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Lösung der 2.    vom 31.1.2000

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Vorbemerkung: Stillschweigend wurde vorausgesetzt dass die Seerosen gleichmäßig wachsen, also keine nächtlichen Pausen einlegen (Biologen würden hier schon ein Veto einlegen.. ;-))), und dass das Wachstum ganau 14 Tage, also 336 Stunden dauert.

Einige Mitstreiter bemerkten diese Schwachpunkte der Aufgabe und wiesen auch darauf hin (ich werde versuchen die nächsten Aufgaben konkreter zu formulieren)

 
Lösung von Gernot Lanz

nach 14 Tagen ist der See mit 5000 qm ganz bedeckt. Jeden Tag nimmt die bedeckte Fläche um 50% zu, d.h. die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von der Zeit lautet: F = a * 1,5^{(d -1)},
wobei a den Anfangswert am ersten Tag
darstellt
und d = Anzahl der Tage

Fläche am ersten Tag: a
Fläche am zweiten Tag: a * 1,5
Fläche am dritten Tag: a * 1,5²
Fläche am n-ten Tag: a * 1,5^{(n -1)}
Fläche am 14.ten Tag: 5000 = a * 1,5¹³

daraus lässt sich a berechnen:
a = 5000 / 1,5¹³ = 25,68115543,
das war
also die Fläche am ersten Tag.

nach wieviel Tagen ist die Hälfte des Sees bedeckt?

2500 = a * 1,5^{(d - 1)},

daraus nach d aufgelöst:
d = 1 + log (2500 / a) / log 1,5
(dekadische Logarithmen)

d = 1 + log 97,3097534 / log 1,5
  = 12,29048871 Tage,
das sind ca.
12. Tage und 7 Stunden.

(Wer es ganz genau wissen will: 12d 6h 58m 18s)

Nach ca. 12 Tagen und 7 Std war
die Hälfte des Sees bedeckt.

Man kann die Aufgabe auch
"rückwärts rechnen":
"x Tage vor dem 14. Tag
war die Fläche halb so groß"

2500 = 5000 / 1,5^x
wobei x die Zeit
rückwärts vom 14. Tag darstellt.

1,5^x = 5000 / 2500 = 2

daraus ergibt sich
x = log 2 / log 1,5 = 1,70951129

14 - 1,7095...
ergibt nun auch 12,29... Tage.

 
Hans Jürgen Gräbner ist einen anderen Lösungsweg gegangen: Ich "missbrauche" die Zinsenzinsformel der Banken
für dieses Problem.

Legende: (n) soll Index gelesen werden.

K(n) = K(0) * qⁿ mit q = 1 + p/100

Dabei soll sein:

Var   bei Bank     im See
-----------------------------------------------------
K(0)  Startkapital Rosenfläche am Tage Null
K(n)  Endkapital   End-Rosenfläche = 5000 m²
n     Jahre        Tage = 14 bei End-Rosenfläche
p %   Zins/Jahr    Wachstum pro Tag = 50 %

Danach ist q = 1.5 und
5000 = K(0) * 1.5¹⁴ nach K(0) aufgelöst:
K(0) = 17,12743695391 m² Rosenfläche am Tage Null
Die halbe See-Fläche ist nach x Tagen bedeckt:
2500 = 17,12743695391 * 1.5^x
145,964630127 = 1.5^x logarithmiert (mit Windows-Rechner)
log( 145,964630127)/log(1.5) = x
ergibt endlich
x = 12,29048870865 Tage bzw.
x = 12 Tage 6 Stunden 58 Minuten und 18 Sekunden

 
noch einmal ein Beispiel zur Rechengenauigkeit und zur Anschaulichkeit von Lösungen an Hand der Zusendung von R.S: ....
Also allgemein:

Vor x Tagen waren 5000 * (2/3)^x m² bedeckt
Man löst die Gleichung 2500 = 5000 * (2/3)^x
und erhält

x=Log (1/2) / Log (2/3)
also ungefähr 1.7095112913514545 Tage
bevor der See voll bedeckt war.

(Ich bin nur froh, dass auch in unserer digitalen Welt die Tage noch in Stunden und Minuten unterteilt werden. ;-))

 
DeaD ChaoT hat ein Programm geschrieben, mit dem verschiedene Möglichkeiten des Zuwachsens von Seerosenteichen  getestet werden können.

 
Auswertung:

 [ zur 3. Aufgabe ]  [ zur 2. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

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Das ist der ganze Jammer: die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.       Helmut Schmidt	"blättern"
© Karin S., Feb.2000