vom 14.6.2000
Bei dieser Aufgabe stellte sich heraus, dass diejenigen die relativ unbefangen an des Problem herangingen, die Lösung sofort fanden.
Schwierig wurde es für diejenigen, die sich weitere Bedingungen einfügten, wie unterschiedliche Kurse bei Sonne und Regen; bis hin zum Zerstückeln der Kurse in "Teilnehmerzuordnungen"
Bei einigen Lösungen blieb sogar noch Geld für die "schwarze Kasse" übrig .......
Helge de Boer brachte die überlegungen auf den Punkt:
Zuerst ein Grundlegende überlegung:
Bei schönem Wetter kann jeder, der möchte, Bridge spielen und bei
schlechtem Wetter, jeder der Lust dazu hat, Schwimmunterricht nehmen.
Insofern fallen diese Zahlen nicht weiter in Betracht.
Sven Redecker stellte folgende Gleichungen auf :
x = Reservierte Stunden beim Schwimmlehrer
y = Reservierte Stunden beim Bridgelehrer
Aus der Budgetvorgabe folgt:
I) 100 * x + 80 * y = 1240
Ia) 100 x = 1240 - 80 y
In x Stunden Schwimmunterricht können 2 * x * 5 = 10 * x
Anfragen befriedigt werden.
In y Stunden Bridgeunterricht können y * 3 Anfragen befriedigt
werden.
Somit ergibt sich aus der Bedingung, dass die Anzahl der
Unzufriedenen
bei jeder Wetterlage gleich ist:
II) 225 - 10 * x = 134 - 3 * y
IIa) 10 x = 3 y + 91
IIB) 100 x = 30 y + 910
Ia = IIb
1240 - 80 y = 30 y + 910
330 = 110 y
y = 3
Daraus folgt:
x = 10
y = 3
Probe:
1) Schönes Wetter:
100 Leute von 225 erhalten Schwimmunterricht =>
225 - 100 : 125 Unzufriedene
9 Leute können Bridgeunterricht erhalten =>
5 von 9 : 0 Unzufriedene
==================
125 Unzufriedene
2) Schlechtes Wetter:
100 Leute können Schwimmunterricht erhalten=>
12 von 100 : 0 Unzufriedene
9 Leute von 134 erhalten Bridgeunterricht =>
134 - 9 : 125 Unzufriedene
==================
125 Unzufriedene
Gesualdo tastete sich langsam an das Problem heran:
Zunächst wird angenommen, dass auch krumme Zeiten unterrichtet werden können. Beispiel: Bei 0,1 Stunden = 6 Minuten (=1/5 einer halben Stunde) Schwimmunterricht für 5 Personen sind 5 Personen zu jeweils 1/5 zufrieden was rein rechnerisch dasselbe ist, als wenn eine Person vollständig zufrieden ist. Auf Ganzzahligkeit wird erst später eingegangen. Es ist festzustellen, dass mindestens 9,6 Stunden Schwimmunterricht gegeben werden müssen. Zum Beweis dieser Behauptung: werden weniger als 7,9 Stunden Schwimmunterricht erteilt, so sind weniger als 79 Schwimmer bei gutem Wetter zufrieden, d.h. bei gutem Wetter sind mehr als 146 Schwimmer unzufrieden. Bei schlechtem Wetter sind aber nur 146 Personen überhaupt zufriedenzustellen! Wird aber andererseits mindesten 1,5 Stunden Schwimmunterricht erteilt, so sind alle Schlechtwetterschwimmer zufrieden und es dürfen bei gutem Wetter höchstens 134 Leute unzufrieden sein (Die Anzahl der Schlechtwetter-Bridgefreunde). Diese 134 wird genau erreicht, wenn 96 Schönwetterschwimmer zufriedengestellt werden (das entspricht genau 9,6 Stunden Schwimmunterricht); es bleiben 129 Schwimmer und 5 Bridgespieler übrig. Werden genau 9,6 Stunden Schwimmunterricht erteilt, so kann auch etwas Bridgeunterricht erteilt werden. Es ist dabei zu beachten, dass unabhängig vom Wetter die gleiche Anzahl von Bridgespielern zufriedengestellt wird. Das sind maximal 5 was einer Zeit von 1,6666667 Stunden Bridgeunterricht entspricht (geht nicht so richtig bei gutem Wetter, ist aber nicht so wichtig...) Es kann nun versucht werden, mehr Interessenten zufrieden zustellen. Dies geht nur, indem mindestens soviel Bridgeunterricht erteilt wird, dass alle Gutwetter-Bridge-Interessenten zufriedengestellt werden. Sukzessive kann man dann simultan Bridge und Schwimmunterricht verlängern, so dass jeweils ein Gutwetterschwimmer und ein Schlechtwetterbridgespieler mehr zufriedengestellt wird, also 9,7 Stunden Schwimmen + 2 Stunden Bridge 9,8 Stunden Schwimmen + 2,333333 Stunden Bridge 9,9 Stunden Schwimmen + 2,666667 Stunden Bridge 10 Stunden Schwimmen + 3 Stunden Bridge. Diese letzte Lösung ist die erste ganzzahlige Lösung. Außerdem liegt sie exakt im Budget (1000FF für Schwimmunterricht und 240FF für Bridgeunterricht). Eine weitere Erhöhung der allgemeinen Zufriedenheit ist also nicht möglich. Zusammenfassend werden bei gutem Wetter: 100 Schwimmer und 5 Bridgespieler zufriedengestellt, 125 Schwimmer bleiben unzufrieden. bei schlechtem Wetter: 12 Schwimmer und 9 Bridgespieler zufriedengestellt, 125 Bridgespieler bleiben unzufrieden.
Gudrun bearbeitete die Aufgabe mit einer Tabelle:
Für die Lösung der Aufgabe 11 habe ich zwei Tabellen gebildet, eine für schönes Wetter und eine für Regen. Ich denke, es reicht, die Tabelle zu beschreiben und sie nicht abzutippen. 1.) Schönes Wetter : In der Tabelle steht in den Spalten : Schwimmstunden, Personen Schw., Unzufriedene Schw., Kosten Schw., Restgeld für Bridge, Personen Bridge, Unzufriedene Bridge. Die Stunden zählen von 12 abwärts, das ist für 1240 F das Maximum. 2.) Regen : Stunden Bridge, Personen Br., Unzufr. Br., Kosten Br., Restgeld fürs Schwimmen, Personen Schw., Unzufr. Schw. Anschließend vergleiche ich in beiden Tabellen die Summe der Unzufriedenen. Sie sind gleich bei 3 Stunden Bridge und 10 Stunden Schwimmen. ________________________________________________________ Werte der einen Zeile : 10 h Schwimmen 100 Personen Schw. 125 Unzufr. Schw. 1000 F Kosten 240 F bleiben für Bridge 3 h Bridge 9 Personen Bridge oder: 3 h Bridge 9 Personen Bridge 125 Unzufr. Bridge 240 F Kosten Br. 1000 F Rest 10 h Schw. 100 Pers. Schw. Es bleiben in beiden Fällen noch 2 Unzufriedene übrig, sowohl beim Schwimmen als auch beim Bridge. Je nachdem, ob aus denen noch eine neue Gruppe gebildet wird, sind es 125 oder 127 Unzufriedene bei Regen und bei schönem Wetter.
Anmerkung 1: von Horst Reblitz
Die Anzahl der Unzufriedenen könnte stark reduziert werden, wenn die beiden Lehrer sich gegenseitig weiterbilden und damit entsprechend dem Wetter passenden Unterricht anbieten.
Anmerkung 2: von Helge de Boer
Grundsätzliche Lösung des Problems:
Bei Sonne ist es draussen sowieso heiss, also kann man genau so gut
drinnen bleiben und am Bridgekurs teilnehmen.
Auf der anderen Seite ist Regen in seiner Beschaffenheit dem Inhalt
des Schwimmbades ziemlich ähnlich, nämlich Wasser (abgesehen von
chemischen Zusätzen im Becken!). Das heisst, man könnte ebenso bei schlechtem
Wetter einen Schwimmkurs machen. So steigt die Wahrscheinlichkeit enorm, das man in die angebotenen
Aktivitäten mit einbezogen wird.
Auswertung:
| eingegangene Lösungen | richtige Lösungen | falsche Lösungen |
| 34 | 31 | 3 |
| Bemerkungen | Diese Aufgabe brachte einiges an Kopfzerbrechen | |
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© Karin S., Juni.2000 |
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