denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 1998

DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

Lösungen der DENKmal-Aufgaben von 1998 (Teil 1)

Lösung der 7. vom 20.4.98

Es gibt 362880 verschiedene Zahlen, in denen die Ziffern 1 bis 9 jeweils genau einmal vorkommen -
d.h.
gemeinsam ist allen, dass sie aus den Ziffern: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bestehen.

Was liegt da näher, als diese Zahlen probehalber auf die Teilbarkeit z.B. durch 3 zu testen ;-))
(Dazu wird die Quersumme gebildet und auf Teilbarkeit durch 3 geprüft.)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
3 ist Teiler von 45
5 3 7 2 4 1 6 8 9

Daraus folgt, dass JEDE der gebildeten Zahlen mindestens durch 3 teilbar ist .
(die Zahlen sind sogar alle durch 9 teilbar, da die Quersumme durch 9 teilbar ist)
Und daraus folgt, dass genau 0% der Zahlen Primzahlen sein können.
(das Runden war nur zur Irreführung eingefügt - sorry..;-))

zugeschickt von Andreas Itter

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Lösung der 6. vom 6.4.98
Es gibt genau 2 Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen:


U   E   L   K   G   R   I   A   S   D 
_____________________________________
0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
_____________________________________
0   1   2   3   5   4   6   7   8   9
_____________________________________

  47088  und   57088 
+ 56181      + 46181 
 ------       ------
 103269       103269

Beispiellösung von Heinz:
1. E = 1 
  (muss so sein, wenn zwei 5-stellige Zahlen eine 6-stellige ergeben) 

2. I = 2*S  
S = 9 (einzige Möglichkeit bei S + E einen "Zehnersprung" zu haben.)
       Widerspruch..da S+S+1 auch für I=9 ergeben würde..
      ==> i= gerade
S = 0 ( wird auch sofort ausgeschlossen, 
      da S + S auch für I=0 ergeben würde..)
      
3. U + 1 = L       fuer S < 5 bzw. 
   U + 1 = L + 10  fuer S >= 5, 
   ausserdem muessen alle Ziffern verschieden sein. 

4. A + I = K       fuer L ungleich 0 bzw. 
   A + I = K + 10  fuer L = 0 
   wiederum muessen beide von allen anderen verschieden sein.
   (Einige Kombinationen fallen weg)

5. G + R = U + 10  bzw. 
   G + R = U + 11, wenn A + I >= 10. 
   bleiben genau zwei Loesungen uebrig. 

Übersicht:
____________________________________________________________________
1. E | 1 1 1 1 1 1   1 1 1 1  1 1 1 1  1 1  1 1   1 1   1 1 1 1 1
____________________________________________________________________ 
2. S | 2             3        4        5    6     7     8 
   D | 3             4        5        6    7     8     9 
   I | 4             6        8        0    2     4     6 
____________________________________________________________________
3. U | 5 6 7 7 8 9   7 8 9 9  2 6 9 9  2 7  3 8   3 0   2 3 5 0 0 
   L | 6 7 8 8 9 0   8 9 0 0  3 7 0 0  4 9  5 0   5 2   4 5 7 2 2
____________________________________________________________________
4. A | - 5 5 6 6 -   9 - 5 8  9 2 3 7  - -  8 3   6 5   7 4 4 7 7 
   K |   9 9 0 0     5   2 5  7 0 2 6       0 5   0 9   3 2 2 3 3
____________________________________________________________________
5. G |   - - - -     -   - -  - - - -       - -   - -   - - - 4 5 
   R |                                                        5 4
____________________________________________________________________

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Lösung der 5. vom 23.3.98
Ausgehend vom vorherigen Vieleck, verbindet man jeden neuen Punkt mit allen vorhandenen Punkten.

1.
zu einem Viereck kommt der Punkt 5 hinzu.
Verbindung zum linken Nachbarpunkt schneidet keine vorhandene Diagonale, teilt aber die vorhandene Fläche in 2 Flächen- es kommt 1 Fläche hinzu.
Zum nächsten Punkt der Vierecks (im Uhrzeigersinn )
werden 2 Diagonalen geschnitten- es kommen 3 neue Flächen hinzu.
Zum nächsten Punkt der Vierecks (im Uhrzeigersinn )
werden 2 Diagonalen geschnitten- es kommen 3 neue Flächen hinzu.
Zum nächsten Punkt der Vierecks (im Uhrzeigersinn )
werden keine Diagonalen geschnitten- es kommt 1 neue Flächen hinzu.

2.
zu einem Fünfeck kommt der Punkt 6 hinzu.
Verbindung zum linken Nachbarpunkt schneidet keine vorhandene Diagonale, teilt aber die vorhandene Fläche in 2 Flächen- es kommt 1 Fläche hinzu.
Zum nächsten Punkt der Fünfecks (im Uhrzeigersinn )
werden 3 Diagonalen geschnitten- es kommen 4 neue Flächen hinzu.
Zum nächsten Punkt der Fünfecks (im Uhrzeigersinn )
werden 4 Diagonalen geschnitten- es kommen 5 neue Flächen hinzu.
Zum nächsten Punkt der Fünfecks (im Uhrzeigersinn )
werden 3 Diagonalen geschnitten- es kommen 4 neue Flächen hinzu.
Zum nächsten Punkt der Fünfecks (im Uhrzeigersinn )
werden keine Diagonalen geschnitten- es kommt 1 neue Flächen hinzu.

Das bedeutet, dass man bei der Verbindung zu dem linken Nachbarpunkt die vorhandene Fläche in 2 Teile zerlegt- es kommt 1 Fläche dazu.
Geht man dann im Uhrzeigersinn weiter zum nächsten Punkt, und zeichnet die Verbindunggerade so ergibt sich die Anzahl der hinzugekommenen Flächen indem man die Anzahl der geschnittenen Diagonalen um 1 vermehrt.
(einfach mal ausprobieren..;-))
Trägt man die Anzahl der neuen Flächen in eine Übersicht ein, so ergibt sich das folgende Schema.

Ecken¦ hinzukommende Flächen in Abhängigkeit     ¦Flächen
     ¦ von den geschnittenen Diagonalen:         ¦(gesamt)
-----+-------------------------------------------+--------
     ¦                   (1)                     ¦  (1)
(2)  ¦+                  (1)                     =  (2)
 3   ¦+                 1 + 1                    =   4
 4   ¦+               1 + 2 + 1                  =   8
 5   ¦+             1 + 3 + 3 + 1                =  16
 6   ¦+           1 + 4 + 5 + 4 + 1              =  31
 7   ¦+         1 + 5 + 7 + 7 + 5 + 1            =  57
 8   ¦+       1 + 6 + 9 +10 + 9 + 6 + 1          =  99
 9   ¦+     1 + 7 +11 +13 +13 +11 + 7 + 1        = 163
10   ¦+   1 + 8 +13 +16 +17 +16 +13 + 8 + 1      = 256
11   ¦+ 1 + 9 +15 +19 +21 +21 +19 +15 + 9 + 1    = 386
usw.

die Diagonalen ergeben jeweils arithmetische Zahlenfolgen mit dem Anfangsglied 1. Um diese Beziehung deutlicher zu machen, schreibe ich die Zahlenfolgen noch einmal extra heraus. Für ein 11-Eck ergeben sich die folgenden Zahlenfolgen:

Zahlenfolgen                     erstes  letztes        Anzahl 
                                 Glied   Glied          Summanden
1                                
 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1   1      0*(11- 2)+1= 1   10
 + 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9      1      1*(11- 3)+1= 9    9
 + 1+ 3+ 5+ 7+ 9+11+13+15         1      2*(11- 4)+1=15    8
 + 1+ 4+ 7+10+13+16+19            1      3*(11- 5)+1=19    7
 + 1+ 5+ 9+13+17+21               1      4*(11- 6)+1=21    6
 + 1+ 6+11+16+21                  1      5*(11- 7)+1=21    5
 + 1+ 7+13+19                     1      6*(11- 8)+1=19    4
 + 1+ 8+15                        1      7*(11- 9)+1=15    3
 + 1+ 9                           1      8*(11-10)+1= 9    2
 + 1                              1      9*(11-11)+1= 1    1

(Veranschaulichung zur Bildung des letzten Gliedes der einzelnen Folgen: eigentlich entsprechen die Folgen den Multiplikationsfolgen der nat. Zahlen, sind aber immer genau um 1 größer als die entsprechenden Multiplikationsfolge)

Von den einzelnen Zahlenfolgen lässt sich die Summe berechnen, indem man die Summe vom ersten und letzten Glied bildet und dann mit der Hälfte der Anzahl der Glieder multipliziert.

Für die Gesamtsumme eines 11-Ecks gilt dann:

1 + [10/2 * (1 + (0*(11 - 2)+1))] 
  + [ 9/2 * (1 + (1*(11 - 3)+1))] 
  + [ 8/2 * (1 + (2*(11 - 4)+1))]
  + [ 7/2 * (1 + (3*(11 - 5)+1))] 
  + [ 6/2 * (1 + (4*(11 - 6)+1))]
  + [ 5/2 * (1 + (5*(11 - 7)+1))] 
  + [ 4/2 * (1 + (6*(11 - 8)+1))]
  + [ 3/2 * (1 + (7*(11 - 9)+1))]
  + [ 2/2 * (1 + (8*(11 -10)+1))]
  + [ 1/2 * (1 + (9*(11 -11)+1))]
--------------------------------

vereinfacht:                       1
1 + [10/2 * (0*( 9)+2)]        +  10
  + [ 9/2 * (1*( 8)+2)]        +  45
  + [ 8/2 * (2*( 7)+2)]        +  64
  + [ 7/2 * (3*( 6)+2)]        +  70
  + [ 6/2 * (4*( 5)+2)]        +  66
  + [ 5/2 * (5*( 4)+2)]        +  55
  + [ 4/2 * (6*( 3)+2)]        +  40
  + [ 3/2 * (7*( 2)+2)]        +  24
  + [ 2/2 * (8*( 1)+2)]        +  10
  + [ 1/2 * (9*( 0)+2)]        +   1
 -----------------------      -------
                                 386
Verallgemeinerung:
n:Anzahl der Ecken:

1 + [(n-1)/2 * (0*(n-2)+2)] 
  + [(n-2)/2 * (1*(n-3)+2)] 
  + [(n-3)/2 * (2*(n-4)+2)] 
  + [(n-4)/2 * (3*(n-5)+2)] 
  + ...... 
  + [ 4/2 * ((n-5)*( 3)+2)] 
  + [ 3/2 * ((n-4)*( 2)+2)]
  + [ 2/2 * ((n-3)*( 1)+2)] 
  + [ 1/2 * ((n-2)*( 0)+2)]

n-Eck:
1 +  [(n-1)-i]/2 * [ i*((n-2)-i)+ 2] 

bzw:
          
1 + 1/2*   [(n-1)-i] * [ i*((n-2)-i)+ 2] 
         

Mit dieser Formel lässt sich zu jedem n-Eck
 die dazugehörige Anzahl der Flächen berechnen.

----------------------------------------------

eine andere, äßerst interessante Variante, hat Thomas Strohmann gefunden:

Ich beginne zunächst mit der Anzahl der Ecken: Da wären zum einen die n (irgendwie logisch) äußeren Begrenzungs- punkte des n-Ecks und zum anderen die Schnittpunkte der Diagonalen, die weitaus schwieriger zu erfassen sind. Jeder Eckpunkt hat exakt n-3 Diagonalen (d.h. beim Dreieck keine, beim Viereck eine, usw...). Eine Diagonale wird nun aber von verschiedenen anderen Diagonalen geschnitten, waraus die "Ecken" im Inneren des Kreises entstehen. Ich erläutere das zunächst am Beispiel des 6-ecks: Von den 3 Diagonalen eines jeden Eckpunktes schneidet die linke 1*3 Diagonalen (die vom linken Nachbarn des Eckpunktes ausgehen). Entsprechendes gilt für die rechte Diagonale. Bei der Mittleren hingegen stehen auf beiden Seiten 2 freie Ecken, (und nicht 1 und 3) deren 4 (2*2) Diagonalen die mittlere Diagonale jeweils einmal schneiden. Jedoch hat man jetzt jeden Schnittpunkt 4-fach (die beiden geschnittenen Diagonalen entstammen ja 4 verschiedenen Ecken) erfaßt und muss diesen Fehler in der Rechnung korrigieren:

Die Rechnung wäre dann:        links mitte rechts
innere Ecken (Sechseck) = 6 * (1*3 + 2*2 + 3*1)
                          -----------------------
                                      4
gesamte Ecken (Sechseck) = 6 + innnere Ecken

                               
allgemeine Formel:         n * i*(n-2-i)
                      n +  ----------------
                                   4

Auf diese komplizierten Terme kann man aber jetzt bei der Berechnung der Kantenanzahl zurückgreifen:

Die äußeren n Eckpunkte sind mit den anderen n-1 Ecken des n-Ecks durch Kanten verbunden, zusätzlich aber mit dem linken und rechten Nachbarn durch je einen Kreisbogen, also k (außen) = n * ( n + 1) Jeder Eckpunkt im inneren wird von 4 Kanten (den Teilabschnitten der beiden Diagonalen umgrenzt). k (innen) ist also der komplizierte Term im Zähler des Bruchs oben. Aber halt!!! Haben wir nicht auch die Kanten mehrfach gezählt? Ja, und zwar genau doppelt, denn jede Kante wird IMMER durch 2 Eckpunkte begrenzt.
D.H.:

K = n * ( n + 1 )  + n * i*(n-2-i)
    ------------------------------
                  2

Nun setzen wir in f=k-e+1 ein und vereinfachen:
    2*n *(n + 1) + 2*n * i*(n-2-i) - 4*n - n * i*(n-2-i)
f = -------------------------------------------------------  + 1
                                4
     n                  
f = --- (2 * (n+1) - 4 +  i*(n-2-i)) + 1 
     4                  

     n         
f = --- (2n - 2 +  i*(n-2-i)) + 1 
     4

Nach der mühseligen Herleitung, muss man nur noch die Werte für f in Abhängigkeit von n ausrechnen, wobei für n=1..5 zufällig dasselbe wie bei der einfacheren Formel f = 2^(n-1) herauskommt:

n   f
1:  1/4 * ( 2-2 +  0) + 1 =   1
2:  2/4 * ( 4-2 +  0) + 1 =   2
3:  3/4 * ( 6-2 +  0) + 1 =   4
4:  4/4 * ( 8-2 +  1) + 1 =   8
5:  5/4 * (10-2 +  4) + 1 =  16
6:  6/4 * (12-2 + 10) + 1 =  31
7:  7/4 * (14-2 + 20) + 1 =  57
8:  8/4 * (16-2 + 35) + 1 =  99
9:  9/4 * (18-2 + 56) + 1 = 163
...

__________________________________________

außerdem wurde auch die folgende Formel gefunden, 
(deren Herleitung aber diesen Rahmen sprengt):

y = (x⁴ - 6*x³ + 23*x² - 18*x + 24)/24

[ zur 6. Aufgabe ] [ zur 5. zurück ] [ zur Hall of FAME ]

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Lösung der 4. vom 9.3.98

Zunächst wird das Altersprodukt der 3 Personen in die einzelnen Primfaktoren zerlegt:
2450 = 2 * 5 * 5 * 7 * 7

Diese 5 Faktoren muss man nun auf die 3 Personen aufteilen, wobei es insgesamt 11 Möglichtkeiten gibt (auch wenn sich einige eher unrealistische Altersangaben ergeben wie z.B. 252 ;-) )

Die Aufteilung kann entweder nach dem geordneten Schema
A: 1 Faktor; B: 2 Faktoren; C: 2 Faktoren (6 Kombinationen) oder
A: 1 Faktor; B: 1 Faktor; C: 3 Faktoren (5 Kombinationen) erfolgen.

Es ergibt sich im einzelnen:

        A        B          C
(01)    2   +  5 x 5 +    7 x 7     =  76
(02)    2   +  5 x 7 +    5 x 7     =  72
(03)    5   +  2 x 5 +    7 x 7     =  64 !
(04)    5   +  2 x 7 +    5 x 7     =  54
(05)    7   +  2 x 5 +    5 x 7     =  52
(06)    7   +  2 x 7 +    5 x 5     =  46
(07)    2   +    5   +  5 x 7 x 7   = 252
(08)    2   +    7   +  5 x 5 x 7   = 182
(09)    5   +    5   +  2 x 7 x 7   = 108
(10)    5   +    7   +  2 x 5 x 7   =  82
(11)    7   +    7   +  2 x 5 x 5   =  64 !

Die beiden Alterssummen (rot geschrieben, mit Ausrufezeichen gekennzeichnet ) müssen dem Alter des 2.Pfarrers (bzw. des Mensors) entsprechen, da dieser nach der Aussage des 1. Pfarrers, dass die 3 Personen zusammen so alt wie er seien, noch keine Lösung anbieten konnte.

Wäre der Bischof jetzt 51 Jahre oder älter, wüsste der Mesner nicht, um welche der Kombinationen es sich handelt.
Ist der Bischof 49 Jahre oder jünger, ist die Voraussetzung, alle der Beichtbesucher seien jünger als der Bischof, nicht erfüllt.
Ist der Bischof dagegen genau 50 Jahre alt, ist die Voraussetzung bei der Kombination 7, 7, 50 nicht erfüllt, da dann nicht alle der drei Beichtbesucher jünger als der Bischof wären. Bei der Kombination 5, 10, 49 ist die Voraussetzung aber erfüllt und der Mesner weiß sofort, um welche der beiden Kombinationen es sich handelt.

a) Der Bischof ist 50 Jahre alt und
b) die Personen die zur Beichte gingen sind 5, 10 und 49 Jahre alt .

[ zur 5. Aufgabe ] [ zur 4. zurück ] [ zur Hall of FAME ]

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Lösung der 3. vom 23.2.98
Wir gehen von einer natürlichen Zahl aus, deren erste Ziffer eine 6 ist :
6 * 10^x + n (allgemeine Schreibweise)
Gesucht ist eine Zahl, an deren letzter Stelle eine 6 steht :
10 * n + 6 (allgemeine Schreibweise)
da in beiden Zahlen außer den jeweiligen Sechsen die gleiche Ziffernfolge vorhanden ist, ist n für beide Zahlen gleich.

Weiterhin gilt :

6 * 10^x + n = ( 10 * n +  6  ) * 4
umformen:
6 * 10^x + n =   40 * n  + 24
       39n =    6 * 10^x - 24
       13n =    2 * 10^x -  8

         n = 2(10^x - 4) / 13

Diese Gleichung mit 2 Unbekannten ist zu lösen. Gesucht ist das kleinste Zahlenpaar aus natürlichen Zahlen (diophantische Gleichung) das diese Gleichung erfüllt.

x	n	n	Auswertung
0	- 6 : 13	= - ...	n : rationale Zahl
1	12 : 13	= 0,...	n : rationale Zahl
2	192 : 13	= 14,...	n : rationale Zahl
3	1992 : 13	= 153,...	n : rationale Zahl
4	19992 : 13	= 1537,...	n : rationale Zahl
5	199992 : 13	= 15384	n : natürliche Zahl

für x = 5 ergibt sich mit n = 15384 die erste Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen .

Daraus folgt, die gesuchte Zahle, die die Bedingungen erfüllt, ist die 6 15384 ,
denn 6 15384 / 4 = 15384 6 .

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Lösung der 2. vom 9.2.98
Da uns, im Gegensatz zu den beiden Kindern, nicht einmal eine Zahl genannt wurde, müssen wir zuerst überlegen, welche Möglichkeiten gibt es, 900 in drei verschiedene Faktoren zu zerlegen:
Dazu zerlegen wir 900 in seine Primfaktoren: 900 = 2 * 2 * 3* 3 * 5 * 5
weiterhin soll gelten: a * b * c = 900 und a < b < c

wenn wir alle Varianten notieren, erhalten wir genau 32 verschiedene Möglichkeiten, die die Bedingung erfüllen.

Nr. a b c a+c b+c

1 1 2 450 451 452

2 1 3 300 3 301

3 1 4 225 4 226

4 1 5 180 5 181

5 1 6 150 6 151

6 1 9 100 9 101

7 1 10 90 10 91

8 1 12 75 12 76

9 1 15 60 15 61

10 1 18 50 18 51

11 1 20 45 20 46

12 1 25 36 25 37

13 2 3 150 3 152

14 2 5 90 5 92

15 2 6 75 6 77

16 2 9 50 9 52

17 2 10 45 10 47

18 2 15 30 15 32

19 2 18 25 18 27

Nr. a b c a+c b+c

20 3 4 75 4 78

21 3 5 60 5 63

22 3 6 50 6 53

23 3 10 30 10 33

24 3 12 25 12 28

25 3 15 20 15 23

26 4 5 45 5 49

27 4 9 25 9 29

28 5 6 30 6 35

29 5 9 20 9 25

30 5 10 18 10 23

31 5 12 15 12 20

32 6 10 15 10 21

Nachdem alle 32 möglichen Vatianten gefunden sind, geht es nun darum, einige Varianten auszuschließen.

Es ist sinnvoll, jeweils die Varianten auszuschließen, die zu einer eindeutigen Lösung führen würden.

1. Inge beginnt und stellt fest, dass sie die Lösung nicht nennen kann.
Damit kann man die Nr. 1, 11, 12 ausschließen,(rosa Hintergrund) da hier die Werte für b nur einmal vorkommen. Mit diesen Möglichkeiten dürfen wir (und Karsten) nun nicht mehr rechnen.

2. Karsten kann die Zahlen auch nicht nennen:
Das bedeutet, dass alle Zahlen, die ein eindeutiges Ergebnis für a+c bzw. b+c haben herausfallen.(ockerfarbiger Hintergrund)

Somit bleiben von den 32 Ausgangsmöglichkeiten nun nur noch 9 übrig. (blautöne im Hintergrund)

Nr.	a	b	c	b	a+c	b+c	Bemerkungen

1	1	2	450	2			diese 3 Zahlentripel entfallen nach Inges erstem NEIN
11	1	20	45	20
12	1	25	36	25

2	1	3	300	3	301	303	diese Zahlentripel entfallen wegen Karstens NEIN - d.h. da alle diese Varianten nur eine Lösung für a+c und b+c haben, hätte Karsten sofort die 3 Zahlen nennen können.
3	1	4	225	4	226	229
4	1	5	180	5	181	185
5	1	6	150	6	151	156
6	1	9	100	9	101	109
7	1	10	90	10	91	100
8	1	12	75	12	76	87
9	1	15	60	15	61	75
10	1	18	50	18	51	68
13	2	3	150	3	152	153
14	2	5	90	5	92	95
15	2	6	75	6	77	81
16	2	9	50	9	52	59
17	2	10	45	10	47	55
18	2	15	30	15	32	45
20	3	4	75	4	78	79
21	3	5	60	5	63	65
22	3	6	50	6	53	56
23	3	10	30	10	33	40
26	4	5	45	5	49	50

19	2	18	25	18	27	43	diese Möglichkeiten bleiben nach den NEIN von Inge und Karsten übrig.
24	3	12	25	12	28	37
25	3	15	20	15	23	35
27	4	9	25	9	29	34
28	5	6	30	6	35	36
29	5	9	20	9	25	29
30	5	10	18	10	23	28
31	5	12	15	12	20	27
32	6	10	15	10	21	25

Somit bleiben von den 32 Ausgangsmöglichkeiten nun nur noch 9 übrig.
Das sind Nr: 19, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, (wobei aber schon einige Möglichkeiten für a+c bzw. b+c herausgefallen sind,weil es für sie nur eine eindeutige Lösung gibt - weiße Schrift)

3. und 4. Antwort:
Zuerst wird wieder Inge gefragt,aber sie kann die Zahlen immer noch nicht nennen.
Daraus folgt, dass die Zahlentripel mit der Nr: 19, 25, 28 entfallen, da sie nun nur noch einmal vorgekommen sind.
Nach Karstens Antwort ("nein") entfällt auch die Nr. 31.

. Nr.
. a
b
c
. b
a+c
b+c
.

19 2 18 25 18

25 3 15 20 15

28 5 6 30 6

31 5 12 15 12 20 27

24 3 12 25 12 28 37

30 5 10 18 10 23 28

32 6 10 15 10 21 25

29 5 9 20 9 25 29

27 4 9 25 9 29 34

5. und 6. Antwort
("nein")
nach Inges Antwort entfällt Nr.24 mit b=12
nach Karstens Antwort entfällt Nr.30 mit b+c=28
(a+c=23 war schon vorher entfallen )

b
a+c
b+c
.

12

10 23 28

10 21 25

9 25 29

9 29 34

Antwort 7 und Lösung:
Mit Inges Antwort "nein" entfällt wieder ein Zahlentripel; ( Nr.32 ), weil b=10 nun nur noch einmal auftritt.
Da Karsten die Lösung nun nennt, kann er nur die Zahl 25 erhalten haben.

b
a+c
b+c
.

10

9 25 29

9 29 34

Da Karsten die Lösung nun nennt, kann er nur die Zahl 25 erhalten haben. Denn diese Zahl ist jetzt eindeutig. Gleichzeitig ergibt sich auch, dass der Vater ihm die Summe a+c genannt haben muss.
Für die Zahl 29 hätten wir keine Lösung finden können, da sie immer noch für a+c und für b+c auftritt.
Die gesuchten Zahlen sind a = 5, b = 9, c = 20 . Es gibt nur diese eine Lösung.

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wichtige Sätze
am
rechtwinkligen
Dreieck:
$rechtwinkliges Dreieck$
a Kathete
b Kathete
c Hypotenuse

Satz des
Pythagoras:

c² = a² + b²

Höhensatz:

h² = p * q

Kathetensätze:

a² = p * c
b² = q * c

Lösung der 1. vom 26.1.98

Wie gelang es ihnen? (Bitte mathematisch begründen!) Die Bretter werden T-förmig wie in der Skizze dargestellt hingelegt und bieten so einen Weg zur Mitte des Brunnens.
Begründung: 1. Berechnung der Strecke zwischen Brunnenecke A und der entsprechenden Ecke H des Mittelteils ABH ist ein gleichschenkliges, rechtwinkligen Dreieck . $AH$ = b (Hypotenuse im gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck)
$AB$ = h = 3 m $BH$ = a = 3 m b² = a² + h² b² = 2 * 9 m² b ~ 4, 25 m $AH$ ~ 4, 25 m
2. Berechnen der Strecke $AG$ als Höhe in dem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck AEF durch das Auflegen des Brettes von E nach F ensteht das gleichschenklige, rechtwinklige Dreieck AEF.
$EF$ ~ 3 m ( 3-m-Brett ) G Mittelpunkt von $EF$ $EG$ = p ; p ~ 1,5 m $FG$ = q ; q ~ 1,5 m $AG$ = h Höhensatz: h² = p * q h² = 1,5 m * 1,5 m h ~ 1,5 m $AG$ ~ 1,5 m 3.Berechnen der Strecke $GH$ Es ist nun noch zu zeigen, dass für den zu überbrückenden Weg $GH$ ein Brett der Länge 3 m ausreicht. $GH$ = $AH$ - $AG$ $GH$ = 4,25 m - 1,5 m = 2,75 m
Die Entfernung $GH$ kann also mit einem 3-m-Brett überwunden werden.

einige praktische Anmerkungen zum Arbeitsschutz

von Kai Kirchwehm:

Weitere statische Überlegungen zur Überdeckung zwischen Brettern und Brunnen sowie zur Durchbiegung der Bretter erspare ich mir, da mir weder die Breite und Dicke der Bretter noch das Gewicht der beiden Angestellten bekannt sind. Die Ermittlung dieser Daten war im Rahmen der Aufgabenstellung auch nicht gefordert. Es ist jedoch bei dieser Konstruktion noch nicht auszuschließen, dass die Herren im Brunnen landen. Eine Gefahrenzulage für ihre Tätigkeit hielte ich für angemessen, zumindest aber die Ausstattung mit Schwimmwesten.

und von Heinz:

Leider haben die beiden Lehrlinge ihren Meister nicht kommen sehen, der als Fachkraft für Arbeitssicherheit ausgebildet ist. Dieser ermahnt sie, dass beide Bretter jeweils auf beiden Seiten genuegend sicher aufliegen müssen. Statt der gesamten Brettlaenge a muss also in den Gleichungen jeweils die nutzbare Brettlaenge a* eingesetzt werden, die um die auf beiden Seiten benoetigte Auflagelaenge b kuerzer ist als a
(ueberhaupt sind die Bretter nur "knapp" 3 m lang!!!).
Mit
a* = a - 2 b
zeigt der Meister jetzt nach kurzer Rechnung dass im Mittel gerade einmal 2,86 % der Brettlaenge als Auflage bleiben, d. h. etwa 8,5 cm. Wenn man nun beruecksichtigt, dass das eine Brett genau 45° zu den Rändern und das andere auf einer Seite genau auf einer Spitze liegen muss, dann sehen die Lehrlinge auch ohne Kenntnis der DIN-Normen und Unfallverhütungsvorschriften ein, dass man da lieber nicht ruebergeht.

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.

Helmut Schmidt

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