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+ des Rätsels Lösung +

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Lösung der 20. Aufgabe   vom 14.12.98

Die Aufgabe ist nur dann zu lösen, wenn der Wahrheitswert der 10 Aussagen widerspruchsfrei zu allen Aussagen gesetzt werden kann.

Die vorgegebene Lösung ist eine Kombination der Lösungen von Eric Schommer und Stefan Breinbauer .

Aussage  Begründung
Nr.6 muss immer wahr sein   da, wenn Nr. 6  falsch ist, die Aussage wieder richtig wäre.
Nr.1 muss falsch sein und
Nr.2 muss wahr sein.
  Wegen der Formulierung von Aussage 2,
gibt es nur eine logische Kombination von Aussage 1 und 2,
nämlich Aussage 1 ist falsch und Aussage 2 damit richtig.
Nr.9 und 
Nr.10 falsch
  folgt aus 1;
entweder Nr.7 
oder Nr.8 wahr
  folgt aus 6; 
beide können nicht wahr sein, weil kein Prozentsatz durch 6 und 7 teilbar ist.
 
Ich setze nun :  
Nr.7 auf wahr und 
Nr.8 auf falsch,
  
Nr.3 muss wahr sein   weil Nr.8, Nr.9 und Nr.10 falsch sind.
Nr.5 muss falsch sein   weil ich sonst nicht Nr.7 erfüllen kann. 
Nr.2 und 
Nr.4 auf wahr.
  wegen Nr. 10 brauche ich 3 wahre Aussagen hintereinander, 
Es gilt: 
Aussagen 2, 3, 4, 6, 7 sind wahr
      und 
Aussagen 1, 5, 8, 9, 10 sind falsch.


Jetzt habe ich alle Wahrheitswerte gesetzt und suche die Zahl.
Aussage 4 
(muss wahr sein):
  Zahl muss durch 5 teilbar sein.
[Die gesuchte Zahl ist teilbar durch die Differenz der Nummern der letzten 
( 7 )und der ersten ( 2 ) richtigen Behauptung]
Aussage 7
(muss wahr sein):
  Zahl muss durch 2,3,4,6 und 7 teilbar sein.
[Die gesuchte Zahl ist durch die Nummer jeder richtigen Behauptung teilbar.]
Die kleinste Zahl, die die Aussagen 4 und 7 erfüllt, ist : 420 !
Aussage 9
(muss falsch sein):
  kontrollieren ob Nr.9 falsch ist :
[Die Anzahl der Teiler der gesuchten Zahl (abgesehen von 1 und der Zahl selbst) ist grösser als die Summe der Nummern der richtigen Behauptungen.]
es gibt 22 Teiler von 420: (außer 1 und 240)
210, 140, 105, 84, 70, 60, 42, 35, 30, 28, 21, 20, 15, 14, 12, 10, 7, 6, 5, 4, 3, 2
Die Summe der Nummern der wahren Aussagen:
2 + 3 + 4 + 6 + 7 = 22
Nr.9 ist also falsch, da 22 nicht größer als 22 ist.
Aussage 8
(muss falsch sein):
  [Die gesuchte Zahl ist der Prozentanteil der richtigen Behauptungen.]
420 ist ungleich 50
Aussage 5
(muss falsch sein):
  [Die Summe der Nummern der richtigen Behauptungen ist die gesuchte Zahl.]
420 ist ungleich 22
   Die gesuchte Zahl ist die 420 !

 
 
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Lösung der 19. Aufgabe   vom 30.11.98

Zu dieser Aufgabe erhielt ich so viele interessante Beweise, dass ich heute gleich 5 Beispiellösungen veröffentlichen möchte.

Als 1. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Thomas Keller wieder:

Beh.: 6|p*p-1 für p>3

Zu zeigen: 2|p*p-1 und 3|p*p-1 für p>3

2 teilt nicht p, da p Primzahl. Also 2 teilt nicht p*p. Also 2|p*p-1.

Da jede 3. Zahl durch 3 teilbar ist gilt 3|p oder 3|p-1 oder 3|p+1.
3 teilt nicht p, da p Primzahl und p>3. Also 3|p-1 oder 3|p+1.
Wegen p*p-1 = (p+1)*(p-1) (3. binomische Formel) gilt 3|p*p-1.
Q.E.D.

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Als 2. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Stefan Breinbauer wieder:

Beweis:
n sei eine natürliche Zahl. 2n damit eine durch 2, 3n eine durch 3 teilbare Zahl.

2n+1 ist somit eine nicht durch 2 teilbare Zahl.
(2n+1)2 = 4n2+4n+1
Subtrahiert man 1, ergibt sich 4n2+4n = 4 (n2+n), also wegen des Multiplikators 4 eine durch 2 teilbare Zahl.
Es gilt also: Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 2 teilbaren Zahl, so ist das Ergebnis durch 2 teilbar.


3n+1 und 3n-1 sind die einzigen Varianten, nicht durch 3 teilbarer Zahlen.
(3n+1)2 = 9n2+6n+1
(3n-1)2 = 9n2-6n+1
Subtrahiert man 1, ergibt sich 9n2+6n = 3 (3n2+2n) bzw. 3 (3n2-2n), also wegen des Multiplikators 3 eine durch 3 teilbare Zahl.
Es gilt also: Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Zahl, so ist das Ergebnis durch 3 teilbar.

Zusammenfassend gilt:
Subtrahiert man 1 vom Quadrat einer nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbaren Zahl , so ist das Ergebnis durch 2 und durch 3, also auch durch 2*3 = 6 teilbar. Eine solche nicht durch 2 und 3 teilbare Zahl ist z.B. eine Primzahl>3.
q.e.d.

P.S.: wie man im ersten Teil des Beweises sehen kann ist das Ergebnis ja nicht nur durch 2, sondern sogar durch 4 teilbar und somit das Quadrat einer Primzahl - 1 sogar durch 12.

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Als 3. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von André Lanka wieder:

p hat bei Division durch 6 die moeglichen Reste: 0,1,2,3,4,5
0,2 und 4 fallen raus, da p dann durch 2 teilbar waere.
3 faellt raus, da p dann durch 3 teilbar waere.
p*p hat nun bei Division durch 6 die Reste
1*1=1
5*5=25=24+1=1
p*p für p>3 laesst also bei Division durch 6 immer den Rest 1.
Logischerweise hat dann p*p-1 den Rest 0, ist also immer durch 6 teilbar.

uebrigens ist p*p-1 (p>3) sogar immer durch 24 teilbar:
P*p-1=(p+1)(p-1)
da p nicht durch 3 teilbar ist, ist es entweder p+1 oder p-1.
p ist nicht durch 2 teilbar, somit sind p+1 und p-1 durch 2 teilbar, einer der beiden sogar durch 4.
==> Einer der beiden Faktoren ist durch 4 teilbar, der andere durch 2 und weiterhin einer der beiden durch 3.
Somit ist das Produkt durch 24 teilbar.

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Als 4. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Jürgen Bosbach wieder:

Alle ungeraden Zahlen lassen sich in der Form U = 2n ± 1 (n = 1, 2, 3,....) darstellen.

Ihr Quadrat lautet U2 = 4n2 ± 4n + 1 gleich U2 - 1 = 4n2 ± 4n = 4n (n ± 1)

n und n+1 bzw. n-1 sind aufeinanderfolgende Zahlen, also ist eine davon gerade, d.h. durch 2 teilbar.

Hieraus folgt:

Zieht man vom Quadrat einer ungeraden Zahl 1 ab, so ist der Rest durch 4 x 2 = 8 teilbar.

Ebenso kann man alle Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind.... und hierzu gehören natürlich auch alle Primzahlen außer 2 und 3....in der Form T = 6n ± 1 schreiben.

Für sie gilt ebenso (siehe oben):

T2 = 12n (3n ± 1)

Woraus ersichtlich ist, dass das Quadrat dieser Zahlen, abzüglich 1 durch 12x2 = 24 teilbar ist, d.h. jede Primzahl in der Form (P x P) - 1 ist - wenn durch 24 teilbar - unter anderem auch durch 6 teilbar.
q.e.d.

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Als 5. Beispiel gebe ich den Lösungsweg von Hartmut Klotz wieder:

Beweis: N : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,...
N mod 6: 1,2,3,4,5,0,1,2,3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0,...

p Primzahl > 3

p2-1 = (p+1)*(p-1) = a*b mit a = b + 2 und a, b gerade

In der Zahlenreihe N mod 6 gibt es nun 3 Möglichkeiten für a und b:

2,4: Kann nicht sein, da sonst p durch 3 teilbar wäre und somit keine Primzahl
4,0 oder 0,2 : Dann ist a oder b durch 6 teilbar und damit auch a*b=p2-1

Also gilt die Behauptung für alle Primzahlen p > 3 q.e.d.
 
 

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© Karin S., Aug. '98 last update Nov. '98