Lösungen zu Aufgaben, bei denen man schon
ein klein wenig rechnen oder knobeln musste ;-)
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J+G Thaler, Gernot Lanz, Koal Vago, Zora, Horst Reblitz, Dead ChaoT
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Gärtner muss genau 21 Pflanzen in 9 geraden Reihen zu je 5 Stück anpflanzen.
Wie muss er die Pflanzen anordnen? (Aufgabe von Gernot Lanz)
zur Anschauung ein paar Beispiele:
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100 kg Erdbeeren sollen per Flugzeug transportiert werden. Sie bestehen aus 99% Flüssigkeit und 1% Festbestandteilen. Die trockene Luft sowie mangelhafte Verpackung sorgen dafür, dass etwas vom Flüssiganteil der Erdbeeren verdunstet, so dass dieser bei Ankunft nur noch 98% beträgt.
Wieviel wiegen die Erdbeeren bei Ankunft? (Aufgabe von Stefan Breinbauer)
Von den 100 kg Erdbeeren sind 1 kg (1%) Festbestandteil.
Beim Transport hat sich der Flüssigkeitsgehalt der Früchte von 99% auf 98% verringert.
Dies bedeutet, dass der 1 kg Festbestandanteil 2% der verbliebenen Menge entspricht.
Durch eine einfache Schlußrechnung erhält man, dass nur noch 50 kg Erdbeeren den Transport "überstanden" haben.
2 % entsprechen 1 kg
100 % demnach 50 kg
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Logiktest (beliebt als Intelligenz- oder Einstellungstest mancher Firmen)
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Wie sehen die nächsten zwei Reihen aus?
Am einfachsten ist die Aufgabe zu lösen, wenn man die Zeilen (mehr oder weniger ) laut vorliest.
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 |
1 mal (die) 1 ; --> 1 1 2 mal (die) 1 ; --> 2 1 1 mal 2, 1 mal 1 1 mal 1, 1 mal 2, 2 mal 1 3 mal 1, 2 mal 2, 1 mal 1 1 mal 3, 1 mal 1, 2 mal 2, 2 mal 1 |
| Damit ergeben sich für die nächsten beiden Zeilen: | |
(3 1 2 2 1 1) 1 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 |
1*3, 1*1, 2*2, 2*1 1*1, 1*3, 2*1, 3*2, 1*1 (3*1, 1*3, 1*2, 1*1, 1*3, 1*2, 2*1) |
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Finde die kleinste Zahl, die bei Multiplikation mit ihrer Endziffer derart geändert wird, dass diese Ziffer vom Ende der Zahl an deren Anfang überwechselt!
...von der Bedingung ausgehend muss man einfach multiplizieren.. ;-))
also alle Zahlen von 2 bis 9 testen:
..zuerst die Zahl mit sich selbst multiplizieren....die Einerstelle ergibt
die nächste Stelle (von rechts nach links) und falls vorhanden, muss man die
Zehnerstelle aufbewahren, um sie zur nächsten Stelle addieren zu können...
und so geht es dann weiter, bis man irgendwann zu den Ziffern 0 und 1
kommt..dann ist die Aufgabe beendet..
Somit ergibt sich dann folgende Reihenfolge: Faktor: 4 Stellen: 06 Faktor: 8 Stellen: 13 Faktor: 2 Stellen: 18 Faktor: 7 Stellen: 22 Faktor: 3 Stellen: 28 Faktor: 5 Stellen: 42 Faktor: 9 Stellen: 44 Faktor: 6 Stellen: 58
and the winner is...... der Faktor 4 mit nur 6 Stellen bis zur Wiederholung: 102564 * 4 = 410256
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SEND MORE MONEY
Wieviel Geld soll Frau Oldenburg ihrem Sohn schicken???
Die einzige Loesung ist :
SEND = 9567 (+) MORE = 1085 (=) MONEY = 10652
S E N D 9 5 6 7
+ M O R E + 1 0 8 5
M O N E Y 1 0 6 5 2
Die Mutter soll den Extremisten für ihren Sohn also 10.652 MONEY schicken.
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Die Sternchen sind durch so durch Ziffern zu ersetzen, dass die Multiplikationsaufgabe korrekt gelöst ist.
6 * * mal * * *
----------------
* 5 * 5
* * * *
* * *
----------------
* * 5 * 4 * |
6 4 5 mal 7 2 1
----------------
4 5 1 5
1 2 9 0
6 4 5
----------------
4 6 5 0 4 5 |
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Unser Beitrag zum GOETHE-Jahr: ;-))
Die Buchstabengleichung ist in eine wahre math.Gleichung umzuwandeln.
(Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern)
G O E T H E 9 6 7 8 4 7
+ E G M O N T + 7 9 0 6 2 8
W E R T H E R 1 7 5 8 4 7 5
die Buchstaben entsprachen folgenden Ziffern:
1 = W 6 = O
2 = N 7 = E
( 3) 8 = T
4 = H 9 = G
5 = R 0 = M
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Welche vierstellige Zahl (mit 4 unterschiedlichen Ziffern) ist durch ihr Palindrom (gleiche Ziffern, aber spiegelverkehrt angeordnet) teilbar ?
Bem: Palindrom im weiteren Sinne
wie z.B. : EGAL <--> LAGE und nicht wie OTTO <--> OTTO
Die beiden Zahlen:
8 7 1 2
9 8 0 1
sind die einzigen vierstelligen Zahlen,
die durch ihr Palindrom teilbar sind:
8 7 1 2 : 2 1 7 8 = 4
9 8 0 1 : 1 0 8 9 = 9
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Kann aus den angegebenen Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18 ein Rechteck gebildet werden?
Um nicht einfach durch reines Probieren nach einer vielleicht nicht existierenden Lösung zu suchen, habe ich folgende Vorüberlegungen angestellt:
Ich habe zuerst die Fläche des zu konstruierenden Rechtecks berechnet:
A = 12 + 42 + 72 + 82 + 92 + 102 + 142 + 152 + 182 = 1.056
Wäre das Ergebnis A eine Primzahl, so hätte ich gezeigt, dass das Problem A=a*b (a,b ganzzahlig) nicht lösbar ist. Da es sich hier aber um keine Primzahl handelt, fahre ich mit meiner Untersuchung weiter und zerlege die Zahl in Primfaktoren:
1.056 = 25 * 3 * 11
Mit Hilfe dieser Primfaktorzerlegung ermittle ich die beiden Seitenlängen a und b des gesuchten Rechtecks. Da das größte Teilstück die Abmessung 18x18 hat, müssen sowohl a als auch b mindestens 18 Einheiten betragen. Ich erhalte drei mögliche Abmessungen für das gesuchte Rechteck:
22 x 48
24 x 44
32 x 33
Verwendet man die dritte Möglichkeit, erhält man tatsächlich eine Lösung:
Anmerkung: Moron gelang 1925 eine Zerlegung eines 32x33 Rechteckes in 9 unterschiedlich große Quadrate .
PS: Wieviel Farben benötigt man höchstens zum Einfärben der Quadrate, ohne dass benachbarte Quadrate die gleiche Farbe aufweisen?
Interessanter Weise nur 3 : 
Zusatz: Wem die Aufgabe zu einfach gewesen war, der kann ein 112 x 112 Quadrat mit 21 verschiedenen Quadraten ausfüllen.
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gegeben ist die Reihe : 1 , 2 , 1 , 8 , 8 2 3 5 3 Gib die nächsten 2 Glieder an !
zuerst werden die Brüche umgeformt, damit man den Zusammenhang erkennen kann:
1 , 2 , 4 , 8 , 16 2 3 4 5 6an = (2n-1) / (n+1)
somit sind die nächsten Glieder: 32 , 64 bzw. 32 , 8 7 8 7
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J+G Thaler, Gernot Lanz, Koal Vago, Zora, Horst Reblitz, Dead ChaoT
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Ein Gärtner hat in einem Beet 10 Rosenstöcke anzupflanzen. Dabei sollen die Stöcke in genau 5 geraden Reihen so gepflanzt werden, dass in jeder Reihe genau 4 Rosenstöcke stehen.
zur Anschauung ein paar Beispiele:
die schönste und symmetrische Lösung erhält man, indem man die Eck- und Schnittpunkte eines Pentagramms benutzt:
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röm. Zahlen
Gegeben ist folgende Gleichung aus Streichhölzern:
nun soll genau ein Streichholz so umgelegt werden,
dass die Gleichung wahr wird.
aber: Ungleichheitszeichen sowie das Erstellen
eines Plus- oder Minuszeichens ist nicht erlaubt.
Immerhin kann man mit den Hölzern ein Wurzelzeichen basteln:
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R Ä T S E L mal * * * * * * *
R Ä T S E L
L R Ä T S E
E L R Ä T S
S E L R Ä T
T S E L R Ä
Ä T S E L R
R Ä T S E L
R * * Ä * T S * * E * L |
1 4 2 8 5 7 mal 1 3 2 6 4 5 1
1 4 2 8 5 7
7 1 4 2 8 5
5 7 1 4 2 8
8 5 7 1 4 2
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
1 4 2 8 5 7
1 8 9 4 9 2 8 1 0 5 0 7 |
die Peiode der 7 macht's möglich ;-))
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geg.: Hunde, H = 24.- DM ;
0 < H < 5
Katzen, K = 1.- DM
Mäuse, M = 0.25 DM
Wie viele Tiere von jeder Sorte musste er erwerben,
damit er für DM 100,-
genau 100 Tiere bekommt???
H + K + M = 100
24 * H + 1 * K + 1/4 * M = 100
H + K + M = 24 * H + 1 * K + 1/4 * M
23 H = 3/4 M
92/3 H = M
--------------
H = 3
M = 92/3 *3 = 92
K = 100 - 3 - 92 = 5
3 Hunde kosten 72.- DM
5 Katzen kosten 5.- DM
92 Mäuse kosten 23.- DM
100 100.- DM
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| Die alte Uhr hat eine Kette mit 4 Münzen und einem Violinschlüssel (siehe Abb.);
an dem einen Ende befindet sich die Uhr, an dem anderen der Notenschlüssel. Der Begriff Uhrkette beinhaltet , dass jede Münze an das vorangehende Teil an einer Bohrung angekettelt wird und an die gegenüberliegende Bohrung wird das nächste Teil (Münze oder Notenschlüssel) gehangen. Der Begriff Münze beinhaltet , dass jede Münze umgedreht werden kann (Kopf oder Zahl) Auch der Notenschlüssel zeigt eine neue Erscheinung, wenn er umgedreht wird. Die Reihenfolge der Münzen kann beliebig vertauscht werden, der Platz für Uhr und Notenschlüssel steht fest. (Aufgabe von Claus Zientz)
Nach diesen Vorüberlegungen kann man die Aufgabe lösen: | |
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die Münze mit den 5 Löchern kann an 5 verschiedene Stellen an die Uhr gehangen werden und kann jeweils 2 Seiten zeigen:
5 * 2 = 10 Varianten die Münze mit den 4 Löchern kann an 4 verschiedene Stellen an die Uhr gehangen werden und kann jeweils 2 Seiten zeigen: 4 * 2 = 8 Varianten die Münze mit den 3 Löchern kann an 3 verschiedene Stellen an die Uhr gehangen werden und kann jeweils 2 Seiten zeigen: 3 * 2 = 6 Varianten die Münze mit den 2 Löchern kann an 2 verschiedene Stellen an die Uhr gehangen werden und kann jeweils 2 Seiten zeigen: 2 * 2 = 4 Varianten das ergibt schon :10 * 8 * 6 * 4 = 1920 Varianten.
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Mit viel Geduld ist es also möglich, 92160 verschieden aussehende Uhrketten zu bilden. Anm.: diese Aufgabe befindet sich auch in der Sammlung "mathematische Rätsel und Spiele" von Martin Gardner. | |
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Welche achtstellige Quadratzahl (keine führenden Nullen) besteht , wenn man sie in der Mitte teilt, aus 2 vierstelligen Zahlen, die Nachbarzahlen sind?
Es gibt genau 3 Lösungen:
60996100 = 7810 * 7810
82428241 = 9079 * 9079
98029801 = 9901 * 9901
Gesuchte Quadratzahl: Q = Z*Z = 10000X + Y mit Y = X + 1
(Y = X - 1 als 2. Möglichkeit lass ich erstmal weg)
Z*Z = 10001X + 1
also
Z*Z = 1 mod 10001
da 10001 = 73 * 137
(1) Z*Z = 1 mod 73 und Z*Z = 1 mod 173
oder
(2) Z*Z = -1 mod 73 und Z*Z = -1 mod 173
damit
Z = 73U +- 1 = 173V +-1
73U - 173V = +-2
(73U - 173V = 0 liefert Z=+-1mod10001 und damit nicht vierstellig)
Lösung von 73U - 173V = +-2 durch intelligentes Probieren:
(1) U = 30 +137T; V = 16 + 73T für beliebiges T
(2) U = 107 + 137T; V = 57 + 73T für beliebiges T
Für T > 0 wird Z mehr als 4stellig.
Es gibt also zunächst 2 Lösungen:
(1) U = 30; V = 16; Z = 2191; Z*Z hat aber nur 7 Stellen: entfällt
als Lösung
(2) U = 107; V = 57; Z = 7810; Q = 60996100
Die beiden anderen Lösungen
(Z=9079, Q=82428241 und Z=9901, Q=98029801)
ergeben sich aus der 2. Möglichkeit Y=X-1.
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Geg.: Pilze: 100 Gramm mit einem Wassergehalt von 95%.
Wassergehalt sinkt auf 80%.
Wieviel Gramm wiegen die Pilze jetzt ? Anmerkung: Lösung ähnlich wie Aufgabe 12-2
Die Trockenmasse (Festsubstanz) besteht aus 5% und bleibt gleich
5% von 100 g wiegen 5 g.
Nach der Trocknung macht die Festsubstanz 20% aus.
Wenn 20% 5 g wiegen, dann sind 100% = 25 g.
Lösung: Die Pilze wiegen jetzt 25 Gramm.
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Auf einem 3x3 Felder großen Brett sollen alle Ziffern 1..9 nach folgenden Regeln verteilt werden:
- 1.) Die Summe der 3-stelligen Zahlen der 1. und 2. Zeile ist gleich der 3-stelligen Zahl der 3. Zeile.
- 2.) Die 9 Ziffern können in einer ununterbrochenen Linie von 1 bis 9 durchlaufen werden, wobei nur rechtwinklige übergänge zwischen den Ziffern erlaubt sind
Lösung:
Aus Regel 2 lässt sich erkennen, dass die 5 ungeraden Ziffern auf die
Eckpunkte und den Mittelpunkt müssen, die 4 geraden Ziffern auf die
Mittelfelder der 4 Aussenseiten (Schachbrettmuster).
Auch dürfen die 2 und die 4 nicht auf gegenüberliegenden Seiten liegen,
sonst ist keine ununterbrochene Linie mehr möglich.
Aus der Verteilung der geraden und ungeraden Ziffern folgt für einen
möglichen übertrag bei der Addition der 3 Spalten, dass nur die mittlere
Spalte einen übertrag aus der rechten Spalte erhalten muss
(gerade+ungerade+1=gerade).
Damit ergeben sich nur noch wenige Möglichkeiten und die einzige Lösung
lautet
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ältester Sohn die Hälfte,
der 2.ältester Sohn ein viertel
und sein jüngster Sohn ein fünftel der Kamele
Bedingung ist aber, dass kein Kamel geschlachtet werden darf.
Die Aufgabe zählt zu den Aufgaben der Unterhaltungsmathematik und ist daher auch nicht exakt zu lösen, sondern fasziniert durch ihre eigenwillige "Logik"
Der Reiter reitet auf einem Kamel daher und hat folgenden Vorschlag:
Der Reiter leiht sein Kamel kurzfristig an die Erbengemeinschaft aus, sodass diese 20 Kamele hat. Diese werden nun aufgeteilt:
Der erste Sohn bekommt die Hälfte, also 10 Kamele.
Der zweite Sohn ein Viertel, also 5 Kamele.
Der dritte Sohn bekommt ein Fünftel, also 4 Kamele.
Probe:10 + 5 + 4 = 19.
Nachdem die 19 Kamele aufgeteilt sind, nimmt der Reiter sein Kamel wieder zu sich und reitet weiter.
Es ist kein Zauber dabei, dass die Aufteilung mit dem fremden Kamel geklappt hat, sondern Mathemagie ;-))
Begründung:
Das Erbe wurde im Testament so aufgeteilt, dass genau 1/20 übrig geblieben ist.
(1/2 + 1/4 + 1/5 = 19/20)
1/20. von 19 Kamelen = 19/20
Das bedeutet aber, dass genau 19/20 Kamel übrig geblieben ist (sorry...rein theoretisch ;-)))
Sohn 1 hätte 19/2 Kamele bekommen bzw.190/20 und bekommt nun 10/20 Kamel dazu, damit erhält er 200/20 bzw. 10 Kamele.
Sohn 2 hätte 19/4 Kamele bekommen bzw. 95/20 und bekommt nun 5/20 Kamel dazu, damit erhält er 100/20 bzw. 5 Kamele.
Sohn 3 hätte 19/5 Kamele bekommen bzw. 76/20 und bekommt nun 4/20 Kamel dazu, damit erhält er 80/20 bzw. 4 Kamele.
Da das Verhältnis der Aufteilung des Restes dem des Erbes entspricht, sollte sich auch kein Sohn benachteiligt fühlen ;-))
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Bestimme die kleinste Zahl, deren letzte Ziffer gleich 7 ist und die das Dreifache ergibt, wenn diese 7 von der letzten Stelle weggenommen und an die vorderste Stelle gesetzt wird. (alle anderen Ziffern verschieben sich um eine Stelle nach rechts)
Anmerkung: Lösungsweg ähnlich Aufgabe 12-4
Nach viel Geduld und vielen Multiplikationen ergibt sich endlich die gesuchte Zahl: 2 413 793 103 448 275 862 068 965 517 * 3 = 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551 Lösung: Das 3fache der Zahl ..7 = 7..1 [.. steht für beliebig viele Ziffern]. Die Zahl muss also ..17 lauten. Das 3fache der Zahl ..17 = 7..51 Die Zahl muss also ..517 lauten. Das 3fache der Zahl ..517 = 7..551 Die Zahl muss also ..5517 lauten. Das 3fache der Zahl ..5517 = 7..6551 Usw.Anmerkung:
Taschenrechner und auch Excel versagen bei dieser großen Stellenanzahl.
Da bleibt nur Handarbeit oder spezielle Programmierung.
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H O M E P A G E
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Denken und Sein werden vom Widerspruch bestimmt.
Aristoteles von Stagira (384 -322 v.u.Z.) |
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