denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 2000

DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

Lösungen der DENKmal-Aufgaben des Jahres 2000

Lösung der 8. vom 01.05.2000

Vorbemerkung:

Diese Aufgabe inspirierte natürlich dazu, sich Hilfe zu holen und so wurde für diese Aufgabe auch fleißig programmiert. Auch wenn einige Programme wirklich schön sind, wende ich mich den Einsendungen zu, die die Lösungen errechnet haben.

Peter Becker:
fasste den Sachverhalt in Gleichungen zusammen, die er dann in eine Gleichung umwandelte. Formeln: Sei X_a = Anzahl der gefundenen Münzen X8..X12 = Anzahl der Münzen VOR der Mogelei um 8 ... 12 Uhr X_e = Anzahl der Münzen nach der letzten Mogelei X_t = Anzahl der Münzen, die jeder am Morgen bei der letzten Teilung bekommt. X_e = 5 * X_t X12 = 5/4 * _e + 12 X11 = 5/4 * X12 + 11 X10 = 5/4 * X11 + 10 X9 = 5/4 * X10 + 9 X8 = 5/4 * X9 + 8 X_a = X8 Alle X müssen ganzzahlig sein. Die obigen Formeln in eine kombiniert gibt: X_a = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 10 + 5/4*( 11 + 5/4*( 12 + 5/4*( 5*X_t))))) = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 10 + 5/4*( 11 + 5/4*( 12 + 25/4*X_t)))) = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 10 + 5/4*( 11 + 15 + 125/16*X_t))) = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 10 + 5/4*( 26 + 125/16*X_t))) = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 10 + 65/2 + 625/64*X_t)) = 8 + 5/4*( 9 + 5/4*( 85/2 + 625/64*X_t)) = 8 + 5/4*( 9 + 425/8 + 3125/256*X_t) = 8 + 5/4*( 497/8 + 3125/256*X_t) = 8 + 5*497/32 + 15625/1024*X_t = 8 + 2485/32 + 15625/1024*X_t X_a = 2741/32 + 15625/1024*X_t

ergänzt durch die Lösung von Roland Koppenberger X_a= 15625/1024 X_t + 87712/1024 Gesucht ist nun das minimale X_t Î N, so dass X_a Î N ("keine zersplitterten Münzen"). Aus [(15625 mod 1024) X_t + (87712 mod 1024)] mod 1024 = 0 erhalten wir: X_t = 1024 p + 608, p Î N0 Die Anzahl der Münzen beträgt dann allgemein: X_a= 15625/1024 (1024 p + 608) + 87712/1024 Minimale Lösung: Wenn p = 0, dann ist X_t = 608 und X_a = 9363.
Die kleinstmögliche Anzahl an Münzen ist also 9363
(wenn man davon ausgeht, dass sich bei allen Zwischenschritten immer eine ganzzahlige Anzahl von Münzen ergibt).

Jörg Wiegels hat eine sehr gut nachvollziehbare Lösung gefunden:

Es sei m die gesuchte Anzahl der Münzen, die am Anfang in der Truhe waren.
Diese Anzahl hat sich in der Nacht wie folgt reduziert:

Nach 8 Uhr: m₁ = (m-8)*4/5

Nach 9 Uhr: m₂ = (m₁-9)*4/5

Nach 10 Uhr: m₃ = (m₂-10)*4/5

Nach 11 Uhr: m₄ = (m₃-11)*4/5

Nach 12 Uhr: m₅ = (m₄-12)*4/5

Jeder der fünf Freunde erhält also n = m₅/5 Münzen

Umgekehrt lässt sich ausgehend von diesem Anteil zurück verfolgen, wie viele Münzen am Anfang in der Truhe waren. Durch Auflösen nach m und Ersetzen der Zwischenvariablen m₁ bis m₅ erhält man:
(1) m = ((((n*5*5/4+12)*5/4+11)*5/4+10)*5/4+9)*5/4+8
    = (n*15625+87712)/1024
    = n*15+85 + (n*265+672)/1024
    = n*15+85 + (n/32*265+21)/32

Weil m ganzzahlig ist, ist der Zähler (in Klammern) ein Vielfaches von 32, insbesondere eine ganze Zahl. Weil 32 und 265 zueinander teilerfremd sind, ist auch n ein Vielfaches von 32.
Die deshalb ganze Zahl n' = n/32, welche wie n monoton abhängig von m ist, erfüllt also
(2) n'*265+21 = 0 (mod 32) und
(3) n'*9 = 11 (mod 32)

Die kleinste natürliche Zahl n', für die diese Bedingung gilt, ist 19 und damit n = n'*32 = 608. Es zeigt sich, dass damit auch alle Zwischenergebnisse m₁ bis m₅ ganzzahlig werden. Für die Anzahl der Münzen, die am Anfang in der Truhe waren, ergibt sich also m = (608*15625+87712)/1024 = 9363.

Antwort

Die Freunde müssen mindestens 9363 Münzen gefunden haben.

Lösung von : Martin Baselt

Die Freunde müssen mindestens 9363 Münzen gefunden haben.

x=Anzahl der gefundenen Münzen
x1...x5= Anzahl der jeweils versteckten Münzen
x6=Anzahl der Münzen, die jeder zum Schluss noch erhält

x=5*x1+8
4*x1=5*x2+9
4*x2=5*x3+10
4*x3=5*x4+11
4*x4=5*x5+12
4*x5=5*x6

x5 und x6 müssen ganzzahlig sein, also 
x5=5*a, x6=4*a, a beliebige natürliche Zahl.

x4=5/4*x5+3=25/4*a+3 
(a=4*b, b natürliche Zahl, damit x4 ganzzahlig)
x4=25*b+3


x3=5/4*x4+11/4=125/4*b+15/4+11/4=125/4*b+26/4=125/4*b+2/4+6
  =(31+1/4)*b+2/4+6
(b=2+4*c, damit x3 ganzzahlig)
x3=125/4*(2+4c)+26/4=125*c+250/4+26/4=125*c+69

x2=5/4*x3+10/4=625/4*c+355/4=(146+1/4)*c+88+3/4 
(c=1+4*d, damit x2 ganzzahlig)
x2=625/4*(1+4*d)+355/4=625*d+245

x1=5/4*x2+9/4=3125/4*d+1234/4=(781+1/4)*d+308+2/4 
(d=2+4*e, damit x1 ganzzahlig)
x1=3125/4*(2+4*e)+1234/4=3125*e+1871

x=5*x1+8=15625*e+9363
x wird am kleinsten für e=0. Also x=9363

Zum Schluss werden  der erste 2479 Münzen, 
der zweite 2103, der dritte 1802, 
der vierte 1561 und der fünfte 1368 haben. 
50 Münzen wurden in den Busento geworfen.

Herbert Nell und Gabi interessierten sich auch noch etwas näher für die Verteilung:


Interessant ist dann noch die Gewinnaufteilung:

Freund A        1871 +  608     =       2479
Freund B        1495 +  608     =       2103
Freund C        1194 +  608     =       1802
Freund D         953 +  608     =       1561
Freund E         760 +  608     =       1368

Ausschüttung:                           9313
ach ja, Busento                        +  50
                                        9363

Gabi stellt sich nun noch die Frage, ob die Freunde abends so muede oder so freude"trunken" waren, dass ihnen gar nicht auffaellt, dass sich am Morgen nur noch knapp ein Drittel (3040 Stueck) der abendlichen Muenzenzahl in der Truhe befindet.

Nachtrag zu Gute Freunde von Rolf Herrmann

Was wäre, wenn der erste Freund zu einer anderen Zeit aufwachte und eine entsprechende Anzahl Münzen in den Busento würfe, dann seinen Anteil nimmt ... usw. im Stundentakt. ... und zum Schluss geht auch die letzte Teilung auf ? Im folgenden hat ein kleines Computerprogramm zur Startzeit die kleinste Anzahl Münzen im Topf ausgerechnet (24.00Uhr = 0.00Uhr)

   Start-     kleinste Anzahl 
    zeit        Münzen      
   1.00 Uhr     3141
   2.00 Uhr     6262
   3.00 Uhr     9383
   4.00 Uhr    12504
   5.00 Uhr    15625
   6.00 Uhr     3121
   7.00 Uhr     6242
   8.00 Uhr     9363
   9.00 Uhr    12484
  10.00 Uhr    15605
  11.00 Uhr     3101
  12.00 Uhr     6222
  13.00 Uhr     9343
  14.00 Uhr    12464
  15.00 Uhr    15585
  16.00 Uhr     3081
  17.00 Uhr     6202
  18.00 Uhr     9323
  19.00 Uhr    12444
  20.00 Uhr    13065
  21.00 Uhr    14186
  22.00 Uhr     9457
  23.00 Uhr    12548
  24.00 Uhr       20

Die Münzzahl 20 um 24.00 Uhr(=0.00Uhr) ist zwar formal richtig, liefert aber für den letzten Freund und die allerletzte Teilung negative Werte und ist deshalb durch 15645 (20 +1*15625) zu ersetzen.

Eine ähnliche Aufgabe befindet sich unter Denk-mal 1997 Aufgabe 8

Aber auch Hans-Jürgen Gräbner wies auf diese Aufgabe hin:

Die recht schwierig zu lösende Aufgabe gehört zum Typus des Problems, das erstmals 1926 unter dem Titel "Der Affe und die Kokosnüsse" veröffentlicht wurde:
5 gestrandete Seeleute und ein Affe sammeln auf einer Insel Kokosnüsse.
Nachts wachen die Männer nacheinander auf und manipulieren wie in der gestellten Aufgabe. Nur erhält der Affe 5 mal je eine übrige Kokosnuss.

Ausführliche Beschreibung im Buch: Martin Gardner "Mathematische Rätsel und Probleme".

Auswertung:

eingegangene Lösungen	richtige Lösungen	falsche Lösungen
29	26	3
Bemerkungen	Mit Hilfe von Excel, Pascal und Q-Basic wurden alle Hürden nahezu mühelos genommen ;-))

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? ? ? ?

Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.

Helmut Schmidt

"blättern"

Nach 8 Uhr:	`m₁ = (m-8)*4/5`
Nach 9 Uhr:	`m₂ = (m₁-9)*4/5`
Nach 10 Uhr:	`m₃ = (m₂-10)*4/5`
Nach 11 Uhr:	`m₄ = (m₃-11)*4/5`
Nach 12 Uhr:	`m₅ = (m₄-12)*4/5`