung 031:  1 + 234 * 5 * 6 : 78 + 9          = 100
        Lösung 032:  1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9       = 100
        Lösung 033:  1 + 23 - 4 + 56/7 + 8 * 9         = 100
        Lösung 034:  1 + 23 - 4 + 5 + 6 + 78 - 9       = 100
        Lösung 035:  1 + 23 - 4 - 5 + 6 + 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 036:  1 + 23 * 4 + 56/7 + 8 - 9         = 100
        Lösung 037:  1 + 23 * 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9    = 100
        Lösung 038:  1 + 23 * 4 - 5 + 6 + 7 + 8 - 9    = 100
        Lösung 039:  1 + 2 + 34 - 5 + 67 - 8 + 9       = 100
        Lösung 040:  1 + 2 + 34 * 5 + 6 - 7 - 8 * 9    = 100
        Lösung 041:  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9 = 100 
                            (* siehe auch Beispiellösung 1!)
        Lösung 042:  1 + 2 + 3 - 45 + 67 + 8 * 9       = 100 
        Lösung 043:  1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9    = 100
        Lösung 044:  1 + 2 + 3 - 4 * 5 + 6 * 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 045:  1 + 2 + 3 * 4 - 5 - 6 + 7 + 89    = 100
        Lösung 046:  1 + 2 + 3 * 4 * 56/7 - 8 + 9      = 100
        Lösung 047:  1 + 2 + 3 * 4 * 5 : 6 + 78 + 9    = 100
        Lösung 048:  1 + 2 - 3 * 4 + 5 * 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 049:  1 + 2 - 3 * 4 - 5 + 6 * 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 050:  1 + 2 * 34 - 56 + 78 + 9          = 100
        Lösung 051:  1 + 2 * 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9    = 100
        Lösung 052:  1 + 2 * 3 + 4 * 5 - 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 053:  1 + 2 * 3 - 4 + 56/7 + 89         = 100
        Lösung 054:  1 + 2 * 3 - 4 - 5 + 6 + 7 + 89    = 100
        Lösung 055:  1 + 2 * 3 * 4 * 5 : 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 056:  1 - 23 + 4 * 5 + 6 + 7 + 89       = 100
        Lösung 057:  1 - 23 - 4 + 5 * 6 + 7 + 89       = 100
        Lösung 058:  1 - 23 - 4 - 5 + 6 * 7 + 89       = 100
        Lösung 059:  1 - 2 + 3 + 45 + 6 + 7 * 8 - 9    = 100
        Lösung 060:  1 - 2 + 3 * 4 + 5 + 67 + 8 + 9    = 100
        Lösung 061:  1 - 2 + 3 * 4 * 5 + 6 * 7 + 8 - 9 = 100
        Lösung 062:  1 - 2 + 3 * 4 * 5 - 6 + 7 * 8 - 9 = 100
        Lösung 063:  1 - 2 - 34 + 56 + 7 + 8 * 9       = 100
        Lösung 064:  1 - 2 - 3 + 45 + 6 * 7 + 8 + 9    = 100
        Lösung 065:  1 - 2 - 3 + 45 - 6 + 7 * 8 + 9    = 100
        Lösung 066:  1 - 2 - 3 + 45 - 6 - 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 067:  1 - 2 - 3 + 4 * 56/7 + 8 * 9      = 100
        Lösung 068:  1 - 2 - 3 + 4 * 5 + 67 + 8 + 9    = 100
        Lösung 069:  1 - 2 * 3 + 4 * 5 + 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 070:  1 - 2 * 3 - 4 + 5 * 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 071:  1 - 2 * 3 - 4 - 5 + 6 * 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 072:  1 : (2 * 3) * 456 + 7 + 8 + 9     = 100
        Lösung 073:  1/2 * 34 - 5 + 6 - 7 + 89         = 100
        Lösung 074:  1/2 * 3/4 * 56 + 7 + 8 * 9        = 100
        Lösung 075:  1 * 234 + 5 - 67 - 8 * 9          = 100
        Lösung 076:  1 * 23 + 4 + 56/7 * 8 + 9         = 100
        Lösung 077:  1 * 23 + 4 + 5 + 67 - 8 + 9       = 100
        Lösung 078:  1 * 23 - 4 + 5 - 6 - 7 + 89       = 100
        Lösung 079:  1 * 23 - 4 - 56/7 + 89            = 100
        Lösung 080:  1 * 23 * 4 - 56 : (7 * 8) + 9     = 100
        Lösung 081:  1 * 2 + 34 + 56 + 7 - 8 + 9       = 100
        Lösung 082:  1 * 2 + 34 + 5 + 6 * 7 + 8 + 9    = 100
        Lösung 083:  1 * 2 + 34 + 5 - 6 + 7 * 8 + 9    = 100
        Lösung 084:  1 * 2 + 34 + 5 - 6 - 7 + 8 * 9    = 100
        Lösung 085:  1 * 2 + 34 - 56/7 + 8 * 9         = 100
        Lösung 086:  1 * 2 + 3 + 45 + 67 - 8 - 9       = 100
        Lösung 087:  1 * 2 + 3 + 4 * 5 + 6 + 78 - 9    = 100
        Lösung 088:  1 * 2 + 3 - 4 + 5 * 6 + 78 - 9    = 100
        Lösung 089:  1 * 2 + 3 * 4 + 5 - 6 + 78 + 9    = 100
        Lösung 090:  1 * 2 - 3 + 4 + 56/7 + 89         = 100
        Lösung 091:  1 * 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 89    = 100
        Lösung 092:  1 * 2 - 3 + 4 * 5 - 6 + 78 + 9    = 100
        Lösung 093:  1 * 2 : 3 + 4 * 5 : 6 + 7 + 89    = 100
        Lösung 094:  1 * 2 * 34 + 56 - 7 - 8 - 9       = 100
        Lösung 095:  1 * 2 * 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 096:  1 * 2 * 3 - 45 + 67 + 8 * 9       = 100
        Lösung 097:  1 * 2 * 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9    = 100
        Lösung 098:  1 * 2 * 3 - 4 * 5 + 6 * 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 099:  1 * 2 * 3 * 4 + 5 + 6 + 7 * 8 + 9 = 100
        Lösung 100:  1 * 2 * 3 * 4 + 5 + 6 - 7 + 8 * 9 = 100
        Lösung 101:  1 * 2 * 3 * 4 - 5 - 6 + 78 + 9    = 100

                                          Glückwunsch Thomas ! 


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 zurück zur:  
home
H O M E P A G E
Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.
           Galileo Galilei (1564 -1642) 
blättern
<^>
~~~~~~~~~~~~~~
 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
© Karin S. 1998