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Lösung der 20.    vom 14.12.98

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Die vorgegebene Lösung ist eine Kombination der Lösungen von Eric Schommer und Stefan Breinbauer .

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Lösung der 19.    vom 30.11.98

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Zu dieser Aufgabe erhielt ich so viele interessante Beweise, dass ich heute gleich 5 Beispiellösungen veröffentlichen möchte.

Als 1. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Thomas Keller wieder:

Beh.: 6|p*p-1 für p>3

Zu zeigen: 2|p*p-1 und 3|p*p-1 für p>3

2 teilt nicht p, da p Primzahl. Also 2 teilt nicht p*p. Also 2|p*p-1.

Da jede 3. Zahl durch 3 teilbar ist gilt 3|p oder 3|p-1 oder 3|p+1.
3 teilt nicht p, da p Primzahl und p>3. Also 3|p-1 oder 3|p+1.
Wegen p*p-1 = (p+1)*(p-1) (3. binomische Formel) gilt 3|p*p-1.
Q.E.D.

Als 2. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Stefan Breinbauer wieder:

Beweis:
n sei eine natürliche Zahl. 2n damit eine durch 2, 3n eine durch 3 teilbare Zahl.

2n+1 ist somit eine nicht durch 2 teilbare Zahl.
(2n+1)² = 4n²+4n+1
Subtrahiert man 1, ergibt sich 4n²+4n = 4 (n²+n), also wegen des Multiplikators 4 eine durch 2 teilbare Zahl.
Es gilt also: Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 2 teilbaren Zahl, so ist das Ergebnis durch 2 teilbar.


3n+1 und 3n-1 sind die einzigen Varianten, nicht durch 3 teilbarer Zahlen.
(3n+1)² = 9n²+6n+1
(3n-1)² = 9n²-6n+1
Subtrahiert man 1, ergibt sich 9n²+6n = 3 (3n²+2n) bzw. 3 (3n²-2n), also wegen des Multiplikators 3 eine durch 3 teilbare Zahl.
Es gilt also: Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Zahl, so ist das Ergebnis durch 3 teilbar.

Zusammenfassend gilt:
Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbaren Zahl , so ist das Ergebnis durch 2 und durch 3, also auch durch 2*3 = 6 teilbar. Eine solche nicht durch 2 und 3 teilbare Zahl ist z.B. eine Primzahl>3.
q.e.d.

P.S.: wie man im ersten Teil des Beweises sehen kann ist das Ergebnis ja nicht nur durch 2, sondern sogar durch 4 teilbar und somit das Quadrat einer Primzahl - 1 sogar durch 12.

Als 3. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von André Lanka wieder:

p hat bei Division durch 6 die moeglichen Reste: 0,1,2,3,4,5
0,2 und 4 fallen raus, da p dann durch 2 teilbar waere.
3 faellt raus, da p dann durch 3 teilbar waere.
p*p hat nun bei Division durch 6 die Reste
1*1=1
5*5=25=24+1=1
p*p für p>3 laesst also bei Division durch 6 immer den Rest 1.
Logischerweise hat dann p*p-1 den Rest 0, ist also immer durch 6 teilbar.

uebrigens ist p*p-1 (p>3) sogar immer durch 24 teilbar:
P*p-1=(p+1)(p-1)
da p nicht durch 3 teilbar ist, ist es entweder p+1 oder p-1.
p ist nicht durch 2 teilbar, somit sind p+1 und p-1 durch 2 teilbar, einer der beiden sogar durch 4.
==> Einer der beiden Faktoren ist durch 4 teilbar, der andere durch 2 und weiterhin einer der beiden durch 3.
Somit ist das Produkt durch 24 teilbar.

Als 4. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Jürgen Bosbach wieder:

Alle ungeraden Zahlen lassen sich in der Form U = 2n ± 1 (n = 1, 2, 3,....) darstellen.

Ihr Quadrat lautet U2 = 4n2 ± 4n + 1 gleich U2 - 1 = 4n2 ± 4n = 4n (n ± 1)

n und n+1 bzw. n-1 sind aufeinanderfolgende Zahlen, also ist eine davon gerade, d.h. durch 2 teilbar.

Hieraus folgt:

Zieht man vom Quadrat einer ungeraden Zahl 1 ab, so ist der Rest durch 4 x 2 = 8 teilbar.

Ebenso kann man alle Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind.... und hierzu gehören natürlich auch alle Primzahlen außer 2 und 3....in der Form T = 6n ± 1 schreiben.

Für sie gilt ebenso (siehe oben):

T2 = 12n (3n ± 1)

Woraus ersichtlich ist, dass das Quadrat dieser Zahlen, abzüglich 1 durch 12x2 = 24 teilbar ist, d.h. jede Primzahl in der Form (P x P) - 1 ist - wenn durch 24 teilbar - unter anderem auch durch 6 teilbar.
q.e.d.

Als 5. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Hartmut Klotz wieder:

Beweis: N : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,...
N mod 6: 1,2,3,4,5,0,1,2,3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0,...

p Primzahl > 3

p²-1 = (p+1)*(p-1) = a*b mit a = b + 2 und a, b gerade

In der Zahlenreihe N mod 6 gibt es nun 3 Möglichkeiten für a und b:

2,4: Kann nicht sein, da sonst p durch 3 teilbar wäre und somit keine Primzahl
4,0 oder 0,2 : Dann ist a oder b durch 6 teilbar und damit auch a*b=p²-1

Also gilt die Behauptung für alle Primzahlen p > 3 q.e.d.
 
 

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