---

Lösung der 19.    vom 22.11.99

---

Wie tief ist der Brunnen?

Heinz fasste die Vorbedingungen zusammen:
damit die Aufgabe loesbar wird, muss ich
einige Annahmen treffen, und zwar:
1) die Stoppuhr blieb deshalb stehen, weil ich sie exakt zu dem Zeitpunkt gedrueckt habe, als
der Aufschlag zu hoeren war,
2) gestartet habe ich die Uhr beim loslassen des Steins,
3) den Stein habe ich genau in Hoehe des Brunnenrandes aus der Ruhe fallenlassen (V0=0),
4) der Stein hat unterwegs die Wand nicht beruehrt,
5) die Luftreibung beim Fall darf fuer diese Berechnung vernachlaessigt werden,
6) der Luftdruck betrug 1013 mbar und die Temperatur im Brunnenschacht lag bei +10°C,
demnach war der Schall C=337,93 m/s schnell,
7) die Erdbeschleunigung betraegt dort, wo der Brunnen ist, exakt g=9,80665 m/s².

Einen sehr anschaulichen Lösungsweg bekam ich von: Claus Zientz
 

Gegeben:	Erdbeschleunigung     g = 9,81 m/s2 Schallgeschwindigkeit c = 344 m/s (Luft bei 20°C)                     c/g = 35,066 s Alternative im Winter :( Aufschlagen auf die Eisschicht)                       c = 332 m/s (Luft bei 0°C)                     C/g = 33,843 s
Weg = s Weg des Steines s1 = Weg des Schalls s2= s
Gesamtzeit = t Fallzeit = t1 Schallzeit = t2	t = 3,7 s t = t2 + t1 t2 = t - t1
( I ) Fall:	s = g/2 * t12
( II )Schall:	s = c * t2  =  c * (t - t1)
Gleichungen (I) und (II) gleichsetzen, ausklammern u. umstellen g/2 * t12 =  c* t - c* t1 g/2 * t12  - c* t + c* t1 = 0 Normalform einer quadratischen Gleichung:  t12  + 2 c/g * t1 - 2 c/g * t  = 0 t1 = - c/g + sqr( (c/g)2 + 2* c/g * t ) (2. Lösung entfällt, da die Zeit nicht negativ sein darf) für eine Temperatur von 20°C gilt: t1 = - 35,066 s + sqr ( (35,066 s)2 + 2 * 35,066 s * 3,7 s ) t1 = 3,523 s t2 = 0,177 s   s1 = g/2 * t12  s1 = 9,81 m/s2 * (3,523s)2 s1 = 60,87 m s2 = c * t2 s2 = 344 m/s * 0,177s s2 = 60,88m s = s1 = s2 = 60,9 m Alternative: für 0° laufen die Berechnungen analog: t1 = 3,5172 s t2 = 0,1828 s   s1 = g/2 * t12  s1 = 9,81 m/s2 * (3,5172s)2 s1 = 60,68 m  s2 = c * t2 s2 = 332 m/s * 0,1828s s2 = 60,69 m  s = s1 = s2 = 60,7 m Damit sind die beiden Extrema, warmer bzw. kalter Tag, abgedeckt und alle Lösungen sollten sich in diesem Bereich bewegen. Der Brunnen hat demnach eine Tiefe von etwas weniger als 61 m.

Wer sich den Umweg über die Zeit sparen wollte, ging diesen Weg, wie Harro Leban:

Zur Berechnung werden folgende Formeln und Konstanten benötigt:

1) Freier Fall:
Weg - Zeit Gesetz:      s = g/2 * t²

s:  Weg
g:  Erdbeschleunigung  --> 9,81 m/s²
t:   Fallzeit;  in weiterer Folge Tff

Durch Umformung ergibt sich:   Tff = Wurzel(2s/g)

2) Weg des Schalles:
Weg - Geschwindigkeits Gesetz:          s = c*t

s:   Weg des Schalls
c:   Schallgeschwindigkeit  -->  343 m/s   bei 20° C
t:   Laufzeit des Schalls;  in weiterer Folge Tsch

Durch Umformung ergibt sich:    Tsch = s/v
 

SOMIT ERGIBT SICH:

Tges = Tff + Tsch      = 3,7 Sekunden

Tges = Wurzel(2s/g) + s/c
In dieser Gleichung gibt es nur mehr eine Unbekannte und das ist s, die der Tiefe des Brunnens entspricht

Durch Umformung der obigen Gleichung ergibt sich:

s²/c² - 2*Tges*s/c - 2*s/c + (Tges)² = 0

s² - 2*Tges*s *c - 2*s*c + (Tges)² * c² = 0

Die Lösung dieser Quadratischen Gleichung ergibt nur eine realistische Lösung:

DER BRUNNEN IST 60,86 m TIEF!

Wer Lust hat, kann die Werte anhand eines Programmes von Dead Chaot überprüfen:
es lassen sich neben den vorgeschlagenen Werten auch andere Werte für die Schallgeschwindigkeit und sogar auch für die gegebene Zeit einsetzen.
Programm zur Berechnung von Brunnentiefen

Einige Einsender ermittelten eine Brunnentiefe von über 110m; das ist etwas unrealistisch, da ohne Berücksichtigung des Schalls die Brunnentiefe etwas mehr als 67 m betragen würde. Nebenbei bemerkt ist es schon erstaunlich, dass die Einbeziehung des Schalls 6 m Unterschied bedeuten!
 
 

 [ zur 20 Aufgabe ]  [ zur 19. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

?     ?        ?    ?

---

Lösung der 18.    vom 7.11.99

---

wie sieht die räumliche Figur aus?

Diesmal habe ich so viele anschauliche Lösungen bekommen, dass ich wieder mehrere Beispiele vorstellen möchte:

Die Beispiele reichten vom Bierdeckelmodel bis hin zur räumlichen mathematischen Funktion. Es wurden Kegel in die Breite gezogen und zur Veranschaulichung Kaffefiltertüten und die Pommestüten von Mac. D. etwas umgeformt (weil die Hersteller dieser Papierkörper das Seitenquadrat nicht richtig eingearbeitet haben).

Allen Einsendern, auch denen, die diesmal nicht namentlich genannt werden ein herzliches Dankeschön; es hat Spaß gemacht, die Lösungen durchzusehen!

Heinz hat sich beim Nachdenken ueber diese Aufgabe erst einmal ein Koelsch aufgemacht - (an die Jugend: es geht aber auch genausogut mit einer Cola ;-)) und siehe da: schon sprudelten die Ideen nur so! Die beigefuegte Skkizze stellt ein Bierdeckelmodell dar. Von je einer Seite ergibt sich entweder ein Kreis oder ein Quadrat oder ein Dreieck, mit Durchmesser=Hoehe=20cm (na ja, nicht gerade ein typisches Bierdeckelmass). Damit auch bei einer gewissen Materialstaerke der "Bierdeckel" das Dreieck durchs Loch passt, muessen die Kanten in der Dreiecksansicht angespitzt werden. Ebenso muessen sie in der Draufsicht (Kreisansicht) gerundet werden. Man koennte statt eines Bierdeckelmodells auch einen vollen Koerper herstellen, was erstens schwieriger waere, aber zweitens dasselbe Ergebnis haette, wenn die Kontur so angepasst wird, das sich aus drei Ansichten je entweder Dreieck, Kreis oder Quadrat ergibt (durch Verlaengern der Bierdeckelkanten).

Skizze nicht maßstabgerecht

Harro Leban hat eine der anschaulichsten Skizzen zu diesem Körper eingesandt:

Damit man sich das gut vorstellen kann, habe ich eine Zeichnung ohne Maßangabe beigefügt.

die Beschreibung liefern die:

• Höhere Gurkenmathematik: von Frank Böttger

  Von einem Zylinder mit dem Durchmesser k, z.B. einer idealisierten Salatgurke bzw. einem Metallzylinder wird ein Stück mit der Höhe k abgeschnitten. Davon werden auf beiden Seiten schräge Schnitte (auf den Kanten des Dreiecks) geführt, so dass oben nur der Durchmesser und unten die ganze Kreisfläche erhalten bleiben. Dieser Körper hat als Grundfläche einen Kreis und als mittlere Schnittflächen ein passendes Quadrat bzw. Dreieck.

  Zugleich stellt dieser Körper die maximale Ausdehnung der drei ebenen Figuren dar, ohne jeweils eine andere Dimension zu überschreiten, während obige Skizze die minimale Ausdehnung symbolisiert, viele Zwischenformen sind möglich.




• und das Rezept von Gudrun, anstatt einer Formel. ( aber nicht zum Kochen).

  Man nehme :
  einen Klumpen Knetmasse
  Man rollt daraus eine Wurst und kürzt sie anschließend auf die Länge ihres Durchmessers.
  Diese Wurst stellt man auf die runde Fläche.
  Nun zeichnet man oben auf der Wurst den Durchmesser ein und setzt genau auf diese Linie ein Messer an. Man schneidet von dort aus jeweils nach beiden Seiten schräg nach unten genau bis an die gegenüberliegende Außenkante der Wurst.
  Also man schneidet zwei Stücke ab.
  Stehen bleibt ein kleines "Hütchen ".
  

Hans-Jürgen. Gräbner ist das Problem genau andersherum angegangen::

Man baut zuerst ein Dachkant-Prisma von 20x20 cm Grundfläche und der Höhe von 20 cm. Von oben und der Seite betrachtet: ein Quadrat und von vorn das gewünschte Dreieck. Dann bohrt man in die Mitte der "Grundfläche" ein kleines kurzes Loch, um es mit einem Bolzen, der etwas herausragt, fest zu verschliessen. Dieser Bolzenüberstand kommt in das Futter einer Drehbank, wo man vom Prisma soviel abdreht, dass deren Reste Teile eines rotierenden Zylinders von 20 cm Durchmesser bilden. Schließlich wird der überstehende Bolzen abgesägt und der fertige Körper wie oben beschrieben auf den Tisch gestellt. Jetzt sieht man von oben den gewünschten Kreis, von vorn das Dreieck und von der Seite das Quadrat.

Die etwas ausgefallene Beschreibung:

Meine Lösung stelle ich mal mit recht einfachen Worten vor:, schreibt Claus Zientz

Man nehme einen Kegel und "ziehe" ihn an der Spitze in eine Richtung so weit auseinander, bis die Seiten senkrecht stehen.
Dadurch hat man immer noch die runde Grundfläche mit einem Durchmesser von 20cm. Die Frontansicht ist nunmehr quadratisch (h=20cm, b=20cm) und die Seitenansicht ist immer noch in der ursprünglichen Dreiecksform des Kegels.

zum Schluss noch die mathematische Beschreibung des Körpers von Sebastian Streich:
(mein Lehrling war allerdings froh, dass dies nicht die einzige Hilfe war ;-))

Wie sich das gehört gebe ich hier aber auch noch die Formel an für eine der möglichen Lösungen:

z(x,y)= y/20 * sqrt(20x - x2) mit x,y Element [0,20] Das ist natürlich nur der halbe Körper, die andere Hälfte ist die Spiegelung an der x,y-Ebene (also -z(x,y) ).

Es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten zur Lösung, etwa einen Kegel, in den man von der Spitze zum Boden ein quadratisches Blech einschiebt oder ein Zylinder, bei dem man diametral gegenüberliegend jeweils einen Schnitt vom äusseren Rand des Bodens zum Mittelpunkt des Deckels macht.

 [ zur 19 Aufgabe ]  [ zur 18. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

?     ?        ?    ?