DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

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Lösungen der DENKmal-Aufgaben des Jahres 2000

 

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Lösung der 3. Aufgabe   vom 14.02.2000

Gudrun fasst in ihrer Lösung das zusammen, was das Wesen dieser Aufgabe ausmacht:

Die Spinne musste lange nachdenken, bis sie sich auf den Weg machte.
Zuerst dachte ich, die Aufgabe ist ja einfach und dachte spontan, die Lösung über die Seitenwand schräg aufwärts ist richtig. Da entdeckte ich, dass die gerade Linie nach unten, über den Boden und senkrecht aufwärts mit 14 Metern noch kürzer ist.
Daraufhin erst versuchte ich, die Aufgabe systematisch zu lösen.
Ich zeichnete die verschiedenen Pläne des Raumes und suchte die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten.

Die Lösung ist : von der Wand schräg nach unten, schräg über den Boden zur Seitenwand, schräg über die Seitenwand an die Decke, schräg über die Decke und von dort noch ein kurzes Stück bis zu dem oberen Punkt. Es sind 13.33333 m.
Wenn man die Strecke im Raum sieht, ist es erstaunlich, dass es die kürzeste ist.
Jedoch aufgefaltet auf dem Papier ist es offensichtlich !

Quadernetz

(Schrägbild von Rolf Herrmann)

 
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Lex Bedijs löste die Aufgabe folgendermaßen:

Drittbeste Lösung (über 3 Wände) :

Die Spinne klettert 1/3 m direkt runter, 10 m den Boden entlang und dann
die 3 2/3 m zur Fliege rauf.

Ergibt genau 14.00 m

Quadernetz
 der Weg über die Seitenwände ist etwas länger:
Quadernetz

Zweitbeste Lösung (über 4 Wände) :

Die Spinne klettert in einem Winkel von 24.68 Grad (arctan(17/34)) die Wand hinunter, unter dem selben Winkel den Boden entlang, dann die Seitenwand hoch bis zur gegenüberliegenden Wand und schließlich zur Fliege.
Weg = SQRT( (1/3 + 10 + 2)2 + (2 + 4 - 1/3)2 )
Weg = SQRT( (37 2 + 172) / 32 )
Weg =SQRT(1658 ) / 3
Weg also 13.573 m
Quadernetz

Beste Lösung (über 5 Wände) :

Die Spinne klettert in einem Winkel von 36.87 Grad (arctan(3/4)) die Wand hinunter, triff 1.75 m von der Seitenwand entfernt auf den Boden. Von dort geht es weiter bis zur Seitenwand (2 1/3m von der Stirnwand), schräg hinauf zur Decke bis 2 1/3 m vor der Stirnwand der Fliege, von dort die Decke entlang bis zur Stirnwand (1.75 m seitlich der Seitenwand) und dann direkt zur Fliege.
Weg = SQRT( (10 + 1/3 + 1/3)2 + (2+4+2)2 )
Weg = SQRT( (32 2 + 242) / 32 )
Weg = 40/3
Weg also 13.333 m
Quadernetz

Erstaunlich ist hierbei, dass der Weg über 5 Wände der kürzeste ist.

 
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Lösung von Harro Leban

Man geht folgendermaßen vor:

Die Wände mit der Spinne sind mit A, B, C und D bezeichnet.;
die Wände mit der Fliege mit 1, 2, 3 und 4.

Um zu einem möglichen Netz zu kommen nimmt man eine Spinnenwand und eine Fliegenwand, lässt alle anderen Stirnwände unberücksichtigt und zeichnet alle möglichen Verbindungen zwischen Spinne und Fliege ein.
Der Weg darf aber nicht über eine der nicht zu berücksichtigenden Stirnwände führen.

Auf Grund der Bemaßung kann nun die Weglänge mit dem Pythagoräischen Lehrsatz berechnet werden.

Es ergeben sich z.B. folgende Weglängen 
A-1     14,00 m
A-2     15,84 m
A-3     19,09 m
B-1     13,57 m
B-2     14,39 m
B-3     15,84 m
C-1     13,33 m
C-2     13,57 m
C-3     14,00 m
Quadernetz
Daraus ergibt sich als kürzeter Weg C-1 mit 13,33 m.

 
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1. Zusatzfrage:   (von Peter Becker)

Wie hoch müssen Spinne über Boden und Fliege unter Decke sitzen (Symmetrie weiter vorausgesetzt), damit

1. der Weg über zwei Längsflächen der kürzeste ist
2. der direkte Weg der kürzeste ist?

 

Zu 1: zwischen 0,55 und 1,13 Meter (oder 2,87 und 3,45)

Zu 2: zwischen 1,13 und 2 Meter (bzw. 1,13 und 2,87)
Die Werte von 2,0 bis 4,0 sind nichts weiter als eine Spiegelung der Situation <2,0

 
2. Zusatzfrage:   (von Rolf Herrmann)

Es ist interessant, ob dieser Weg auch dann der kürzeste ist, wenn die Höhe nicht 1/3 m über dem unteren bzw. unter dem oberen Rand liegt,
Wir nennen diese Höhe x, mit 0 < x < 2. Für x > 2 erhält man dasselbe Ergbnis "nach oben gespiegelt".
(s2)2 = (10 + 2 x)2 + (8)2 = 4 (x)2 + 40 x + 164
(s3)2 = (12 + x)2 + (6 - x)2 = 2 (x)2 + 12 x + 180
Setzen wir (s2)2 > (s3)2 so erhalten wir die Quadratische Ungleichung
(x)2 + 14 x + 8 > 0;

Zusammen mit der Nebenbedingung x > 0. erhält man daraus die Lösung 0 < = x < 0,55.

Mit ähnlichen Ungleichungen kann man bestimmen, in welchem Bereich die Strecke s1 die kürzeste der drei Strecken ist.

Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über die Länge der Strecken s1 bis s3 für verschiedene x-Werte.
x s1 s2 s3 s4 s5 s6
0    m
0,33 m
0,55 m
0,74 m
1,00 m
1,12 m
2,00 m 		14 m
14 m
14 m
14 m
14 m
14 m
14 m 		13,42 m
13,57 m
13,68 m
13,79 m
13,93 m
14,00 m
14,56 m 		12,81 m
13,33 m
13,68 m
14,00 m
14,42 m
14,62 m
16,12 m 		     

Im Bereich 0 m < = x < 0,55 m ist s3 die kürzeste Strecke,
für x = 0,55 m sind s2 und s3 gleichlang und kürzeste Strecken,
im Bereich 0,55 m < x < 1,12 m ist s2 die kürzeste Strecke,
für x = 1,12 m sind s1 und s2 gleichlang und kürzeste Strecken,
im Bereich 1,12 m < x < = 2 m ist s1 die kürzeste Strecke.

 
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Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösung falsche Lösungen:
13,33m 13,57m 14m andere Werte:
44 14 2 23 5
BemerkungenBei den meisten falschen Einsendungen lag der Trugschluss vor, dass ein noch kürzerer Weg nicht über 4 oder sogar 5 Seiten führen kann.
und noch eine Anmerkung von Peter Becker:
(als kleiner Trost für alle, bei denen es diesmal nicht geklappt hat)
Aber in Anbetracht der geringen Unterschiede und der Intelligenz der Spinne, sollte sie doch den zwar längeren aber einfacheren Weg direkt nach unten und dann immer geradeaus wählen. (14m) Bis sie die Optimierung nämlich errechnet hat, ist sie verhungert. :-))

 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
   
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© Karin S., Feb.2000