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Lösung der 9.    vom 15.05.2000

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Vorbemerkung:

Für diese Aufgabe habe ich so viele verschiedene und teilweise sehr außergewöhnliche Lösungen bekommen, dass ich erst einmal nur einige Lösungen vorstellen kann.

 
Lösung 1:
auf der Grundlage der Einsendungen
von Henning Wiechers ,G.S. ,Heinz Mayr und Martin Z

1 Vorbemerkungen zu einigen Winkeln:
 

durch Hilfslinien, lassen sich Werte für die folgenden Winkel finden:

1.Abb: gleichseitiges Dreieck Dreieck EBC
Innenwinkelsatz: alle Winkel haben den Wert 60°
Winkel EBC = Winkel BCE = Winkel CEB = 60°

2Abb. rechtwinklige Dreiecke:
durch das Fällen des Lotes von Punkt E auf Strecke AB
entsteht das rechtwinklige Dreieck ESB.
Der Winkel SBE = Winkel b = 90°- 60° = 30° (rechter Winkel im Quadrat)
bzw
Sinusbeziehung im rechtwinkligen Dreieck
sin b = Gegenkathete/Hypotenuse
sin b = SE / BE ; SE=r/2 und BE=r
sin b = 1/2
b = 30°

3. Abb: Bestimmen des Winkels a:
rechtwinklige Dreieck ESR = rechtwinklige Dreieck HBT (sws)
winkel SBE = Winkel HBT
b' = 30° und b = 30°
--> a = 90° - b - b'
a = 90° - 30° - 30° = 30°
a = 30°

Lösungsidee:
Das "aufgeblasene Quadrat" A_ges wird geviertelt:
A_ges = 4 * A_vio
2 Hilfsstrecken, Strecke EB und Strecke HB,
werden in die Figur eingezeichnet
und markieren einen Kreissektor über dem Winkel a = Winkel (EBH)

Geg:
EB = BH = r
MK = ES = MK = r/2
Winkel EBH = a = 30°

Inhalt des Segments über dem Winkel (EBH)
in Abhängigkeit vom Winkel (EBH) = a

Weg 1:   Durch die Hilfslinien entsteht ein Kreissektor, der 1/4 der Fläche des aufgeblasenen Quadrats enthält. Wenn man von dieser Fläche das gleichseitige Dreieck EBH subtrahiert, dann erhält man das Kreissegment. Zu diesem Segment muss nun aber noch das rechtwinklige Dreieck EMH addiert werden  Avio = 4 * [Aseg - Ad1 + Ad2] Inhalt des Segments über dem Winkel (EBH) = a Aseg = ( (p * a)/360° ) * r2 Aseg = (p * 30°) / 360° * r2 Aseg = r2* p/12 Flächeninhalt Dreieck 1 Ad1 Dreieck (EBH) gleichschenkliges Dreieck über die Sinusbeziehung: Ad1= 1/2 * EB * HB* sin (EBH) Ad1= 1/2 * r*r * sin 30° Ad1= 1/2 * r2 * 1/2 Ad1= 1/4 * r2 Flächeninhalt Dreieck 2 Ad2 Dreieck (EMH) rechtwinkliges Dreieck unbekannte Seiten EM und EH EM = EH EM = EK - MK EM = EK - r/2 EK = sqr((EB)2 - (BK)2) EK = sqr ( r2 - r2/4) EK = (r/2) * EM = (r/2) * - r/2 Ad2 = 1/2 *((r/2)* - r/2)*((r/2)* - r/2) Ad2 = 1/2 *(3*r2/4 - r2/2* -r2/4) Ad2 = 1/2 *r2 -r2/4* Avio = Aseg - Ad1 +Ad2 Avio = 4*[r2* p/12 - 1/4 * r2 + 1/2*r2 -r2/4*] Avio = r2*p/3 + r2 - r2* Avio = r2* (p/3 + 1 - ) Avio = 100 cm2 * (p/3 + 1 - ) Avio = 31.5147 cm2 Die dunkelviolette Fläche des aufgeblasenenQuadrates beträgt 31,51 cm2.

EB = r BH = r MK = r/2 KB = r/2 Winkel(EBH)=a=30° Winkel(EMH)=90°

Weg 2: Die Hilfslinien trennen den vierten Teil der gesuchten Figur ab. Es entsteht ein Kreissektor über dem Winkel von 30°. Von diesem Kreissektor ist nur noch das pfeilähnliche Viereck (BEMH) zu entfernen, welches aus den beiden kongruenten Dreiecken (EBM) und (MBH) besteht.  Avio = 4*( Aseg - 2*Ad3 ) Inhalt des Segments über dem Winkel (EBH) = a Aseg = ( (p * a)/360° ) * r2 Aseg = p * 30° / 360° * r2 Aseg = r2* p/12 Flächeninhalt Dreieck 3 Ad3 Dreieck (EMB) = Dreieck (EHB) Der Fächeninhalt Ad3 von Dreieck EMB lässt sich bestimmen, in dem man von der Fläche Ad4 des rechtwinkligen Dreieck EBK ausgeht und die Fläche Ad5 des rechtwinkligen Dreiecks MBK subtrahiert. Ad3 = Ad4 - Ad5 Ad3 = 1/2 *(EK * KB) - 1/2*(MK * KB) Zur Bestimmung der Inhalte fehlt eine Größe, die Länge der Seite EK: EK = sqr((EB)2 - (BK)2) EK = sqr ( r2 - r2/4) EK = (r/2)* Ad3 = 1/2*(r/2 * r/2) - 1/2*(r/2*r/2) Ad3 = (r2/8)* - r2/8 Avio = 4 * [ Aseg - 2*Ad3 ] Avio = 4 * [r2* p/12 - 2 ( (r2/8)* - r2/8)] Avio = r2* p/3 - r2* + r2 Avio = r2* (p/3 + 1 - ) Avio = 100 cm2 * (p/3 + 1 - ) Avio = 31.5147 cm2 Die dunkelviolette Fläche des aufgeblasenenQuadrates beträgt 31,51 cm2.

EB = r BH = r MK = r/2 KB = r/2 Winkel(EBH)=a=30° Winkel(MKB)=90° Winkel(EKB)=90°

 
Lösung 2 von Jochen Hügel

benutzt werden nur Zusammenhänge, die zur einfachen Schulmathematik gehören:
Innenwinkel in gleichseitigen Dreiecken.
Satz des Phythagoras in rechtwinkligen Dreiecken
Flächeninhaltsformel für Quadrat, Dreieck und Kreis
Kreissektor in Abhängigkeit vom Basiswinkel

Vorgaben: Das Quadrat: AMCD (Aufgabenstellung) Vollkreis mit dem Radius r um M Quadrat (VWYZ) Hilfslinien im Abstand r/2 : ES ; OR ; HP ; QT Schnittpunkte: V, W, Y, Z ergeben Quadratfläche: Kantenlänge 2* r/2 = r gleichseitiges Dreieck (MSC): MS = MC = SC = r

=> Winkel(SMC) @ Winkel(MSC) @ Winkel(SCM) = 60° (Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck) analog: Winkel(OMU) @ Winkel(UMR) = 60° => Winkel(SME)=120° analog: Winkel(QMT)=120° ; Winkel(HMP)=120° ; Winkel(OMR)=120° => Segmente über den analogen Basiswinkeln sind auch gleich Hilfsdreiecke gleichschenklig: z.B.: Dreieck(OMR) Grundlinie: OR = 2 * NR Hilfsdreiecke (rechtwinklig): Dreieck(MNR); Dreieck(MNO) => Seitenlänge MR = r Seitenlänge MN = r/2 NR = sqr(r2 - r2/4) NR = r/2 (Satz des Pythagoras) OR = r* Höhe: NM = r/2 analog Dreieck(EMS) ; Dreieck(QMT) ; Dreieck(PMH) Kreissegment = Kreissektor - gleichschenkliges Dreieck

Lösungsidee:
Der Kreis mit dem Radius r enthält als Flächen:
1 Quadrat (Aqua) mit der Seitenlänge r
4 Kreissegmente (A_seg) mit dem Basiswinkel 120°
dabei ergeben sich die 4 dunkelvioletten Flächen (A_vio)doppelt.
Diese Flächen ergeben aber die gesuchte Figur(A_ges),
das aufgeblasene Quadrat.

Lösungsweg:
Fläche inneres Quadrat VWYZ (Aqua)
+ 4 * Fläche Kreissegment von 120° (A_seg)
= Fläche des Kreises (A_k) + gesuchte Restfläche (A_ges)

A_ges = (Aqua + 4* A_seg)-A_k

Aqua = r²

A_seg = (p * 120°)/360° * r² - Ahil
Ahil = 1/2 * OR * NM
Ahil = 1/2 * r* * r/2
Ahil = r²/4 *

A_seg = (p/3)*r² - r²/4 *

A_k = p * r²

A_ges = r² + 4((p/3)*r² - r²/4 * ) - p*r²
A_ges = r² + 4(p/3)*r² - 4r²/4 * ) - p*r²
A_ges = r² + 4/3*p*r² - r² * ) - 3/3*p*r²
A_ges = r² * (1 + p/3 - )
A_ges = 100 cm² * (p/3 + 1 - )
A_ges = 31.5147 cm²
Wenn der Radius mit 10 cm² vorgegeben wird, beträgt die Fläche des aufgeblasenen Quadrates 31.51 cm², .

 

auf der Grundlage der Einsendungen von Walter Goritschnik ,G.S. ,Claudia Scholz und Kilian Theilacker werde ich in den nächsten Tagen noch eine außergewöhnliche Lösung vorstellen, die vom Quadrat so lange Stück für Stück wegnimmt, bis nur noch das aufgeblasene Quadrat übrig ist.



Zuerst wird die Linse berechnet.(doppelte der dunkelvioletten Fläche Abb1
Dann werden die gelben Flächen berechnet. Sie bestehen aus 2 Kreissektoren und einem gleichseitigen Dreieck. Diese 3 Flächen werden vom Quadrat subtrahiert- übrig bleibt die türkisfarbene Fläche.
von dieser Figur gibt es 4 Teile. Subtrahiert man diese vom Quadrat, erhält man die lila Flächen Abb.3, die wie eine Blüte ausschaut.
Von dieser Blüte wird die unter 1 berechnete Linse abgezogen. übrig bleiben 2 "Blütenblätter".
Werden diese von der Linse subtrahiert, erhält man das aufgeblasene Quadrat.

 
Auswertung:

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Das ist der ganze Jammer: die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.       Helmut Schmidt	"blättern"
© Karin S., Mai.2000