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Lösung der 10.    vom 15.05.2000

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Diese Aufgabe erinnerte nicht zu unrecht, den einen oder anderen an die Kaninchen des Herrn FIBONACCI, Leonardo von Pisa ( ca1180 - 1250 )

Zunächst erscheint es hilfreich, sich die Aufgabenstellung grafisch zu veranschaulichen.

Übersicht über die Vermehrung der Rindviecher in den Jahren 1326 - 1331
von Kilian Theilacker

K	Kuh
F	Färse        
JK	Jungkuh

Jahr:

1326

1327

1328

1329

1330

1331

K

K

K

K

K

K

F

F

JK

F

JK

K

F

F

JK

K

K

F

F

JK

F

JK

K

K

K

F

F

JK

F

JK

K

F

S 1326

S 1327

S 1328

S 1329

S 1330

S 1331

1 K

1 K

1 K

2 K

3 K

5 K

1 F

1 F

2 F

3 F

5 F

1 JK

1 JK

2 JK

3 JK

Gesamt:

1

2

3

5

8

13

Rinder

 
Heinz Mayr beschreibt die grundlegenden Regeln so:

Hier erkennt man folgende Regeln:
F(n)=K(n) , da jede Kuh in diesem Jahr gekalbt hat
F(n)=JK(n+1), da aus jedem neugeborenen Kalb im
Folgejahr eine Färse im 2. Lebensjahr wird
K(n+1) = K(n) + JK(n), da jede Färse JK im nächsten Jahr zur Kuh wird.

Durch Kombination dieser Regeln ergibt sich z.B.
K(n+2) = K(n+1) + K(n) für alle n>=1
JK(n+2)=JK(n+1)+JK(n) für alle n>=2
Mit den Anfangsbedingungen K(1)=1 , K(2)=1
bzw. JK(2)=1 , JK(2)=1 gibt das aber nichts anderes
als die berühmte FIBONACCI-Folge f(n) !

b) und c)
Durch Weiterrechnen der Folgen erhalten wir demnach am Ende des 10. Jahres :
K(10) = F(10) = 55 Kühe, F(10) = 55 neue Färsen
JK(10) = F(9) = 34 zweijährige Färsen

am Ende des 20. Jahres:
K(20) = F(20) = 6765 Kühe, 6765 neue Färsen,
JK(20) = F(19) = 4181 zw. Färsen.

Jahr		(Mutter)- Kuh	Färse bis 1 Jahr	Färse bis 2 Jahre / Jung-Kuh	Summe Kühe	Summe Färsen	Summe Rinder
0	1326	1	0	0	1	0	1
1	1327	1	1	0	1	1	2
2	1328	1	1	1	2	1	3
3	1329	2	2	1	3	2	5
4	1330	3	3	2	5	3	8
5	1331	5	5	3	8	5	13
6	1332	8	8	5	13	8	21
7	1333	13	13	8	21	13	34
8	1334	21	21	13	34	21	55
9	1335	34	34	21	55	34	89
10	1336	55	55	34	89	55	144
11	1337	89	89	55	144	89	233
12	1338	144	144	89	233	144	377
13	1339	233	233	144	377	233	610
14	1340	377	377	233	610	377	987
15	1341	610	610	377	987	610	1597
16	1342	987	987	610	1597	987	2584
17	1343	1597	1597	987	2584	1597	4181
18	1344	2584	2584	1597	4181	2584	6765
19	1345	4181	4181	2584	6765	4181	10946
20	1346	6765	6765	4181	10946	6765	17711

Bemerkung: Man kann hier auch die bekannte Formel von BINET verwenden, mit der man das n-te Glied der Fibonaccifolge direkt erhält:

(wobei n die Anzahl der Jahre + 2 ist.)

Reinhold Moebs rechnete die Formel auf die Jahreszahlen um:
Die Lösung Ti kann in geschlossener Form, die Herrn Narayana sicherlich gefallen hätte, mit i = Jahreszahl-1326 angegeben werden als

(Beachte die Relationen des Goldenen Schnittes, die hier vorkommen)

 
Claudio rechnet die Geschichte mal etwas weiter und beweist, das ewiges Leben auch seine Nachteile haben kann:

Würden diese Tiere ewig leben, hätten keine Futter- und Platzprobleme und alles hätte wirklich mit einer einzelnen Kuh 1326 angefangen, wären es zur Zeit insgesamt F[2001-1326] = F[675], ca. 5.2 * 10 ^ 140 Tiere (die armen Bullen). In wenigen Wochen (Sommer) würden dann 3.2 * 10 ^140 Kühe die gleiche Anzahl von Färsen werfen, im warsten Sinne des Wortes ein großer Wurf, ziemlich albern natürlich, wenn man bedenkt, dass die Anzahl der Teilchen im bekannten Universum weitaus kleiner als 10^100 ist.

 
Auswertung:

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Das ist der ganze Jammer: die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.       Helmut Schmidt	"blättern"
© Karin S., Mai.2000