denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 2000

DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

Lösungen der DENKmal-Aufgaben des Jahres 2000

Lösungen zur 13. Unter Verwendung der Einsendungen von
Rolf Hermann, Lex Bedijs, Marion , Pat ,Kruno, EDDY, Herbert Nell, Roland Koppenberger, G. S., Gesualdo, Chris aus Marling und GUDRUN

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Lösung zur Aufgabe 13-1

Zahlenpyramiden

Die höchste Summe ist 23, die kleinste 13

Begründung für 23 als maximale Seitensumme:

0 als kleinste nichtzählende Zahl kommt in die Mitte. Die größten Zahlen 7, 8, 9 kommen in die drei Ecken, ihre Summe ist 24. Da diese Zahlen in jeweils zwei Seiten vorkommen wird diese Summe doppelt gezählt, macht 48. Die restlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ergeben in der Summe 21.
Falls eine geeignete Verteilung möglich ist (sh.Bsp), erhält man als dreifache Seitensumme 69 (= 21 + 48) und damit als Summe für eine Seite 23

Begründung für 13 als minimale Seitensumme:

9 als größte nichtzählende Zahl kommt in die Mitte. Die kleinsten Zahlen 0, 1, 2 kommen in die drei Ecken, ihre Summe ist 3. Da diese Zahlen in jeweils zwei Seiten vorkommen wird diese Summe doppelt gezählt, macht 6. Die restlichen Zahlen 3, 4, 5, 6, 7, 8 ergeben in der Summe 33.
Falls eine geeignete Verteilung möglich ist (sh.Bsp), erhält man als dreifache Seitensumme 39 (= 33 + 6) und damit als Summe für eine Seite 13

die große Summenpyramide 9 9 4 1 1 4 3 0 5 6 0 2 7 2 6 8 oder 7 3 5 8

die kleine Summenpyramide 2 1 6 7 4 7 5 9 3 6 9 5 0 8 4 1 oder 2 3 8 0

Es gibt damit auch wesentlich mehr als 2 Lösungen; es sind jeweils 96 Möglichkeiten!

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Lösung zur Aufgabe 13-2.

Kryptografie

Die dargestellte Aufgabe ist 
im Dezimalsystem nicht lösbar, 
da die Rechnung
     x x 0
   - x x 1
   -------
         2
unmöglich ist. 
Statt einer 2 müsste dort eine 9 stehen, 
also die 10 - 1.

Deshalb ist diese Aufgabe wenn überhaupt 
ausschließlich im 3er-System lösbar,
da dann die Rechnung 10 - 1 = 2 möglich ist. 

Zur Erleichterung eine kleine Tabelle:

 10-er  3-er | 10-er  3-er | 10-er  3-er
-------------+-------------+------------
    0     0  |   10   101  |   20   202
    1     1  |   11   102  |   21   210
    2     2  |   12   110  |   22   211
    3    10  |   13   111  |   23   212
    4    11  |   14   112  |   24   220
    5    12  |   15   120  |   25   221
    6    20  |   16   121  |   26   222
    7    21  |   17   122  |   27  1000
    8    22  |   18   200  |   28  1001
    9   100  |   19   201  |   29  1002
                           |   30  1010


Jetzt lässt sich die Aufgabe schließlich lösen:

 1 0 1 0 0 2  :  2 2  =  1 0 2 1
   2 2
 -----
     2 0 0
     1 2 1
     -----
         2 2
         2 2
         ---
           0

in unser dekadisches Systen übersetzt ist das:

272 : 8 = 34

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Lösung zur Aufgabe 13-3.

Logiktest

die Zahlenreihe 
1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, ..., ..., ..., 
scheint keinen direkten Zusammenhang zu besitzen,
daher betrachten wir die Folge der jeweiligen Nachfolger:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 
diese Zahlenfolge ist allerdings bekannt.
Es ist die Folge der Primzahlen

dann ist die gesuchte Folge 
      die Folge der um eins verminderten Primzahlen:
1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, ...

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Lösung zur Aufgabe 13-4.

Spielzeugsteine

Die Steine bestehen aus dem gleichen Material; daraus folgt, dass auch die Dichte gleich ist und keine Rolle spielt.

Wenn sich die Seiten wie 1:5 verhalten, verhalten sich die entsprechenden Rauminhalte wie 1:125.

Da die Massen proportional zum Volumen sind, erhält man die Masse m des kleinen Quaders :

m = 5,5 kg : 125 = 0,044 kg. = 44 g

Der Spielstein wiegt also 44 g.

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Lösung zur Aufgabe 13-5.

Streichhölzer

Man begebe sich in die 3. Dimension, dann kann man mit den 6 Streichhölzern ein Tetraeder bilden:
hoelzchen

Die Seitenflächen des Tetraeders sind 4 gleichseitige Dreiecke.

Variante zur Lösung:

Gucken wir uns mal eine der Ecken in der Vergrößerung an:

hoelzchen

Dort, wo die Schmalseite eines Streichholzes an zwei andere Hölzer stößt, ergeben sich gleichseitige Dreiecke (s. Abb.); derer gibts 3. Dazu kommt noch das große gleichseitige Dreieck, das aus den Längsseiten der Streichhölzer entsteht. Womit's dann 4 gleichseitige Dreiecke sind, die zwar nicht alle gleich groß sind, deren Seiten aber je 1 Kante lang sind.

Zusatzaufgabe
von Marion

Ein reguläres (also ein stinknormales, ganz regelmäßiges) Tetraeder soll mit einem einzigen, geraden Schnitt in zwei gleiche Teile geteilt werden (die Formen beider Teile sind völlig identisch), wobei die Schnittfläche ein Quadrat ergibt.
Wo muss der Schnitt gemacht werden?
Zur Erinnerung: Beim regulären Tetraeder sind sowohl die Grundfläche als auch die drei Seitenflächen gleich große gleichseitige Dreiecke.

Schnitt eines regulären Tetraeders von ROLF HERRMANN
(zwei Skizzen zur Zusatzaufgabe

Die Quadrat-Schnittfläche und die Halbierung des Tetraeders ist besonders gut zu sehen, wenn man das Tetraeder in einen Würfel einbettet. Die Kanten verlaufen in den 6 Würfelflächen. Verbindet man die Seitenflächenmitten, so sind dies die Schnittkanten des Quadrats. Gleichzeitig wird das Tetraeder halbiert. Dreht man noch die obere Hälfte des Tetraeders um 90°, so wird das Halbieren noch deutlicher sichtbar.

Figur 1 Figur 2

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Lösung zur Aufgabe 13-6.

wie heißen die Zahlen?

32 = a + b + c + d mit a+3 = b-3 = 3c = d/3 => b = a+6; c = a/3 + 1; d = 3a + 9 => 32 = a + a+6 + a/3+1 + 3a+9 => 5 ¹/₃ * a = 16 => a = 3 b = 9, c = 2, d = 18. es ist: 32 = 3 + 9 + 2 + 18 und 3 + 3 = 9 - 3 = 2 * 3 = 18 / 3

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Lösung zur Aufgabe 13-7.

Fliesenmuster legen

Als der Plattenleger wuerde ich nun erstmal versuchen mir einen "Stempel" zu ueberlegen, der das vorgegebene Muster erzeugt. Ein Stempel ist ein Muster von Platten, so dass man nach links, rechts, oben und unten anlegen kann, die Muster ineinandergreifen und exakt das vorgegebene Muster entsteht.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich so einen "Stempel" auszudenken,
In dem Ausschnitt sind 3 Quadrate und 8 Dreiecke, also 11 Teile.

8 Teile entsprechen 1000 Steinen (Dreiecke),
1 Teil entspricht 125 Steinen (1000 / 8),
3 Teile entsprechen 375 Steinen (Quadrate, 125 * 3).

a)
Die Steinplattensorten stehen im Verhältnis 3 zu 8.

b)
Der Plattenleger muss 375 quadratische Steine kaufen.

Zusatzaufgabe:
von Roland Koppenberger

Der Plattenleger Max bekommt den Auftrag, den ganzen Platz mit den 1375 Steinen auszulegen. Er soll um 7 Uhr morgens beginnen.
Er überlegt und kommt zu dem Ergebnis, dass er dann erst um 22 Uhr abends fertig werden würde. Max möchte aber bereits um 17 Uhr die Arbeit beenden.
Er bittet deshalb seinen Freund Moritz um Hilfe. Moritz kann zwei Steine pro Minute verlegen, allerdings hat er am Vormittag keine Zeit.
Wann soll Moritz spätestens zur Arbeit kommen, damit beide um 17 Uhr mit dem Verlegen fertig sind?

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Lösung zur Aufgabe 13-8.

Zahl gesucht!

Gesuchte Zahl = x. Ihre Teilbarkeit lässt sich folgendermaßen schreiben :
(a_i, b_i sind natürliche Zahlen)
x = 10*a₁₀ + 9 = 10*a₁₀ + 10 - 1 = 10 * (a₁₀ + 1) - 1 = 10 * b₁₀ - 1
=> x + 1 = 10 * b₁₀
x = 9 * a₉ + 8 = 9*a₉ + 9 - 1 = 9 * (a₉ + 1) - 1 = 9 * b₉ - 1
=> x + 1 = 9 * b₉
usw. ...
x = 2 * a₂ + 1 = 2*a₂ + 2 - 1 = 2 * (a₂ + 1) - 1 = 2 * b₂- 1
=> x + 1 = 2 * b₂

Wenn nun x+1 gleichzeitig ein Vielfaches von 10, 9, 8, ..., 2 sein soll, so ist x+1 ein ganzzahliges Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kgV(2,3,4,.. ,8,9,10) = 2520

Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung x = k * 2520 - 1 mit k =natürliche Zahl.

Die ersten drei Lösungszahlen sind demnach 2519, 5039, 7559

Hinweis:
Wer allerdings den Begriff "ganze Zahl" als mathematischen Zahlbereich aufgefasst hat, konnte sofort -1 als Lösung angeben.

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Lösung zur Aufgabe 13-9.

Kryptographie

Lösung 1 & 2
                 60249
                352249
              --------
                412498          
6 und 5 kann getauscht werden! 


Lösung 3 & 4
                 90374
                623374
              --------
                713748          
9 und 2 kann getauscht werden!


Lösung 5 & 6
                 59624
                176624
              --------
                236248          
5 und 7 kann getauscht werden!


Lösung 7 & 8
                 89625
                146625
              --------
                236250          
8 und 4 kann getauscht werden!

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Lösung zur Aufgabe 13-10.

(S*50-A)*27/3-360*S+10*(A+S)=4321
(S*50-A)*9-360*S+10*(A+S)=4321
(450S -9A)-360*S+10A + 10S=4321
100S + A = 4321

Lösungen:

 A  + 100S = 4321
------------------
 21 + 4300
121 + 4200
221 + 4100
...

Es ist anzunehmen, dass Peter als Student nicht aelter als 100 Jahre ist, also a=21 und damit s = 43.
Natuerlich ist es denkbar, dass Peter ein sehr alter Student ist und vielleicht doch 121 ist. Fuer diese Theorie spricht jedenfalls diese merkwuerdige Methode sich seine Schuhgroesse zu merken. In diesem Fall waere seine Schuhgroesse nur 42.
Fuer den Fall, dass es sich bei Peter vielleicht gar nicht um einen Menschen, sondern um eine langlebige andere Spezies, ist die Schuhgroessenbestimmung ohne Peter's Alter nicht moeglich. Man muesste die Anzahl der vollen Hunderter des Alters von 43 abziehen, um die Schuhgroesse zu bestimmen.
Zumindest wissen wir, Peter, dass Peter hoechstens 4221 Jahre alt ist und in dem Fall haette er wirklich sehr kleine Fuesse....;-)

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Auswertung:

eingegangene Lösungen	richtige Lösungen	falsche Lösungen
33	27	6
Bemerkungen	Die Aufgabe 2 mit dem3-er System war nach dem entsprechenden Hinweis keine großes Schwierigkeit mehr. Dagegen war die Primzahlenreihe( 6 Ausfälle), das Fliesenmuster (6 Ausfälle) und alle 8 Lösungen zur Krypto-Aufgabe 9 (10 Ausfälle) doch für Einzelne ein Problem. Somit hat sich dann auch über die Hälfte der richtigen Einsender trotz einer nicht ganz korrekten Lösung einen smiley gesichert. Dagegen waren Peters Schuhgröße und das Bausteingewicht gar keine Schwierigkeit.

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.

Helmut Schmidt

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