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Lösung der 4.    vom 28.02.2000

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Roland Koppenberger schrieb:
Die neue Aufgabe ist für mich ein typischer Vertreter eines Wahrscheinlichkeitsbeispiels:
Es gibt eine korrekte Lösung und eine davon verschiedene und falsche "populär-plausible" Lösung ;-)

Natürlich freut sich Archibald NICHT zurecht, seine Chance zu Überleben ist nach wie vor 1/3,
allerdings verdoppelt sich durch die Info über Caspar die Überlebenschance von Bartholomäus!
Denn:
Anfangs hat jeder der drei Freunde (im folgenden kurz A, B, C genannt) eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3. Vom Standpunkt des A aus betrachtet heißt das dann, A überlebt zu 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass entweder B oder C überlebt, ist 2/3.
Wenn jetzt bekannt wird, dass C sicher nicht überlebt, ändert das für A gar nichts (1/3), jedoch für B einiges (2/3).

In Gleichungsform ausgedrückt:

zunächst gilt: A = 1/3, B = 1/3, C = 1/3
und somit B + C = 2/3
die Info des Wärters ergibt C = 0
und somit 2/3 = B + C = B + 0, also B = 2/3
davon unberührt bleibt A = 1/3

Offensichtlich wird das Ergebnis auch, wenn man sich alle (gleich wahrscheinlichen) Möglichkeiten notiert:

A überlebt, B und C sterben, Wärter antwortet B oder C
B überlebt, A und C sterben, Wärter antwortet C (oder A)
C überlebt, A und B sterben, Wärter antwortet B (oder A)
=> A überlebt in einem von drei Fällen, also A = 1/3 (der vom Wärter nicht Genannte der Freunde von A überlebt in zwei von drei Fällen).

 
Lösung von David Grimm

Ich denke Archibald hat keinen Grund zur Freude, wohl aber Bartholomäus.
Caspar sowieso Grund zum Weinen.

Die Gesamtfreude (Überlebenswahrscheinlichkeit) bleibt erhalten, nur verteilt sie sich anders als A. sich das vorgestellt hat.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der 3 Freunde überlebt ist zu jedem Zeitpunkt gleich 1 (also sicher).
Diese teilt sich anfangs gleichmässig auf die 3 Freunde auf .(Jeder überlebt mit der wahrscheinlichkeit 1/3 !!!).
Nach dem feststeht,dass Caspar stirbt (Überlebenswahrscheinlichkeit 0)
wird die Sicherheit,dass einer der 3 Freunde überlebt (Wahrscheinlichkeit 1)
auf die beiden verbliebenen verteilt; nur eben nicht gleichmässig - (dort liegt A.'s Denkfehler,)

sondern wie folgt :

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Überlebende bei {B;C} dabei ist beträgt 2/3.
Die, dass A der Überlebende ist 1/3.
Dass einer der beiden B oder C auf jeden Fall stirbt ist sowieso klar; die Überlebenswahrscheinlichkeit (2/3) bleibt den Elementen {B;C} erhalten, auch wenn C dann als derjenige identifiziert wird, der auf jeden Fall stirbt (wahrscheinlichk. 0). Die 2/3 Überlebenswahrscheinlichkeit gehen also auf B über wohingegen A bei seinen 1/3 bleibt; quasi als Strafe dafür, dass er sich nicht dem Risiko ausgesetzt hat, als sicherer Todeskandidat identifiziert zu werden. (A lässt den Wärter aus B und C einen auswählen, der auf jedenfall stirbt.)

 
Herbert Nell sah nicht nur den mathematischen Aspekt:

Seine eigene Chance hat er nicht verbessert, aber die von Barholomäus ist um 100% gestiegen (verdoppelt bzw. 2/3 Wahrscheinlichkeit)!!
Demnach sollte Archibald versuchen, Bartholomäus davon zu überzeugen, die Namen zu tauschen; seine Überlebenschancen würden rapide steigen.

ich glaube, Archibalds Chancen haben sich aufgrund der Antwort des Wächters sogar verschlechtert
- denn:

Ein eher philosophisches als ein mathematisches Problem!
Die philosophische Frage lautet:

Kann ich Entscheidungen dadurch beeinflussen, dass ich absolute bzw. sichere Ereignisse von vorne herein ausschließe um eigene Wahrscheinlichkeiten zu steigern.

Philosophisch vieleicht ja, mathematisch nein.

1. Feststehende Ergebnisse unterliegen keiner nachträglich zu berechnenden Wahrscheinlichkeit
   Die Entscheidung über Leben und Tod ist bereits gefallen unabhängig davon, ob ich den Namen eines der Todeskandidaten weiß. (Nach dieser Methode hätte ich bei einer Lotterie mit nur einem Hauptpreis immer eine 50% Wahrscheinlichkeit auf denselben; wenn ich nach der gefallenen Entscheidung aus allen Mitspielern immer zwei heraus suche, und die Frage stelle:
   Ist da einer dabei, der nicht gewonnen hat?
   - (Blöde Frage, denn ja ist die Antwort) -
   Nachdem ich mir dann sagen lasse wer nicht gewonnen hat, wiederholt sich diese Prozedur, bis nur noch ich und ein Anderer, der sogar wahrscheinlichere Gewinner übrig bleibt; da ich mich bisher aus allen Vorentscheidungen heraus gehalten habe.
   Fazit:
   Die Chance, der Begnadigte zu sein liegt höchsten (!!) bei 1/3. Vor der Befragung und auch nach der Befragung; denn
2. Der Wärter spricht die Wahrheit Wenn Archibald der lachende Dritte wäre, hätte der Wächter dann nicht sagen müssen "Beide"? Logischerweise ja, denn willkürliche Antworten haben in mathematischen Rätseln nichts zu suchen. Nur für diesen Fall hätte sich Archibald also sicher sein können, nennt der Wächter nur einen Namen (hier Caspar), ist lediglich 100% sicher, dass Caspar miese Karten hat. Da aber nicht mit Sicherheit angenommen werden kann, dass der Wächter mathematisch wahrheitsgemäß beide sagt, wenn beide Freunde verurteilt sind, ergibt sich zwangsläufig auch kein sicheres Ergebnis, dass Bartholomäus verschont bliebe.
   Fazit:
   Die Chance der Begnadigte zu sein liegt max. bei 1/3, da keine genauen Angaben gemacht werden können. Aufgrund menschlicher Erwägungen und Umstände (math. IQ des Wächters) liegt die Vermutung näher, dass sich die Wahrscheinlichkeit eher zu Archibalds Ungunsten verschiebt.
3. Der Wächter könnte lügen Das ist jetzt eindeutig!
   Fazit:
   Glücklicher Caspar

 
ZUSATZ:

Diese alte Aufgabe ist eng verwandt mit einer etwas bekannteren Aufgabe zur Wahrscheinlichkeit, was von einigen Einsendern auch entsprechend angemerkt wurde:

In Amerika gab's (oder gibt's) eine Spielshow ("Let's make a deal"), wo ein Kanditat eine von drei (geschlossenen) Türen wählen durfte. Hinter zwei der drei Türen waren Nieten und hinter einer der Hauptpreis. Nachdem der Kandidat gewählt hatte (zB. Tür 1), öffnete der Moderator jene der beiden anderen (nicht gewählten) Türen, hinter denen sich eine Niete verbarg (zB. Tür 3).
Nun hatte der Kandidat die Möglichkeit entweder bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben (Tür 1) oder die andere noch verschlossenen Tür zu wählen (Tür 2).

Die Frage im Hintergrund war immer, was ist günstiger?

Roland Koppenberger schreibt dazu:

Eine Frau (Marilyn vos Savant) behauptete in ihrer Kolumne einer amerikanischen Illustrierten, dass es besser wäre, wenn der Kandidat die Tür wechsle, er verdopple dadurch seine Chance auf den Hauptpreis.
Daraufhin beschwerten sich namhafte Mathematiker und Experten in der Illustrierten über den "Unsinn" dieser Aussage.
Das Kuriose daran aber ist, dass die Aussage tatsächlich stimmt.
Als ein Bericht über diesen "amerikanischen Disput" in der deutschen Zeitschrift "Der Spiegel" veröffentlicht wurde, schlugen die Leserbriefe in dieselbe Kerbe.
Wiederum echauffierten sich eine Reihe von Menschen über den "Unsinn" der Aussage von Marilyn von Savant - die Aussage allerdings stimmt tatsächlich.
(Nachzulesen im Spiegel Nr. 34 und 36 aus 1991)

und Tilman Wendel hat dazu noch einen Literaturtipp:

Dieses Problem ist eng verwandt mit dem sogenannten "Ziegenproblem", wo es eine Quizsendung mit drei Türen gibt, von denen eine einen Hauptgewinn verbirgt.
Die verschiedensten Lösungsansätze hierfür, einschließlich der Diskussionen darüber sind sehr schön in folgendem Buch beschrieben:
Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten.
Von Gero von Randow
Taschenbuch - 176 Seiten (Juli 1992)
Rowohlt TB-V., Rnb.; ISBN: 349919337X

 
Auswertung:

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Das ist der ganze Jammer: die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.       Helmut Schmidt	"blättern"
© Karin S., Feb.2000