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Lösung der 7.    vom 10.04.2000

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Diese Aufgabe war eigentlich ganz simpel. Aber trotzdem musste der Sachverhalt ordentlich begründet werden.

 
Lösung von Martin Baselt - einfach und wirkungsvoll

Anleitung:

Bestimme die Quersumme der Zahl (Summe ihrer Ziffern). Ist die Quersumme >9,
bestimme von ihr wieder die Quersumme.
Wiederhole dies, bis die Quersumme <=9 ist.
Die letzte Quersumme gibt an, wie viel die Zahl über der nächstkleineren durch 9 teilbaren Zahl liegt.
Bei 9 wurde gerade eine durch 9 teilbare Zahl genommen.

Beweis:

Zahl: x
x=a0 + a1*10 + a2*100 + a3*1000 + ...
x=a0 + a1 + a1*9 + a2 + a2*99 + a3 + a3*999 + ...
Alle Summanden mit *9, *99, *999, ... sind durch 9 teilbar.
Der Rest ist a0+a1+a2+a3+... (Die Quersumme der Zahl).
Mit dieser Zahl kann man das Verfahren fortführen 
und erhält ihre Quersumme b0+b1+b2+b3+... , usw.
Zum Schluss ist der Rest <=9. 
Bei 9 ist die ganze Zahl x durch 9 teilbar.
Sonst ist es der Rest einer Division durch 9 
(ohne tatsächlich dividiert zu 
haben; wir haben ja nur addiert).

 
Rolf Hermann brachte gleich 3 Methoden zu Tage:

Mein erster Gedanke war: Sollten hier womöglich Schwarzgeldkonten auf die neun Ratsherren verteilt werden ?
Ist der Planetenwandler Roland einem Finanzskandal auf die Spur gekommen ?! ;-o

Zurück zur Planetenmathematik: Der Alte hat natürlich verschiedene Möglichkeiten den Neunerrest zu bestimmen. Ich gebe mal drei davon an.

Methode 1:
(wenig effektiv aber "möglichst einfach")

Solange die Zahl noch größer ist als 9 subtrahiert der Alte immer wieder 9. Ist die letzte Zahl 9, so war die Ausgangszahl eine Neunerzahl, sonst ist die letzte Zahl der Neunerrest.

Beispiel: x=31, -9 = 22, -9 =13, -9=4.
=> 31 hat Neunerrest 4
(Schreibweise nicht Mathe-konform!)

Methode 2:
(Quersummen-Methode, Standard in der Schule)

Der Alte ersetzt die Zahl durch die Quersumme der Zahl und setzt dies solange fort als die Quersumme größer ist als 9. Ist die letzte Zahl 9, ... (sh. 1)
(Quersumme = Summe der Ziffern)

Beispiel: 278 352 482 => Quersumme 41 => Quersumme 5,
5 ist Neunerrest von 2 783 522 482.

Probe mit Taschenrechner: 2 783 522 482 : 9 = 30 928 053 5/9

Methode 3: (sehr effektiv, Mischung aus Methode 1 und Methode 2)
Der Alte nimmt von der Zahl die linke Ziffer weg und nennt sie x.
Dann wiederholt er den folgenden Vorgang solange, bis die letzte Ziffer der (Rest-)zahl aufgebraucht ist:
Er nimmt von der Restzahl die nächste linke Ziffer weg und addiert sie zu x. Ist diese Summe größer als 8, so subtrahiert er 9. Das Ergebnis nennt er x.
Ist die letzte Zahl x=0, so war die Ausgangszahl eine Neunerzahl, sonst ist x der Neunerrest.

Beispiel:

278 352 482 2+7=9, -9=0, +8 +3=11, -9=2, +5=7, +2=9,-9=0, +4 +8 = 12, -9=3, +2 = 5
(Schreibweise nicht Mathe-konform!)

Begründung zu Methode 1:
Eine Division - so lernt man in der Grundschule - ist nichts anderes als ein wiederholtes Subtrahieren. (Bsp: 34 : 9 = 3 Rest 7, oder 34 - 3*9 = 7 bedeutet: Wenn man von 34 dreimal die 9 abzieht bleibt der Neunerrest 7.)

Begründung zur Methode 2:
Hier benötigt man zwei Hilfssätze:
Hilfssatz 1: Eine Summe hat den gleichen Neunerrest ist wie die Summe der Neunerreste der Summanden. [(a+b) mod 9 = (a mod 9 + b mod 9)mod 9 ] Sei a = 9u + r1, b=9v + r2, dann ist a+b = 9(u+v) + (r1 + r2) Falls r1 + r2 > 8 , dann ist r1 + r2 = 9 + r und somit a+b = 9(u+v+1) + r.
Hilfssatz 2: Ein Produkt hat den gleichen Neunerrest wie das Produkt der Neunerreste der Faktoren. [a*b mod 9 = (a mod 9)*(b mod 9) mod 9] Sei a = 9u + r1, b=9v + r2, dann ist a*b = 81uv +9(u*r2+v*r1) + (r1* r2). Falls r1* r2 > 8 , dann ist r1 * r2 = 9w + r und somit a*b = 9(9uv + u*r2+v*r1+w) + r.

Die (n+1)stellige Zahl mit den Ziffern Xn, Xn-1, ..., X1, X0 lässt sich schreiben in der Form
Xn*10_n + ... + X1*10₁ + X0*10₀ also eine Summe von Xi*10_i.
Nun hat jede 10er-Potenz den Neunerrest 1, denn man kann sie für i>0 schreiben in der Form 9...9 +1 (i Ziffern 9), für i=0 ist X₀ =1.
Das Produkt Xi*10_i hat dann nach Hilfssatz 2 den Neunerrest Xi,
Die Summe der Xi*10_i, also die fragliche Zahl, hat dann nach Hilfssatz 1 denselben Neunerrest wie die Summe der Ziffern Xi.
Der Neunerest der Summe der Ziffern kann man dann durch wiederholtes Anwenden dieses Verfahrens bestimmen.

Begründung zur Methode 3:
Während bei Methode 2 zunächst die gesamte Quersumme errechnet wird und davon dann der Neunerrest (ggf. iterativ) gebildet wird., werden hier bei jeder Zwischensumme gleich die Neunerreste bestimmt. [auf mathematisch: man addiert modulo 9]

 
Lex Bedijs fand einen weiteren interessanten Zusammenhang:

Zahlen sind dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Die Quersumme wiederum ist durch 9 teilbar, wenn deren Quersumme durch 9 teilbar ist, usw..

Dies gilt übrigens nur im Dezimalsystem. Für andere Zahlensysteme gilt ähnliches. Im Oktalsystem sind Zahlen durch 7 teilbar, wenn deren Quersumme durch 7 teilbar ist. Für das Hexadezimalsystem gilt dies für 15 (F).

 
Chris aus Marling erkannte den
Satz von Eigenmann:

Die Differenz von einer Zahl und ihrer Quersumme ist durch 9 teilbar.

Beweis lässt sich durch vollständige Induktion führen.

 
Anmerkung von Roland Koppenberger

die letzte DenkMal-Aufgabe ("Der Zauber der Neun") hat mich auf die Idee gebracht, dem Begriff der Teilbarkeit in praktischen Anwendungen noch ein wenig nachzuspüren. Ich bestieg auch ein Raumschiff und fand zwei besondere Planeten, deren Bewohner allesamt gerne mit großen Zahlen rechneten: Auf dem einen Planeten konnten die Bewohner im Kopf (!) den Rest bei Division durch 11 berechnen, auf dem anderen Planeten den Rest bei Division durch 7 (!) - allerdings dort mit Bleistift und Papier. Alle Bewohner waren dabei recht schnell beim Rechnen, ich versuchte es auch - und es gelang!

Meine Frage an dich: Wie machen die Bewohner das jeweils?

 
Auswertung:

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