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Lösung der 20.    vom 22.11.99

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Die Zahlen von Paul und Simon

diese Aufgabe der "höheren Gehirnakrobatik" habe ich für den Schluss des Knobeljahres aufgehoben:
Auch wenn man es auf den ersten Blick nicht vermutet, zu diesem Zwiegespräch lässt sich eine Lösung finden, es ist in dem Bereich 1 bis 100 sogar nachzuweisen, dass es nur ein einziges Zahlenpaar gibt, welches alle Bedingungen erfüllt.

Roland Spindler  hat erst einmal analysiert, 
was auf ihn zukommt und dann die Technik eingesetzt :

Wieder ein guter Anwendungsfall für Excel!

Es gibt insgesamt 4851 Möglichkeiten.

Simons Bemerkung 2 bedeutet, dass er eine
Summe kennt, die nur mehrdeutigen Produkten
zugeordnet werden kann.

Das kann nur eine der folgenden 10 sein:
11
17
23
27
29
35
37
41
47
53

Diese Summen treten bei insgesamt 145
Kombinationen auf.

Danach ist die Aufgabe nur mehr eine
Fingerübung. 

Die Lösung ist 4 und 13.
Paul kannte das Produkt 52 und Simon die Summe 17.



Hans-Jürgen Gräbner erklärt die Lösungsweise etwas ausführlicher:

Die beiden Zahlen  sind  4 und  13.

Damit Paul die beiden Zahlen a und b nicht sofort nennt, 
muss p das Produkt aus (mind.) 3 Primzahlen sein. 
Also:  p = x * y * z 
Da Simon a und b auch nicht sofort nennt, folgert Paul, dass die
Summe nicht aus 2 Primzahlen zusammengesetzt ist. 
In einem Feld von 4 bis 100
sind (in Art des Siebes von Erathostenes) daher alle geraden
Summen(Zahlen) zu streichen, ferner alle ungeraden Summen der
Primzahlen plus 2 (als Primzahl).
 Danach verbleiben im Feld nur noch:
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 und 53 , die sich nicht als Summe von 2
Primzahlen darstellen lassen. 
Nun sind diese Zahlen der Reihe nach zu testen, 
ob sie die Summe von a und b sein können. Die gesuchten
müssen
für Paul und Simon eindeutig sein. Aus den 4 Tatsachen geht hervor,
dass
es (anscheinend) nur ein Pärchen a und b gibt.

s = Summe    P = Paul   S = Simon    
k = kommt als Summe nicht in Frage, da nicht in (11 ... 53) obiger
Reihe

                
        mögliches                       eindeutig mehrdeutig
s       Produkt                         für             für
--------------------------------------------------------------------
11      3*8=24  oder    4*7=28          P               S
17      2*15=30=5*6                                     P
        3*14=42=2*21                                    P
        4*13=52=2*26 mit s=28=k         P  S
GEFUNDEN!
                Hier könnte die Suche beendet werden !
        5*12=60=3*20                                    P
        6*11=66=2*33                                    P
        7*10=70=2*35                                    P
23      4*19=76 oder    7*16=112        P               S
27      4*23=92 oder    8*19=152
                oder    11*16=176       P               S
Hier breche ich endgültig die mühsame Tabellenschreiberei ab.

Paul hat mit seinem Produkt von 52 als erster eindeutig die Zahlen
4 und 13 ermittelt und es gesagt. Erst danach konnte sich Simon
festlegen, da er mehr als eine Auswahl hatte.

Das war der härteste Brocken des Jahres. Ich bin gespannt auf die
Anzahl der Lösungen und der richtigen.



Die Lösung von Heinz ist analog zu der von Hans-Jürgen Gräbner, 
trotzdem gebe ich sie hier wieder, 
weil in den Gegenbeispielen einige eingesandte Lösungen
zu finden sind:


wenn Paul seine Zahlen nicht kennt (1), 
heisst das, dass es sich nicht um zwei Primzahlen handelt.

so weit, so gut. 
Simons Zahl muss nun eine Zahl sein, bei der sich 
alle möglichen Kombinationen so ergeben, 
dass nie zwei Primzahlen zusammen kommen, 
denn sonst stimmte Aussage (2) nicht, 
d.h. er wüsste es nichtgenau. 
Beispiel: Simon hätte eine 7= 3+4= 2+5. 
nur im ersten Fall wüsste Paul 
seine zahlen nicht, im zweiten Fall schon;
deshalb ist 7 keine "Simon-zahl"= :SZ.
Simon-Zahlen sind zum Beispiel: 
11, 17, 23, 27, 29, 31, 35, 37 und so weiter

bei diesen SZ sind alle möglichen Lösungen so, 
dass Paul seine Zahlen nicht wüsste.


Aussage (3) bedeutet das bei Pauls möglichen 
Lösungen nur eine dabei ist, 
die als Produkt eine SZ ergeben würde. 

Beispiel: Paul hat 66= 6*11= 2*33= 3*22.
dann hätte Simon entweder 17, 25 oder 35. 
im Beispiel könnte 17 oder 35 richtig sein, 
für Paul ist die Lösung nicht eindeutig, 
er könnte die Aussage (3) nicht machen. 

anderes Beispiel: Paul hat die 28= 2*14= 4*7.
Simon hätte entweder 11 oder 16. 
da Simon weiss, dass Paul seine Zahl nicht weiss, 
müsste er die 11 haben. 
Paul wüsste nun seine Zahlen.

bis zur Aussage (3) wären 4 und 7 also eine mögliche Lösung! bleibt Aussage (4):

Simon hat	Paul hat	Simon könnte haben (SZ unterstr.)
11= 2+9	18= 2*3*3	9, 11
11= 3+8	24= 2*2*2*3	10, 11, 14
11= 4+7	28= 2*2*7	11, 16
11= 5+6	30= 2*3*5	11, 13, 17

Im Beispiel könnte Simon als Pauls Zahl 
nur die 30 ausschliessen, denn
nur dann wüsste Paul Simons Zahl nicht. 
da aber drei Möglichkeiten für
Pauls Zahl übrig bleiben, 
weiss Simon diese nicht. 
Simons Zahl kann also nicht 11 sein.

In diesem Fall gibt es eine eindeutige Lösung. 
Nur wenn Paul die 52 hat,kann er nach Simons 
Aussage (2) die Zahlen wissen; 
in allen anderen Fällen wäre die Lösung
nicht eindeutig.

Damit ist eine Lösung gefunden. 
Ohne zu prüfen, ob dies die einzige
ist (war das verlangt ?!), kann man sagen:

die Zahlen 4 und 13 machen es möglich, dass Paul und Simon
eine solche Konversation führen.



Martin Baselt hat eine Art "Probe" zugeschickt:

Die Zahlen sind 4 und 13. Paul wurde die 52, Simon die 17 genannt.

Ich habe zur Begründung das Gespräch von Paul und Simon durch ihre
Gedanken 
ergänzt.

Paul:   Mir wurde die 52 gegeben.
    52 = 2*26 = 4*13. Beide Zahlenpaare wären also möglich.

    (1) "Ich kenne die Zahlen nicht."


Simon:  Mir wurde die 17 gegeben.
    Hm. Wenn Paul die Zahlen nicht kennt, kann die Zahl, die
    ihm genannt wurde, nicht das Produkt zweier Primzahlen
    sein, sonst würde er die Zahlen ja kennen.
    17 = 2+15   2*15 = 30 = 3*10 = 5*6
    17 = 3+14   3*14 = 42 = 2*21 = 6*7
    17 = 4+13   4*13 = 52 = 2*26
    17 = 5+12   5*12 = 60 = 2*30 = 3*20 = 4*15 = 6*10
    17 = 6+11   6*11 = 66 = 2*33 = 3*22
    17 = 7+10   7*10 = 70 = 2*35 = 5*14
    17 = 8+9    8*9  = 72 = 2*36 = 3*24 = 4*18 = 6*12
    Die Produkte aller Summanden lassen sich nicht eindeutig 
    in ein Produkt zerlegen.
    Also konnte Paul die Zahlen nicht kennen.

    (2) "Ich weiß, dass du sie nicht kennst."


Paul:   2+26 = 28
    4+13 = 17
    28 lässt sich auch als 5+23 darstellen. 5*23 = 115. Mir 
    hätte also, wenn Simon die 28 genannt wurde, auch die
    115 genannt worden sein. Dann hätte ich die beiden Zahlen
    aber gewusst, weil die Zerlegung von 115 eindeutig ist.
    Also hätte Simon dann nicht wissen können, dass ich die
    beiden Zahlen nicht weiß.
    Simon muss deshalb die 17 genannt worden sein. 17 lässt
    sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen.
    Also sind die gesuchten Zahlen 4 und 13.

    (3) "Aber jetzt kenne ich sie."

Simon:  Paul muss eine der Zahlen 30, 42, 52, 60, 66, 70 oder
    72 genannt worden sein.

    30=2*15 2+15=17     Ich musste bei (2) wissen, dass 
                Paul die Zahlen nicht kennt.
    30=3*10 3+10=13     13 ist auch 2+11. Dann hätte
                Paul die Zahlen wissen können.
    30=5*6  5+6=11      Auch hier musste ich bei (2) wissen,
                dass Paul die Zahlen nicht kennt,
                denn 11 lässt sich nicht als Summe
                zweier Primzahlen darstellen.
    Hier hätte Paul die beiden Zahlen noch nicht wissen können.
    Es könnten noch 2 und 15 oder 5 und 6 sein.

    42: Es könnten (analog zur 30) noch 2 und 21 oder 3 und 14 sein.
    60: Es könnten noch 3 und 20 oder 5 und 12 sein.
    66: Es könnten noch 2 und 33 oder 6 und 11 sein.
    70: Es könnten noch 2 und 35 oder 7 und 10 sein.
    72: Es könnten noch 3 und 24 oder 8 und 9 sein.
    17, 23, 27, 35 und 37 lassen sich nicht als Summe zweier
    Primzahlen darstellen.

    Nur bei 52 kann er die Zahlen jetzt wissen.
    52 = 4*13 = 2*26
    28 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen (5+23),
    17 aber nicht.
    Also sind die Zahlen 4 und 13.

    (4) "Jetzt kenne ich sie auch."

und gleichzeitig alle einladen, sich die
Aufgabe, die Lösungen und die Links auf seiner Seite  anzuschauen.

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