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großes Sommerrätsel 
magische Quadrate ;-)) 

Ein magisches Quadrat ist eine interessante Anordnung von Zahlen, die viele Regelmäßigkeiten zeigt.

Ein Quadrat wird von Geraden, die zu seinen Seiten parallel sind, in eine gewisse Anzahl von Zeilen und ebensoviele Spalten aufgeteilt und dann wird folgende Aufgabe gestellt:

Diese Figur ist so mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen zu füllen, dass in jedes kleine Feld genau eine Zahl kommt und die Summe der Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und längs beider Diagonalen dieselbe ist.

Magische Quadrate müssen wenigstens die Größe 3 x 3 Kästchen besitzen. Die Anzahl dieser magischen Quadrate ist aber ziemlich begrenzt ;-))
Hier die beiden Beispiele für die Zahlen 1 bis 9 , bzw. 0 bis 8 .

816
357
492
165
840
327

Interessant sind aber die magischen Quadrate 4. ( 4 x 4 Kästchen) oder höherer Ordnung . Alleine magische Quadrate 4. Ordnung gibt es 7040 Stück; damit dürfte ausreichend Beschäftigung für die Sommerzeit gegeben sein. ;-))

Als Anregung 4 verschiedene magische Quadrate 4. Ordnung (jeweils mit den Zahlen 1 bis 16):

115144
12679
810115
133216
511144
16639
115108
122713
115108
144511
79162
126313
126313
111148
16279
515104

Wer findet weitere magische Quadrate 4. oder höherer Ordnung?

Wer kennt einen "Trick" um solche Quadrate einfach bilden zu können?

diese Aufgabe entstand nach einer Zuschrift von Aumair    herzlichen Dank !

 




 

Inhaltsübersicht zu den magischen Quadraten

  1. Notizen zur Geschichte
  2. magische Quadrate in der Kunst
  3. Konstruktion magischer Quadrate
    1. 3. Ordnung
    2. 4. Ordnung
    3. 5. Ordnung
    4. 5. und höherer Ordnung
  4. Links  zu weiteren Seiten
  5. Literatur
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

 

?-)

knobeln

;-)
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Die Geschichte der

magischen Quadrate

ist Uralt und zieht sich mit seiner Zahlenmystik durch die Jahrhunderte.

Einem magischen Quadrat wurden übernatürliche Kräfte zugesprochen.
So wundert es auch nicht, dass über die Jahrhunderte, Amulette mit magischen Quadraten getragen wurden, sie schützten den Träger vor Feinden, vor Krankheit und vor Unrecht.
(so war jedenfalls der Glaube)

Auch wenn man heutzutage weiß, dass einem magischen Quadrat keine übernatürliche Kraft innewohnt, so ist es doch zumindest der Zauber der Zahlen, der immer noch eine Faszination ausübt.
 

GESCHICHTE

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Das Älteste bekannte Zahlenquadrat ist über 6500 Jahre alt und ist in einem chinesischen Rechenbuch zu finden.
 
Die Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen ist jeweils 15. 
Die zentrale Zahl, die im Mittelpunkt,
ist 5.
Die Summe der 4 Eckfelder  plus Mittelfeld ist gleich 25.
Die 5 galt in China als magische Zahl;
es gab:
5 Elemente (Erde, Holz, Feuer, Metall, Wasser)
5 Farben (gelb, blau, rot, weiß, schwarz)
5 Himmelsrichtungen (Zentrum, Norden, Osten, Süden, Westen)
5 Planeten (Saturn, Jupiter, Venus, Mars, Merkur)
5 Metalle (Gold, Blei, Kupfer, Silber, Eisen)
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4 9 2
3 5 7
8 1 6

 

 

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Aus Indien ist ein über 2000 Jahre altes Quadrat der Ordnung 4 x 4 bekannt:

  Dieses 4x4-Quadrat besitzt als Zeilen-, Spalten- und Diagonalsumme die 32.
Außerdem besitzt dieses Quadrat bereits vollkommene Eigenschaften:
denn nicht nur horizontal, vertikal und diagonal erhält man die gleiche Summe, sondern auch die vier Eckquadrate in jeder Ecke und das 4-er Quadrat in der Mitte führen zur Feldsumme 32.
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
 

 

 

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Mittelalter:

Agrippa von Nettersheim (1496-1535) hat den Versuch unternommen, die bestehenden magischen Geheimwissenschaften in seinem Buch "De occulta philosophica" zusammenzufassen.
Die magischen Quadrate spielen dabei eine ganz besondere Rolle und sind Bestandteil eines im Mittelalter verbreiteten Systems jüdischer Zahlenmystik.
Jedem der dem damaligen geozentrischen Weltbild entsprechenden 7 Planeten ordnete Agrippa ein bestimmtes magisches Quadrat zu und versah diese "Planetensigel" oder "Mensulea Planetarum", wie Agrippa sie nannte, mit dem Bildnis des entsprechenden Planetengottes.

Selbst der Gelehrte und Mediziner Paracelsius (Theophrastus Bombastus von Hohenheim), der ziemlich gegen Aberglauben in der Medizin wetterte, empfahle bei einigen Krankheiten magische Quadrate, z.B. das Saturnquadrat siehe Abb. (Amulett zeigt auf der einen Medaillenseite ein Bild vom Planetengott Saturn und auf der anderen Seite das 3x3 Quadrat) sollte bei einer schwierigen Geburt recht vorteilhaft wirken.

Amulett

Auf dieser Basis beruht auch die heute teilweise noch üblichen Bezeichnung für einige Quadrate, so nennt man das 3x3 Quadrat auch Saturnquadrat oder das 4x4 Quadrat auch Jupiterquadrat.  

 

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16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

 

Auch in die Kunst hielten die Quadrate einzug.

Bekanntestes Beispiel ist Albrecht Dürers Kupferstich "Melancholie"

Im Hintergrund befindet sich das indische Quadrat und gibt das Entstehungsjahr des Bildes in der Mitte der unteren Zeile an.

Dürers Melancholie     magisches Quadrat aus Dürers Melancholie
Melancholie von Albrecht Dürer und der vergrößerte Ausschnitt des magischen Quadrates

 

 

 

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einen Beitrag in der Literatur lieferte J.W.v. Goethe

der deutsche Dichterfürst schrieb in Faust Teil 1

das

10 2 3
0 7 8
5 6 4

 
1 6 5
8 4 0
3 2 10
HEXENEINMALEINS
          
Du musst verstehn!
Aus Eins mach' Zehn
Und Zwei lass gehn,
Und Drei mach gleich.
So bist du reich.
Verlier die Vier!
Aus Fünf und Sechs,
so sagt die Hex',
Mach' Sieben und Acht,
So ist's vollbracht:
Und Neun ist Eins ,
Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexeneinmaleins.
viele Mathematiker haben sich daran versucht, ein halbwegs brauchbares Quadrat daraus zu basteln:
1023
078
564

in dieser Form könnte man 
Goethes  Hexeneinmaleins
als magisches Quadrates schreiben.
(O.K. ganz rund ist die Sache nicht ;-))
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So, das war eine kleine Exkursion in die Geschichte der magischen Quadrate !

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Aber wie kann man nun selbst ein magisches Quadrat entwerfen?

Hier sind die Anleitungen für die Quadrate
3. Ordnung4.Ordnung  und  5.Ordnung   zu finden.
oder zurück zur Inhaltsübersicht magische Quadrate

Noch einmal ein herzliches Dankeschön allen Einsendern für die interessanten und auch umfangreichen Beiträge zu den magischen Quadraten!

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Ich ehre die Mathematik als die erhabenste und nützlichste Wissenschaft, so lange man sie da anwendet, wo sie am Platze ist. Goethe 
       J.W.v. Goethe

 
 
 


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