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Lösung der 11.    vom7.6..99

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Als Beispiel habe ich die Lösung von Manuela ausgesucht:

Endlich eine Aufgabe, die den österreichischen SurferInnen entgegenkommt ;-).

Nehmen wir mal an, unser Mr. Splendid hat 1800 Schilling (da die Währung nicht vorgegeben war) in der Tasche.
Im ersten Lokal zahlt er 60 Schilling Eintritt, es verbleiben ihm 1740 öS. Davon gibt er die Hälfte aus, somit bleiben ihm 870. Davon gehen 30 Schilling Garderobe ab, woraufhin er das nächste Lokal mit 840 öS in der Tasche betritt. Minus 60 öS Eintritt ergibt 780, davon gibt er die Hälfte aus. Abzüglich der Garderobengebühr verlässt er das Lokal mit 360 öS in der Tasche. Im 3. Lokal bezahlt er 60 Schilling Garderobe, verbraucht die Hälfte des Restes und bezahlt beim Ausgang 30 öS, woraufhin er noch 120 öS besitzt. Im letzten Lokal zahlt er wieder 60 öS Eintritt, gibt 30 öS aus und kann mit den restlichen 30 öS gerade noch die Garderobe bezahlen.

Natürlich habe ich es genau umgekehrt gemacht, ich habe beim letzten Lokal angefangen in meiner Berechnung :-).

Auch Hans-Jürgen Gräbner hat die Aufgabe ähnlich gelöst und die Ausgaben sehr übersichtlich in einer Tabelle festgehalten:

Lokal	Ankunft	Eintritt	vor dem Essen	Essen	Garderobe	beim Verlassen
1 2 3 4	1800 840 360 120	60 60 60 60	1740 780 300 60	870 390 150 30	30 30 30 30	840 360 120 0

Rüdiger Engelmann: betrachtete den mathematischen Inhalt mittels Gleichungen:

Ausgaben:
nur 1 Lokal:
((x-60)/2)-30
für 2 Lokale:
(((((x-60)/2)-30)-60)/2)-30
für 3 Lokale:
((((((((x-60)/2)-30)-60)/2)-30)-60)/2)-30
für 4 Lokale:
(((((((((((x-60)/2)-30)-60)/2)-30)-60)/2)-30)-60)/2)-30)

laut Aufgabenstellung soll dieser Term gleich Null gesetzt werden:

0 = (((((((((((x-60)/2)-30)-60)/2)-30)-60)/2)-30)-60)/2)-30)

0 = x/16 - 60/16 - 30/8 - 60/8 - 30/4 - 60/4 - 30/2 - 60/2 -30

0 = x/16 - ((15)*60)/16 - (30 * 30)/16

x = 900 + 900

x = 1800

Antwort: Es waren zu Beginn also 1800,-

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gegeben:
3 Personen
n : Anzahl der Lokale   ; n=4
e : Eintritt : 3 Personen je 20,- ; e = 60,-
g : Garderobe: 3 Personen je 10,- ; g = 30,-
gesucht: x = Geldbetrag vor Beginn der Tour

allgemeine Formel:

x = (2^n-1) * (e + 2*g)

Die Aufgabe ist witzig. Da es nur vier Kneipen sind, könnte man es ja
einfach mal durchspielen - ich fand es aber besser, wenigstens ein
bisschen Mathematik zu betreiben... :-)
Also, erstmal ein Satz:
Ist
f:R->R eine lineare Fkt der Form f(x) = m*x + b
und bezeichne
f[n](x) die n-fache Verkettung (also f[1](x)=f(x), f[2](x)=f(f(x)),
f[3](x)=f(f(f(x))),...),
dann gilt:
f[n](x) = (m^n)*x + b*( 1 + m + m^2 +...+ m^(n-1) )
Beweis: trivial, durch vollst. Induktion.

Wenn nun McGenerous und seine zwei Freunde mit z Geldeinheiten (GE) in
eine Kneipe gehen, kommen sie mit
K(z) = ( z - 3*20 )/2 - 3*10 = z/2 - 60 GE aus derselben heraus.
Wenn sie also mit x GE starten,
dann haben sie nach n Kneipen noch K[n](x) GE.
Wir haben
m = 1/2  ,  b = -60
und erhalten (mit Vereinfachung des letzten Terms):

K[n](x) = 2^(-n)*x - 60*( 2 - 2^(1-n) )

Es soll gelten K[n](x) == 0
=>  x = 120 * (2^n - 1)

In unserem Fall (n=4):
x = 120 * 15 = 1800

McGenerous startete also mit 1800 Geldeinheiten.

 [ zur 12 Aufgabe ]  [ zur 11. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

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Lösung der 10.    vom24.5.99

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Auch wenn die Aufgabe auf den ersten Blick noch recht einfach aussieht, kann man das Ergebnis aber nur näherungsweise berechnen.

Die Loesung: Der Gang ist ca 2.603 m breit.

Vorbemerkung: steht vor einer Klammer ein Wurzelzeichen, so soll der folgende Klammerausdruck radiziert werden.
( leider besitzt der HTML-Standerd noch keinen Formeleditor ;-))

Lösungsweg 1
über Winkelbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken:
von Bernard

Sei h1 die Laenge des Wandstuecks links unter der Leiter mit 4 m Laenge
Sei h2 die Laenge des Wandstuecks rechts unter der 3 m Leiter.
Seien weiter x1 das rechte Teilstueck des Bodens von Wand bis Fusspunkt des Kreuzungspunktes, x2 entsprechend das linke Teilstueck.

nach dem Satz des Pythagoras gilt:

(I) x² = 16 - h1²
(II) x² = 9 - h2²

I und II gleichgesetzt:
16 - h1² = 9 - h2²
(III) 7 = h1² - h2²

der Form nach kann man diese Beziehung
in einem rechtwinkligen Dreieck darstellen:

(IIIa) h1² =  ² + h2²

mit Hilfe der
Winkelbeziehung in rechtwinkligen Dreiecken erhält man:

(IV) cos alpha = / h1
(Ankathete zu Hypotenuse)

und

(V) cot alpha = / h2
(Ankathete zu Gegenkathete)

(IV) + (V):

(VI) cos alpha + cot alpha = / h1 + / h2

= * (h1 + h2) / h1 * h2

= * (1/h1 + 1/h2)

Hilfe: (Strahlensatz)

(VII) 1 / h1 = x1 / x

(VIII) 1 / h2 = x2 / x

(VII) und (VIII) eigesetzt in (VIa):

cos alpha + cot alpha = * (x1/x + x2/x)
= * ((x1 + x2) / x)

da x1 + x2 = x ist, gilt:

cos alpha + cot alpha =

daraus ergibt sich:
alpha = 29,40 °
[trigonometrische Gleichung mit einer Variablen, die jetzt mit jedem Naeherungsverfahren/Computer berechnet werden kann]

(IV) nach h umgestellt und in (I) eingesetzt:

x² = 16 - h1² mit: h1 = / cos alpha

x² = 16 - 7 / cos² alpha

x² = 16 - 7 / (0,8712 * 0,8712)

x = 6,776629

x = 2,60319

2. Lösungsweg: ( von Martin Baselt)

Ich bezeichne den gesuchten Abstand mit x,
die Höhe der 4m langen Leiter an der Wand mit h1,
die Höhe der 3m langen Leiter an der Wand mit h2,
den Abstand des Kreuzungspunktes von der Wand h1 mit x2
und den Abstand des Kreuzungspunktes von der Wand h2 mit x1.

Dann gilt nach Strahlensätzen:
h1/1 = x/x1 ==> x1=x/h1
h2/1 = x/x2 ==> x2=x/h2

x1+x2=x ==> x/h1 + x/h2 =x
==> 1/h1+1/h2=1 ==> h2=h1/(h1-1)

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
h1²+x²=4²
h2²+x²=3²

Nach Einsetzen erhält man die beiden Gleichungen:
h1²+x²=16
(h1/(h1-1))²+x²=9

Ich subtrahiere die Gleichungen voneinander:
h1²-(h1/(h1-1))²=7

Aufgelöst ergibt das die Gleichung:

h1⁴ - 2*h1³ - 7*h1² + 14*h1 - 7 = 0

Diese Gleichung hat im Bereich 1 < h1 < 4 nur eine Lösung:
h1 = 3,037 m

Also ist x = 16-h1² = 2,603 m.

3. Lösungsweg:
( in Anlehnung an die Lösung von Roland Spindler)


h1...Hoehe der linken Wand (bis zur Leiter)
h2...ditto rechte Wand
x2...linker Teil des Ganges
(Anm.: Hier ist NICHT der indische Fluss gemeint!)
x1...rechter Teil
Damit komme ich auf folgende Formeln:

x = x1 + x2
h1 = 16 - x²
h2 = 9 - x²

Ausserdem gibt es ein paar kongruente Dreiecke,
mit denen ich folgende Formeln aufstellen kann:
x1 / 1 = x / h1 => x1 = x / h1
x2 / 1 = x / h2 => x2 = x / h2

Ich setze das alles ein und komme auf folgende Gleichung:

x = x/ 16-x² + x/9-x²

16-x²*9-x² = 9-x² + 16-x²

0 = 16-x² * 9-x² - ( 9-x² + 16-x² )

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Lösung der 9.    vom10.5.99

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Als Beispiel habe ich die Lösung von *Roland Spindler* ausgesucht:

Beide Pumpen gemeinsam brauchen 6 Stunden:
M = (v1 + v2) * 6
Die eine Pumpe füllt die Haelfte in x Stunden:
M/2 = v1 * x
...und die andere den Rest:
M/2 = v2 * (14 - x)
...was wiederum einen vollen Kessel ergibt:
M = v1 * x + v2 * (14 - x)

Die erste und letzte Gleichung setze ich gleich:
(v1 + v2) * 6 = v1 * x + v2 * (14 - x)
6 * v1 + 6 * v2 = v1 * x + v2*(14 - x)
6 * v1 - v1 * x = v2 *(14 - x) - 6 * v2
v1 * (6 - x) = v2 * (8 - x)
v1 = v2 * (8 - x) / (6 - x)

Das setze ich jetzt in die beiden anderen Gleichungen ein:
v1 * x = v2 * (14 - x)
x * v2 * (8 - x)/(6 - x) = v2 * (14 - x)
x *(8 - x) = (14 - x) * (6 - x)
8x - x² = 84 - 14x - 6x + x²
2x² - 28x + 84 = 0
x² - 14x + 42 = 0
x = 7 +- 7² - 42
x = 7 +-
x1 = 9,645751311065
x2 = 4,354248688935
Die langsamere Pumpe braucht ca. 9,6 Stunden und die schnellere etwa 4,4 Stunden, um jeweils den halben Kessel zu füllen.

Daher braucht die schnellere für den ganzen Kessel genau das Doppelte, das sind ca 8,71 Stunden bzw. 8 Stunden 42 Min 30 s.
(Sie ist übrigens etwa 2,2 mal so schnell wie die andere Pumpe.)

nachdem ich zur letzten Aufgabe einen Hinweis zur Rechengenauigkeit gegeben habe, erhielt ich diesmal diese phänomenale Leistung: ;-))
Stärkere Pumpe:
336 / (28 + 4 * ) = 8.708497 377870 818818 996768 492721 479148 579481 633835 099639 263331 081597 863096 778454 274359 044849 919854 925955 498274 183404 875203 636762 274035 590064 1 Stunden

nachdem diese Rechenleistung wohl kaum noch zu überbieten ist, schlage ich vor, die Ergebnisse wieder in einer " normalen", das heißt logischen, Dimension anzugeben ;-))

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