denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 1998

DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

Lösungen der Knobelaufgaben

Lösung der 18. vom 16.11.98

Bei dieser Aufgabe lag das Problem weniger bei der Rechnung, sondern in der Fragestellung.
Es wurde nach der Anzahl Gäste gefragt und dabei scheiden Herr und Frau Walter aus.

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Olaf wieder:

Lösung ( kurz, knapp und richtig)
2 neue Gäste verursachen 33 mal Gläserklingen.
also einer 16mal und der nächste 17mal.
Da wohl niemand mit sich selbst anstößt, dürfte es sich um den 17ten
und 18ten Anwesenden handeln.
Somit haben Frau und Herr Walter 16 Gäste.

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Lösung der 17. vom 2.11.98

Teil 1: C soll die Farbe seines Hutes benennen

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Stefan Mayrhofer wieder:

A könnte die Farbe seines Huts nur erraten, wenn B und C beide weiße Hüte hätten (dann wäre sein Hut rot).
A sieht also rot/rot, rot/weiss oder weiss/rot vor sich.

Unter Berücksichtigung von A's Dilemma könnte B die Farbe seines Huts erraten, wenn B vor sich einen weißen Hut sehen würde (dann wäre sein eigener Hut rot).

Da B dies nicht kann, weiss C, dass B einen roten Hut sieht und somit kann C die Farbe seines Hutes erraten: ROT.

Damit ist die Aufgabe gelöst

Thomas Strohmann fand aber noch folgende Ergänzung:

Welche Hutfarbe Nr.A und Nr.B haben,
 lässt sich nicht eindeutig  auflösen; 
es gibt noch alle 4 Möglichkeiten:
===========================
Blickrichtung
------>
A  B  C
-------
r  w  w ; A hätte sofort seine Hutfarbe gewußt
w  r  w ; B hätte sofort seine Hutfarbe gewußt
r  r  w ; B hätte sofort seine Hutfarbe gewußt
-------
r  r  r
r  w  r
w  r  r
w  w  r
-------

Teil 2: Welcher Forscher kann antworten und welche Farbe hatte seine Feder

Diese Aufgabe entspricht im Prinzip der ersten. Sie ist nur ganz leicht abgewandelt.
Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Roland Spindler wieder:

Wenn die beiden vorderen schwarze Federn hätten, hätte der hintere augenblicklich geschrien. Hat er aber nicht.

Der mittlere weiss das auch, und wenn der vordere eine schwarze Feder hätte, hätte er gewusst, das er selbst eine weisse tragen muss. Hat er aber nicht.

Nach relativ kurzer Zeit ist also klar, dass der vordere eine weisse Feder trägt. "Hurra" hat also der vorderste gerufen sobald er das gecheckt hat.

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Lösung der 16. vom 19.10.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Manuela wieder:

Der Witz an der Sache ist, dass man mit Reziprokwerten arbeiten muss.
Wenn Familie P. mit einer Tankfüllung p Tage heizen kann,
dann verbraucht sie pro Tag 1/p-tel der Tankfüllung,
das gleiche gilt für M. und H.
Wenn zwei Wohnungen zusammen n Tage heizen können,
verbrauchen sie zusammen 1/n-tel der Tankfüllung an einem Tag.

Ich erhalte drei Gleichungen:

(I)  1/p + 1/m = 1/77
(II) 1/m + 1/h = 1/66
(III)1/p + 1/h = 1/70

Daraus kann ich dann errechnen:
p = 4620/28
h = 4620/38
m = 4620/32

Rechnung:
(I) und (II) jeweils 
nach 1/p umgeformt, dann gleichsetzt.

 1/77 - 1/p = 1/66 - 1/h

für 1/h die Gleichung (III), nach 1/h umgeformt, einsetzt.

 1/77 - 1/p = 1/66 - (1/70 - 1/p)
      - 2/p = 1/66 - 1/70 - 1/77 
              (k.g.V = 4620)
      - 2/p = 70/4620 - 66/4620 - 60/4620 
        1/p = 28/4620 
          p = 4620/28

p in (I) eingesetzt und nach 1/m umgestellt:

      1/m = 1/77 - 28/4620
      1/m = 32/4620
        m = 4620/32


p in (III) eingesetzt und nach 1/h umgestellt:

      1/h = 1/70 - 28/4620
      1/h = 38/4620
        h = 4620/38


Auf P. entfallen 28 Anteile der Heizung, 
auf H. 38 und auf M. 32.

Mit Kenntnis von P.s Betrag (660 DM) 
ergibt sich das Verhältnis:
660/28 = H/38
660/28 = M/32

daraus lässt sich H.s Anteil mit 
165 * 38/7 DM (ca. 895.71 DM) 
und M.s Anteil mit 
165 * 32/7 DM (ca. 754.29 DM) errechnen.


Teil 2:

Die Gesamtdauer g, wenn alle gleichzeitig heizen, 
ergibt sich mit

1/g = 1/p + 1/h + 1/m, 
1/g = 28/4620 + 38/4620 + 32/4620
1/g = 98/4620
woraus sich g = 330/7 = ca. 47.1 Tage errechnen lässt.

Wenn Familie Peters 660 DM bezahlt, dann bezahlt Familie Meier 754,29 DM, und Familie Held 895,71 DM, (jeweils auf volle Pfennig aufgerundet)

Wenn alle 3 Familien in dem vorgegebenen Verhältnis Öl verbrauchen, dann ist das Heizöl nach ca. 47.1 Tagen alle.

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$uhr$

Lösung der 15. vom 5.10.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Kai Kirchwehm wieder:

Der Flieger landet um 14 Uhr 48 (Sidney-Ortszeit).

Damit der Stundenzeiger genau auf einer Minutenposition steht, muss der Minutenzeiger eine der folgenden Positionen einnehmen: 0, 12, 24, 36, 48. Die passenden Minutenstriche, auf denen sich der Stundenzeiger nach den Bedingungen dann befinden kann, sind:

 0 : 13, 26, 34, 47 (keine durch 5 
                     teilbare Minutenposition)
12 : 25, 38, 46, 59 (bei Div. durch 5 Rest 1 )
     ->  9:12 p.m.
24 : 11, 37, 50, 58 (bei Div. durch 5 Rest 2 )
     ->  4:24 p.m.
36 :  2, 10, 23, 49 (bei Div. durch 5 Rest 3 )
     ->  7:36 p.m.
48 :  1, 14, 22, 35 (bei Div. durch 5 Rest 4 )
     ->  2:48 p.m.

Tatsächlich befindet sich der Stundenzeiger, wenn der Minutenzeiger in 0-Position steht, stets auf einer durch 5 teilbaren Minuten-Position (nämlich auf einer vollen Stunde). Hierfür gibt es unter den in Frage kommenden Zahlen keine Lösung.
Bei Minuten-Position 12 muss die Stunden-Position bei der Division durch 5 den Rest 1 ergeben (also 5x + 1 betragen, x = 0, .. , 11). Dies ist für 46 der Fall., was einer Zeit nach 9 bzw. 21 Uhr entspräche (46 : 5 = 9 Rest 1). Die Lösung wäre also 21 Uhr 12 (bei allen in Frage kommenden Lösungen landet das Flugzeug p. m.).
Weitere Möglichkeiten sind 19 Uhr 24, und 16 Uhr 36.
Da 3 der Lösungen nach 16 Uhr, aber nur eine vor 16 Uhr ergibt,
muss 14 Uhr 48 die gesuchte Lösung sein.

Bemerkungen:
bei der aktuellen Aufgabe fühle ich mich echt benachteiligt! Zuerst habe ich mich gefragt, was Du mit "Zeigern auf einer Uhr" meinst. Nach intensiven Ermittlungen ist es mir dann gelungen, solch ein historisches Exemplar aufzutreiben, mit dem ich dann an die Ermittlung der Lösung gehen konnte. Dabei habe ich ziemlichen Ärger bekommen, weil die Polizei partout nicht einsehen wollte, dass ich zu Forschungszwecken die Zeiger der Bahnhofsuhr verstellen musste ...

Beim nächsten Mal bitte ich zum Ausgleich um eine Aufgabe für Besitzer von Digitaluhren.

Dem Passagier rate ich zu einem Blick in den Flugplan. Aber den gibt es vielleicht bei einer Fluggesellschaft, die so muffelige Stewardessen beschäftigt, auch nicht ...

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Lösung der 14. vom 21.9.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Patrick Sauter wieder:

n sei die Anzahl der Eier.
(n-1) muss gleichzeitig durch 2, 3, 4, 5, und 6
teilbar sein.
Zuerst einmal berechnet man das kleinste
gemeinsame Vielfache von 2, 3, 4, 5, und 6:

2 * 3 * 2 * 5 =  60

(n) muss durch 7 teilbar sein.
61 ist aber nicht durch 7 teilbar.

Also nimmt man (m * 60) + 1 (m Element |N \ {0;1})
und schaut, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist.

m=2 bedeutet, Ergebnis nicht durch 7 teilbar
m=3 bedeutet, Ergebnis nicht durch 7 teilbar
m=4 bedeutet, Ergebnis nicht durch 7 teilbar

Für m=5 ist das Ergebnis durch 7 teilbar.

Ergebnis: (5 * 60) + 1 = 301 .

Die Frau hatte also 301 Eier. 

noch ein Hinweis!
Natürlich ist 301 nicht die einzige Zahl an Eiern, 
die diese Bedingungen erfüllt, aber sie ist die kleinste.
Eine allgemeine Formel wäre 301 + n * 420    [kgV(3,4,5,7) = 420.]
Also 301, 721, 1141...

Es ist aber wohl für die Verhältnisse im Byzantinischem Reich anzunehmen, dass eine alte Frau nicht mit mehr als 301 Eiern auf dem Mark stand.

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Lösung der 13. vom 1.7.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Hartmut Klotz wieder:

Grundgedanke:

Das Auto muss von einem Wegpunkt (D_i) zum nächsten (D_i-1) die dort benötigte Spritmenge B(D_i) anliefern können, und zwar mit möglichst wenigen Fahrten, wobei der Weg von einem Punkt zum nächsten möglichst groß sein soll.

Die benötigte Spritmenge ist allerdings nur von hinten nach vorne bekannt,
d.h. erst wenn ich die benötigte Spritmenge von D_0 (= Endpunkt B) kenne, kann ich auch B(D_1) ausrechnen usw.,
daher wird "von hinten nach vorne" gerechnet:

Berechnung von S_1 (Weg von D_1 nach D_0)
B(D_0) = 0 => Em Endpunkt darf der Spritvorrat verbraucht sein
mit einer einfachen Fahrt (also ohne Rückfahrt) von D_1 nach D_0 kann ich maximal 50 km schaffen, also ist S_1 = 50 km am günstigsten
=> S_1 = 50 mit B(D_1) = 50

Berechnung von S_2 (Weg von D_2 nach D_1)
B(D_1) = 50 (der Spritvorrat an diesem Depot)
von D_2 bis D_1 sollen möglichst wenig Fahrten gemacht werden, also eine Hin- und Rückfahrt und eine Hinfahrt:
Bei der Hin- (mit Rückfahrt) kann man bei D_1
maximal 50 - 2 * S_2 Sprit hinterlassen,
bei der alleinigen Hinfahrt allerdings 50 - S_2,
gesamt sind dies 100 - 3 * S_2.
Dies soll = B(D_1) = 50 sein
100 - 3 * S_2 = 50
=> S_2 = 50 / 3 mit B(D_2) = 100

Berechnung von S_3 (Weg von D_3 nach D_2)
B(D_2) = 100 (der Spritvorrat an diesem Depot)
von D_3 bis D_2 sollen möglichst wenig Fahrten gemacht werden, also zwei Hin- und Rückfahrten und eine Hinfahrt:
Bei der Hin- (mit Rückfahrt) kann man bei D_2
maximal 2 * (50 - 2 * S_3) Sprit hinterlassen,
bei der Hinfahrt allerdings 50 - S_3,
gesamt sind dies 150 - 5 * S_2.
Dies soll = B(D_2)= 100 sein
=> S_3 = 50/5 mit B(D_3) = 150

Die weiteren Berechnungen verlaufen analog!

somit ergeben sich 7 Depots mit Benzin für jeweils B(D_i) km 
auf dem Weg von A nach B:

=>  S_1 = 50/ 1 mit  B(D_1) =  50 (                    1 Hinfahrt) 
=>  S_2 = 50/ 3 mit  B(D_2) = 100 (1 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
=>  S_3 = 50/ 5 mit  B(D_3) = 150 (2 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
=>  S_4 = 50/ 7 mit  B(D_4) = 200 (3 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
=>  S_5 = 50/ 9 mit  B(D_5) = 250 (4 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
=>  S_6 = 50/11 mit  B(D_6) = 300 (5 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
=>  S_7 = 50/13 mit  B(D_7) = 350 (6 Hin- und Rückfahrten, 1 Hinfahrt) 
 
=>  S_8 wäre also gleich 50/15, 
wenn nicht dann die Summe von S_1 bis S_8 
größer als 100 km wäre.
Daher wird für S_8 nur noch der Rest 
S_8 = (100 - 50 - 50/3 - 50/5 - 50/7 - 50/9 - 50/11 - 50/13)
    = ca 2,2433 km
veranschlagt.
 
Die Summe der gefahrenen km ist nun:
1 * S_1 + 3 * S_2 + ... + 13 * S_7 + 15 * S_8 
=  50   +   50    + ... +    50    + 33,65 (gerundet) 
=  7 * 50 + 33,65        
= 383,65 km.

Insgesamt muss die Expedition also 383,65 km zurücklegen, um unter den vorgegebenen Bedingungen die 100 km zu überwinden. (ist es nicht schön, dass es in Deutschland überall Tankstellen gibt?)

Als weiteres Beispiel der Lösungsweg von Hans-Jürgen Gräbner :

Naheliegend ist bei 50 km ein Depot mit 50 km-Sprit (kmS) einzurichten. Auto soll immer mit 50 kmS in Richtung B starten und leer zurückkommen (am vorherigen Depot ankommen). Weitere Zwischendepots werden vom 50km-Depot rückwärts so errechnet, dass je Depot eine Versorgungsfahrt n (mit Rückkehr) mehr erforderlich ist. Die Distanzen d errechnen sich mit der Formel:
d = 50 * n / ( 2 * n + 1)
Es sind 7 Depots i erforderlich.

i       e         d         n         gefahr.     kmS
Depot   Entfer-   eine      Versorg   von i-1     im
Nr.     nung      Distanz   fahrten   bis i       Depot
        km        km        nach i    km      
----------------------------------------------------------
A Start  0         0                            unbegrenzt 
                                                (383.65)  
1        2.243     2.243     7         33.650   366 (350)
2        6.089     3.846     6         50       300
3       10.635     4.545     5         50       250
4       16.190     5.555     4         50       200
5       23.333     7.143     3         50       150
6       33.333    10.000     2         50       100
7       50.000    16.666     1         50        50
B Ziel  100.00    50         0         50         0
---------------------------------------------------------
Summe            100.00               383.650

Die Zahlen in den Spalten e und d sind gerundet. Im Depot 1 verbleiben 16 kmS. Die hätte das Auto bei den 8 Abfahrten von A einmal weniger tanken können.
Insgesamt muss die Expedition also 383,65 km zurücklegen.

Wer den Weg über eine gleichmäßige Depotverteilung gegangen ist, wird sich je nach Rechenaufwand diesem Ergebnis angenähert haben,
Depots alle 10 km : der Weg beträgt : 540 Kilometer
Depots alle 1 km : der Weg beträgt : 394 Kilometer
Depots alle 100 m : der Weg beträgt : 384.8 Kilometer
aber auch bei den Hin-und-Her-Fahrten im 10-Meter-Takt ist der Weg von 383.74 km (aber 5001 Depots!) noch geringfügig weiter.

Folgende Lösung will ich auch nicht vorenthalten,
die mehr oder weniger eine Ungenauigkeit in der Aufgabenstellung ausnutzt:

also ich stelle mir das so vor: ich tanke beim ersten Mal für 50 km Benzin in einen Kanister und stelle diese im Gepäckraum ab (es steht da nur: max f. 50 km tanken - von mitnehmen hast du nichts geschrieben !). dann lasse ich mich von den Mitgliedern meiner Expedition einmal um die Tankstelle schieben (um Benzin zu sparen!), tanke sofort noch einmal für 50 km und los geht's ! Gesamt habe ich dann 100 km gefahren (+ 10 m schieben !!).

Bei dieser Methode kann man leicht von der Gewerkschaft der Expeditionsmitglieder wegen unzumutbarer Arbeitsbedingungen verklagt werden.

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Lösung der 12. vom 1.7.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Hans-Jürgen Gräbner wieder:

Vorerst: nicht-proportionale Schrift einschalten !

1. Multiplikationsaufgabe

 979 * 151     Weg: 4895/5=979  Nur Teiler 5 liefert Ganzzahl
 ---------
 979                Da 1. und 3.Produkt dreistellig ist, muss der 
 4895               Faktor 1 sein, also 151 . Recht einfach.
   979
 ---------
147829

2. Divisionsaufgabe 

Matrix erstellen:

Index: 1 2 3 4 5 6   7 8    9 10 11 12
Aufgabe:
a      a a a a a a : a a  = a  a  a  a    
b      b b 8
c        c 8 c
d          d d
e          e e e
f          f f 3
g            g g
h            h h

Beispiel für Matrix-Lesen: Die erste 8 ist b3 und die 3 bei f5. 

Lösung:

a      4 0 6 5 2 7 : 9 7  = 4  1  9  1
b      3 8 8 
c        1 8 5
d          9 7
e          8 8 2
f          8 7 3
g              9 7
h              9 7 

Lösungsweg: 
a3=6 wegen der 2 Achten
Die 3 von f5 kommt nur raus bei 1*3 (getestet geht nicht) oder
bei 7 * 9 mit a8=7 und a11=9 (oder umgekehrt)
a9=4  da 4*7=28
Wegen d muss a10=1 und
wegen h muss auch a12=1 sein.
Damit ist das Ergebnis mit  4191 bekannt.
a7 muss 8 oder 9 sein wegen Zahl e
Also probieren per Taschenrechner:
4191*87=364617
4191*97=406527  ist richtig, da die dritte Ziffer a3 = 6 ist !!
Der Rest ist trivial.

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Lösung der 11. vom 1.7.98

Als Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Felicia wieder:

Um die Basis herauszukommen, wurden die Zahlen in Faktoren geschrieben:

(4*b¹ + 3*b⁰) + (5*b¹ + 2*b⁰) = 1*b² + 2*b¹ + 5*b⁰

Hier ist b die Basis.

   4*b + 3 + 5*b + 2 = b² + 2*b + 5
               9 * b = b² + 2*b
                   0 = b (b - 7)
                   7 = b         (b = 0  entfällt)

Die Basis ist also 7.

Die Anzahl der Kinder:
   1*b² + 2*b¹ + 5*b⁰ = 1*7² + 2*7¹ + 5*7⁰ 
                     = 68  (Basis 10)

Er hat 68 Kinder nach unserem Maßstäben.

Roland Spindler ist zur Zahlenbasis durch entsprechende Schlußfolgerungen gekommen:

Die letzte Stelle von 125 ist 5,
daraus folgt die Basis ist größer als 5
und die Summe von 43 und 52 ist im Dezimalsystem kleiner als 125,
daraus folgt die Basis ist kleiner als 10.
3 + 2 ist auch dezimal 5, also gibt es keinen Übertrag.
4 + 5 gibt dezimal 9, d.h. 3 weniger als 12,
die Basis ist 10 - 3 = 7.

Er hat 4*7 + 3 = 31 Söhne, 
       5*7 + 2 = 37 Töchter 
       und 7 Tentakeln.

und Kai Kirchwehm hat festgestellt:
Man kann sich an seinen 7 Tentakeln abzählen, dass entweder die Lebenserwartung der Aliens sehr niedrig ist oder dass es auf dem Planeten ein ernsthaftes Bevölkerungsproblem gibt!

[ zur 12. Aufgabe ] [ zur 11. zurück ] [ zur Hall of FAME ]

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Lösung der 10. vom 1.6.98
Von den vielen richtigen Lösungen gebe ich hier heute die von Kai Kirchwehm wieder:

`Die beiden Uhren laufen pro Stunde 2,5 Sek. auseinander. ( Uhr 1 geht 1 s vor ; Uhr 2 geht 1,5 s nach) Da die Uhren nur eine 12h-Anzeige haben, ist die Frage, wann diese 2,5 Sekunden sich zu 12 Stunden summieren: für x (in Stunden) ergibt sich:`
`x * 2,5 s = 12 h x = 12 h : 2,5 s x = 43200 s : 2,5 s x = 17280 h = 720 Tage.`	`12 h = (12 * 60) min = (12 * 60 * 60) s = 43200 s`
Nach 720 Tagen zeigen beide Uhren wieder die gleiche Zeit an: (Uhr 1 geht 4 h 48 min vor und Uhr 2 geht 7 h 12 min nach. In Summe sind das tatsächlich 12 Stunden.)
Dein zweiten Teil der Aufgabe löst man am besten, wenn man zuerst herausfindet, wann die einzelnen Uhren wieder die richtige Zeit anzeigen: Bei Uhr 1 ist dies alle 12 * 60 * 60 Stunden = 43200 Stunden = 1800 Tage . in dieser Zeit geht sie jeweils 12 Stunden vor. Uhr 2 zeigt hingegen alle 1200 Tage die korrekte Zeit an (43200 Stunden : 1,5 = 28800 h = 1200 Tage). Nun muss man nur noch das kleinste gemeinsame Vielfache von 1200 und 1800 finden : Nach 3600 Tagen zeigen beide Uhren die richtige Zeit an (Uhr 1 geht 24 Stunden vor, Uhr 2 geht 36 Stunden nach). Wie alle Deine Aufgaben, hat auch diese eine praktische Komponente, aus der man etwas lernen kann: Wenn man schon eine falsch gehende Uhr hat, dann am besten eine, die möglichst viel falsch geht, denn die zeigt häufiger die richtige Zeit!!! ;-))

Interessant ist auch die Variante von Heinz, der die Aufgabe graphisch löste:

... am einfachsten geht es zu lösen, wenn man sich in einem Diagramm delta t (also die Zeitabweichung) für beide Uhren über t (der echten Zeit) aufträgt. Es ergibt sich eine Gerade mit einer Steigung von 1 sec / h, eine zweite mit - 1,5 sec / h.

1) Gesucht ist die Zeit, nach der beide Uhren ein und dieselbe Zeit anzeigen, das ist zum ersten mal genau dort, wo die obere Gerade zur unteren Geraden einen Abstand von 12 Stunden hat . Die Summe der Beträge der Abweichungen beider Uhren muss also 12 Stunden betragen. Da die Beträge der Abweichungen zueinander im Verhältnis 1 zu 1,5 bzw. 2 zu 3 bzw. 40 % zu 60 % stehen, beträgt die Abweichung der Uhr deines Sohnes zu diesem Zeitpunkt 40 % von 12 h = 4,8 h = 4,8 x 3600 sec. weil die Uhr je Stunde 1 sec abweicht, ist der Zeitpunkt genau 4,8 x 3600 h nach dem einstellen erreicht, d.h.nach genau 720 Tagen.

2) Diesmal müssen beide Geraden genau n x 12 h von der x-Achse entfernt sein ( n = natürl. Zahl), da die x-Achse genau der Abweichung null, also der echten Zeit entspricht. wegen des Verhältnisses zueinander (s.o.) bedeutet das, dass die Uhr deines Sohnes 2 x 12 h = 24 h vor-, die seines Freundes 3 x 12 h = 36 h nachgeht. Dies ist genau 24 x 3600 h bzw. 3600 Tage nach dem Einstellen erreicht.

"Gerhard" hat die Ergebnisse auf das konkrete Datum umrechnen lassen:

Die gleiche Zeitanzeige wird am 21.4.2000 um 12 Uhr erreicht:
nämlich 16:48:00 (Sohn) bzw. 04:48:00 (Freund).

Die richtige Zeitanzeige wird am 10.3.2008 um 12 Uhr erreicht:
nämlich 12:00:00 (Sohn) bzw. 00:00:00 (Freund).

[ zur 11. Aufgabe ] [ zur 10. zurück ] [ zur Hall of FAME ]

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Lösung der 9. vom 18.5.98

Es sei:

t_F   die Zeit des Flußruderers
t_S   die Zeit des Seeruderers
v    die eigentliche Geschwindigkeit 
     des Fluß- bzw. Seeruderers
v_F   die Geschwindigkeit des Flusses
s    eine Wegstrecke des 
     Fluß- bzw. Seeruderers

ausgehend von der Geschwindigkeit: 
v = s / t
ergibt sich für die Zeit     
t = s / v

dabei muss aber beachtet werden, dass 
bei dem Ruderer auf dem Fluß eine zweite Größe hinzukommt, 
die Geschwindigkeit des Flusses.
Die Gesamtgeschwindigkeit ist also für den Flußruderer 
die Summe aus eigener Geschwindigkeit und Geschwindigkeit 
des Flusses für den Hinweg und der Differenz für den Rückweg.

Es gilt:
für den Flußruderer:
t_F = s/(v+v_F) + s/(v-v_F) 
   = (s * (v-v_F) + s * (v+v_F)) / (v+v_F) * (v-v_F)
   = (s*v - s*v_F + s*v + s*v_F) / (v² - v_F²)
   = 2*s*v /(v² - v_F²)

und für den Seeruderer:   
t_S = 2*s/v

Wäre (v² - v_F²) = v², 
dann wäre t_S = t_F.
(v² - v_F²) ist aber kleiner als v²  
==>  t_S < t_F

die Gesamtgeschwindigkeit des Flußruderers ist kleiner 
als die des Seeruderers
und dementsprechend braucht er mehr Zeit als der Seeruderer.

Manuela hat dieses Ergebnis folgendermaßen in Worte gefaßt:
Eine kurze Begründung wäre, dass der sich der Flußruderer kürzere Zeit mit schnellerer Geschwindigkeit (relativ zum Land) fortbewegt und eine längere Zeit mit langsamerem Tempo.

Axel Brand hat sich neben der Lösung auch noch ausgiebig den Spezialfällen zugewandt:
Diskussion der anderen, möglichen Fälle:
Für den Ruderer F auf dem Fluß muss die Strömungsgeschwindigkeit v_F des Flusses in Rechnung gestellt werden, wobei wir zunächst 0 < v_F<v voraussetzen (außerdem v_F,v <<c, daher einfache Addition bzw. Subtraktion der Geschwindigkeiten nach Galilei):

(1) v_F = 0:
Bei v_F = 0 liegt keine Strömung vor; der Fluß bildet wie der See ein stehendes Gewässer. Die physikalischen Bedingungen sind damit für beide Ruderer äquivalent, so dass beide gleichzeitig das Ziel erreichen.
(uninteressanter Spezialfall)

(2) v_F = v:
Falls v_F gleich v ist, wird - mathematisch gesehen - die Gesamtzeit t_F des Ruderers auf dem Fluß unendlich groß. Physikalisch bedeutet dies, dass F zwar schnell zur Wendemarke gelangt, aber den Rückweg nicht mehr schafft: Die Kraft, die F aufwendet, um das Boot anzutreiben, wird durch die Strömung des Flusses kompensiert. F kann das Boot nur noch auf der Stelle halten, bringt es aber nicht vorwärts, so dass F das Ziel nicht mehr erreicht.

(3) v_F > v:
Falls v_F größer als v ist, erleiden die Anstrengungen F's, das Boot flußaufwärts ins Ziel zu bringen, sozusagen völligen Schiffbruch: F kann das Boot nicht einmal mehr auf der Stelle halten, sondern wird von der Strömung immer weiter vom Ziel abgetrieben.

Fazit:
Der Zeitgewinn, den F nach der Fahrt flußabwärts (durch die Geschwindigkeitszunahme aufgrund der Strömung) gegenüber S erlangt, reicht also in keinem Fall aus, um den Zeitverlust bei der Fahrt gegen die Strömung auszugleichen.

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Lösung der 8. vom 4.5.98
Zwei gleiche Kisten von nicht vorgegebener Größe n (d.h. gleiche Größe und Material ergibt gleiches Gewicht) beide randvoll gefüllt mit Kugeln gleicher Wichte ( d.h. die Gewichtskraft aus Dichte und Erdanziehung ist gleich)

Kiste 1:
64 Kugeln räumlich angeordnet => je 4 Kugeln in der Länge , Breite und Höhe
jede Kugel vom Durchmesser n/4 und Radius : n/ 8

Kugelvolumen : V = 4/3 *  PI * r³
               V = 4/3 *  PI * (n/8)³            |Radius einsetzen
               V =  PI * 4/3 * n³ * 1/8³         |umstellen
eine Kugel:    V =  PI *  n³ * 4 /(3 * 8³)
64 Kugeln :    V =  PI *  n³ * 4 /(3 * 8³) * 64
               V =  PI *  n³ * (4*64 / 3*8³)     |umstellen;kürzen
               V =  PI *  n³ * ( 1/6 )

Kiste 2:
27 Kugeln räumlich angeordnet => je 3 Kugeln in der Länge , Breite und Höhe
jede Kugel vom Durchmesser n/3 und Radius : n/ 6

Kugelvolumen : V = 4/3 *  PI * r³
               V = 4/3 *  PI * (n/6)³            |Radius einsetzen
               V =  PI * 4/3 * n³ * 1/6³         |umstellen
eine Kugel:    V =  PI *  n³ * 4 /(3 * 6³)      
27 Kugeln :    V =  PI *  n³ * 4 /(3 * 6³) * 27  
               V =  PI *  n³ * (4*27 / 3*6³)     |umstellen;kürzen
               V =  PI *  n³ * ( 1/6 )

Unabhängig von der Konstanten PI sind auch die dritte Potenz der Kistenlänge und die ausmultiplizierten und gekürzten Zahlenwerte gleich.
Daraus folgt, beide Kisten gleich schwer sind.

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.

Helmut Schmidt

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