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Die Frage nach weiteren Quadraten 4. Ordnung erübrigt sich,
wenn man "Tricks" bzw. Möglichkeiten kennt, solche Quadrate mit beliebigen Zahlen zu konstruieren.
Die u.a. Möglichkeit ist eine von vielen so etwas zu bewerkstelligen.
Die damals von mir gelesene Literatur ist mir leider nicht mehr bekannt.
Eine genaue mathematische Definition ist nachzulesen in:
" Mystik und Magie der Zahlen ", Erich Bischoff, Fourier Verlag, 2. Auflage (Originalausgabe von 1920).
Die Konstruktion von Magischen Quadraten
Man stelle sich ein Quadrat wie folgt vor:
Die künftigen Zahlen (in einem Quadrat 4. Ordnung, der Anzahl 4)
werden zuerst als Buchstaben angenommen und in ein Quadrat so aufgeteilt,
das ein und der selbe Buchstabe vertikal, horizontal oder diagonal nicht zweimal vorkommt:
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Dieses Quadrat
| a |
b |
c |
d |
| d |
c |
b |
a |
| b |
a |
d |
C |
| c |
d |
a |
b |
wird um 90° im Uhrzeigersinn gedreht ...
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und durch neue Buchstaben ersetzt:
| C |
B |
D |
A |
| D |
A |
C |
B |
| A |
D |
B |
C |
| B |
C |
A |
D |
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Als letzter Schritt werden diese beiden Quadrate "verschmolzen":
| a + C |
b + B |
c + D |
d + A |
| d + D |
c + A |
b + C |
a + B |
| b + A |
a + D |
d + B |
c + C |
| c + B |
d + C |
a + A |
b + D |
|
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Um nun ein Quadrat mit beliebigen
Zahlen, jedoch mit einer daraus resultierenden bestimmten Summe zu füllen,
müssen die o.a. Buchstaben durch Zahlen ersetzt werden.
Beispiel:
Als Summe möge die Zahl 42 erscheinen. 42 wird in 8 verschiedenen
Zahlen aufgeteilt:
a = 6, b = 7, c = 5, d = 8;
A = 1, B = 2, C = 4, D = 9 ---> Summe: 42
Nach dem nun von oben bekannten Schema werden die Zahlen eingesetzt:
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| |
| 6 + 4 |
7 + 2 |
5 + 9 |
8 + 1 |
| 8 + 9 |
5 + 1 |
7 + 4 |
6 + 2 |
| 7 + 1 |
6 + 9 |
8 + 2 |
5 + 4 |
| 5 + 2 |
8 + 4 |
6 + 1 |
7 + 9 |
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Dies ergibt folgendes
" Magische Quadrat ":
| 10 |
9 |
14 |
9 |
| 17 |
6 |
11 |
8 |
| 8 |
15 |
10 |
9 |
| 7 |
12 |
7 |
16 |
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Auf folgenden verschiedenen Kombinationen kann nun die Zahl 42 dargestellt werden:
(siehe auch weiter unten)
- horizontal 4 Möglichkeiten
- vertikal 4 Möglichkeiten
- diagonal 2 Möglichkeiten
- die 4 inneren 1 Möglichkeit
- die 4 äußeren 1 Möglichkeit
- die beiden äußeren in der Mitte und gegenüberliegend
2 Möglichkeiten
- die 4 x 4 äußeren Ecken 4 Möglichkeiten
- die 2 äußeren kleinen diagonalen 2 Möglichkeiten
.......
Wer unter den Lesern findet das Maximum ?
Sind durch eine andere (geschicktere) Aufteilung der Buchstaben
mehr Kombinationen möglich ?
Fazit:
Es entsteht ein magisches Quadrat, mit gleicher Zeilen- Spalten-und Diagonalensumme.
Schönheitsfehler an diesen Quadraten ist jedoch
die unbestimmte Folge der Zahlen
( 3 x 9, 2 x 8, 2 x 7, 2 x 10, 11, 12 usw.)
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Um ein "elegantes" Quadrat, z.B.
mit fortlaufenden Zahlen von 1bis 16 zu erhalten,
muss die Kombination der 8 erforderlichen Zahlen dieser Reihe entsprechen
(oder einer anderen Reihenfolge):
a = 2; b = 3; c = 1; d = 4
A = 4; B = 8; C = 0; D = 12
-----> 34
Zahlenpaare = Reihenfolge:
c + C = 1 + 0 = 1
a + C = 2 + 0 = 2
b + C = 3 + 0 = 3
d + C = 4 + 0 = 4
c + A = 1 + 4 = 5
....
d + D = 4 + 12 = 16
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mit der Summe 34
Eingesetzt:
| 2 + 0 |
3 + 8 |
1 + 12 |
4 + 4 |
| 4 + 12 |
1 + 4 |
3 + 0 |
2 + 8 |
| 3 + 4 |
2 + 12 |
4 + 8 |
1 + 0 |
| 1 + 8 |
4 + 0 |
2 + 4 |
3 + 12 |
|
Ergibt:
| 2 |
11 |
13 |
8 |
| 16 |
5 |
3 |
10 |
| 7 |
14 |
12 |
1 |
| 9 |
4 |
6 |
15 |
|
|
Kombinationsmöglichkeiten:
| 9 |
4 |
6 |
15 |
|
16 |
5 |
3 |
10 |
|
16 |
5 |
3 |
10 |
|
9 |
4 |
6 |
15 |
| 16 |
5 |
3 |
10 |
2 |
11 |
13 |
8 |
9 |
4 |
6 |
15 |
7 |
14 |
12 |
1 |
| 7 |
14 |
12 |
1 |
9 |
4 |
6 |
15 |
2 |
11 |
13 |
8 |
16 |
5 |
3 |
10 |
| 2 |
11 |
13 |
8 |
7 |
14 |
12 |
1 |
7 |
14 |
12 |
1 |
2 |
11 |
13 |
8 |
| 8 |
13 |
11 |
2 |
|
11 |
2 |
8 |
13 |
|
11 |
8 |
2 |
13 |
|
8 |
11 |
13 |
2 |
| 10 |
3 |
5 |
16 |
5 |
16 |
10 |
3 |
5 |
10 |
16 |
3 |
10 |
5 |
3 |
16 |
| 1 |
12 |
14 |
7 |
14 |
7 |
1 |
12 |
14 |
1 |
7 |
12 |
1 |
14 |
12 |
7 |
| 15 |
6 |
4 |
9 |
4 |
9 |
15 |
6 |
4 |
15 |
9 |
6 |
15 |
4 |
6 |
9 |
|
| 2 |
11 |
13 |
8 |
| 16 |
5 |
3 |
10 |
| 7 |
14 |
12 |
1 |
| 9 |
4 |
6 |
15 |
|
| 15 |
1 |
10 |
8 |
|
2 |
16 |
7 |
9 |
| 6 |
12 |
3 |
13 |
11 |
5 |
14 |
4 |
| 4 |
14 |
5 |
11 |
13 |
3 |
12 |
6 |
| 9 |
7 |
16 |
2 |
8 |
10 |
1 |
15 |
- - die beiden äußeren in der Mitte und gegenüberliegend
| 2 |
13 |
11 |
8 |
|
2 |
11 |
13 |
8 |
| 16 |
3 |
5 |
10 |
7 |
14 |
12 |
1 |
| 7 |
12 |
14 |
1 |
16 |
5 |
3 |
10 |
| 9 |
6 |
4 |
15 |
9 |
4 |
6 |
15 |
- -die 2 äußeren kleinen Diagonalen
| 5 |
16 |
10 |
3 |
|
14 |
4 |
11 |
5 |
| 11 |
2 |
8 |
13 |
7 |
9 |
2 |
16 |
| 4 |
9 |
15 |
6 |
1 |
15 |
8 |
10 |
| 14 |
7 |
1 |
12 |
12 |
6 |
13 |
3 |
|
| 15 |
1 |
10 |
8 |
| 4 |
14 |
5 |
11 |
| 6 |
12 |
3 |
13 |
| 9 |
7 |
16 |
2 |
| 9 |
7 |
16 |
2 |
| 4 |
14 |
5 |
11 |
| 6 |
12 |
3 |
13 |
| 15 |
1 |
10 |
8 |
|
|
|
| 12 |
1 |
13 |
8 |
|
2 |
11 |
7 |
14 |
|
6 |
15 |
3 |
10 |
|
16 |
5 |
9 |
4 |
| 6 |
15 |
3 |
10 |
16 |
5 |
9 |
4 |
12 |
1 |
13 |
8 |
2 |
11 |
7 |
14 |
| 7 |
14 |
2 |
11 |
13 |
8 |
12 |
1 |
9 |
4 |
16 |
5 |
3 |
10 |
6 |
15 |
| 9 |
4 |
16 |
5 |
3 |
10 |
6 |
15 |
7 |
14 |
2 |
11 |
13 |
8 |
12 |
1 |
|
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Die beiden Reihen für die Zahlenfolge 5 bis 20 könnte z.B.
folgendermaßen Aussehen:
a = 0, b = 1, c = 2, d = 3
A = 5, B = 9, C = 13, D = 17
-----> Summe: 50
Das Quadrat 5 bis 20:
| 13 |
10 |
19 |
8 |
| 20 |
7 |
14 |
9 |
| 6 |
17 |
12 |
15 |
| 11 |
16 |
5 |
18 |
|
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So, das war eine kleine Exkursion in die Welt der magischen Quadrate 4. Ordnung - zugeschickt von Udo Bock!
Damit sind erst einmal die magischen Quadrate 3. und 4. Ordnung abgehandelt.
aber auch zur Bildung magischer Quadrate 5.Ordnung gibt es einiges zu sagen.
oder zurück zur Inhaltsübersicht magische Quadrate
Noch einmal ein herzliches Dankeschön allen Einsendern für die interessanten und auch umfangreichen Beiträge zu den magischen Quadraten!
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