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Lösung der 2.    vom 22.1.2001

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Vorbemerkung: 
Obwohl ich sogar eine Skizze vorgegeben habe, versuchten einige Teilnehmer sich die Aufgabe einfacher zu machen ;-) Es hat aber leider nicht ausgerecht nur diesen Spezialfall (Katheten halbieren die entsprechenden Seiten) zu lösen.  
Aber ich habe auch viele sehr schöne bzw. auch originelle Lösungen erhalten

Martin Baselt hat seine Sägearbeit als sehr schöne animierte Grafik dargestellt:

Christian Rödl hat es geschafft, die Aufgabe auch ohne eine Skizze zu lösen:

4 Möglichkeiten stehen zur Verfügung:

1.) Mit Nachdenken und Logik
Man braucht immer (a-2) Schrägen und daher (a-1) Senkrechten.
Wenn man nun ausrechnen will, wie lang eine Senkrechte sein muss, rechnet man:
[(a-2)*H + b*H] : (a-1) 
(...Summe aller Senkrechten geteilt durch Anzahl der Senkrechten).
Das liefert nach Umformen: 
x = [H * (b-1)] / [(a-1)] + H ; 
y = ( L² + H² )^(1/2) ... nach Satz von Pythagoras

2.) Mit Vergleich der Flächeninhalte vorher - nachher:
Flächeninhalt am Anfang = a*L*b*H; 
nach Verstümmelung:  L*H*(a*b - 1).
also muss L*H*(a*b - 1) = (b*H + x - H)*[L*(a-1)] sein 
(Höhe mal Länge vom neuen Rechteck)
und nach Umformen wieder: x = siehe oben...

3.) Mit ähnlichen Dreiecken:
[H*(b - 1)] : [L*(a - 1)] = [x - H] : L
und nach Umformen: siehe oben

4.) Die geometrische Methode:
eigentlich muss man  x und y nämlich gar nicht ausrechnen:
Man nehme einen Zirkel, ein Lineal und ein Geodreieck. Nun zeichne man zwei parallele Diagonale in das Sechseck ein und zwar jeweils von einem Eckpunkt der abgeschnittenen Ecken zum gegenüberliegenden. Nun beginne man links oben mit der ersten Senkrechten, zeichne sie bis zur Diagonalen, dann verschiebe man die Hypotenuse des kleinen Rechtecks parallel bis zu diesem Punkt, dann wieder eine Senkrechte, usw...

Es gibt nicht nur eine Lösung, sondern immer zwei

Lösung von Jörg Wiegels, die auf seiner Hompage sogar interaktiv ist



Weil sowohl die Höhe als auch die Breite des Rechtecks ganzzahlige Vielfache der Längen der anliegenden Katheten der abgesägten Dreiecke sind, gibt es für die Konstruktionsaufgabe zwei Lösungen, die in folgenden Skizzen dargestellt werden. 
Zuerst werden (gelbe) Parallelen zu jeweils gegenüber liegenden Seiten des Rechtecks so eingezeichnet, dass sie das Rechteck in gleich breite Streifen teilen und eine Ecke beider Dreiecke auf einer von ihnen liegt. Danach werden die Enden der Hypothenusen durch zwei (grüne) Parallelen miteinander verbunden. Anschließend werden alle Schnittpunkte der gelben mit den grünen Geraden so mit einem (roten) Kantenzug verbunden, dass sich ein Sägezahnmuster ergibt. 
Teilt man das Rechteck an dieser Linie, dann lässt es sich um einen Zahn versetzt wieder zu einem vollständigen Rechteck
zusammen fügen. 

Variante A (horizontale Teilung)	Variante B (vertikale Teilung)
Horizontal:   5	Vertikal:  6
Auf Jörg Wiegels' Seite kann man sich überzeugen,  dass man in jedem Verhältnis zur Seite ( 2 bis 99 ) die Ecken abschneiden und nach einem entsprechenden Sägezahnschnitt wieder reparieren kann.

  Johann Moll beweist die Schnittführung:

Seien a = Höhe 
      b = Breite 
Kathete vertikal  = a / m m, n >= 1 nat. Zahlen 
Kathete horizontal= b / n a, b >0 reelle Zahlen

Dann folgt: 

F (alt) = a * b Flächeninhalt ursprünglich 

(1) 
F (neu) = a * b - a / m * b / n 
       Flächeninhalt nach Absägen der Ecken 

Wenn man die Lösungsidee hat, weiß man, dass nach dem Absägen das 
neue Rechteck die Breite (n - 1) / n * b hat. 

Die vertikale Sägetiefe findet man durch s / m * a 
(offensichtlich s >= 1) 
Sozusagen: Die erste Schnitttiefe wird an der verkürzten linken Seite oben angesetzt. 

(2) F (neu) = a * ( (m-1) / m + s / m) * b * (n - 1 ) / n 

Aus (1) und (2) folgt: (Faktor a * b sofort weggekürzt)

  (m * n -1) / (m * n) = ((m - 1) / m + s / m) * ((n - 1)/n)
= (m * n - m - n + 1) / (m * n) + s * (n - 1) / (m * n)

Gleichung mit m * n multiplizieren und nach s auflösen ergibt 

s = (m + n - 2) / (n - 1) 

s ist der Faktor für a / m 

Beispiel: m = 5 n = 7 s = 5 / 3
Der erste senkrechte Schnitt hat also die Tiefe 
    a / m * s = a / 5 * (5 / 3) = a / 3 
oder, was praktischer ist, 
    5 / 3 der Höhe eines Kästchens! 

Anmerkung: Vertauscht man in der Formel m mit n, 
           dann wäre s der Faktor für b / n 

Es gibt immer 2 Lösungen, sozusagen "orthogonale" Lösungen... 
Man begänne dann statt senkrecht waagerecht zu sägen! 

Roland Koppenberger hat seine Lösung sehr schön verpackt:

Tooltime-Sondersendung zum Sägeproblem
AL :	Wir begrüßen Sie heute zu einer neuen Ausgabe von Tooltime.
TIM :	Wir werden heute eine rechteckige Platte reparieren, bei der zwei gegenüberliegende Ecken beschädigt wurden. Wir werden dabei auch lernen, mit der vektoriellen kanadischen Koordinatensäge (VCCS) umzugehen, freust du dich auch schon drauf, Al?
AL :	Und wie, Tim! Zunächst brauchen wir kräftige Menschen, die unsere Platte in ein kartesisches Koordinatensystem (x, y) rücken und zwar so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
TIM :	Die linke untere Ecke der Platte befindet sich im Koordinatenursprung, die Platte selbst liegt im positiven x- und y-Bereich. Die beschädigten Ecken platzieren wir links oben und rechts unten. Ich denke, die kräftigen Menschen kriegen das hin, nicht wahr, Al?
AL :	(nickt überzeugt beipflichtend).
TIM :	Sie werden dafür aber eine Weile brauchen, also nutzen wir die Zeit und betrachten inzwischen die Seitenlängen der Platte.
AL :	An den beschädigten Ecken sollen zwei kongruente Dreiecke so abgeschnitten werden, dass die Länge der (ursprünglich unbeschädigten) Plattenseite (nxux bzw. nyuy) jeweils ein ganzzahliges Vielfache (nx bzw. ny) der jeweiligen Kathetenlänge (ux bzw. uy) des Abschnitts (mit nx, ny Î N, ux, uy Î R+) ist.
TIM :	(verdreht die Augen): Das klingt irgendwie sehr kompliziert, Al.
AL :	Ja, aber das ist es in Wirklichkeit gar nicht, Tim.
TIM :	Na gut, die Platte liegt nun passend im Koordinatensystem, jetzt brauchen wir ein geeignetes Schneidwerkzeug, wir nehmen dazu (bedeutungsvoll betonend) die vektorielle kanadische Koordinatensäge (VCCS) (strahlt) und sägen drauf los…
AL :	Das glaub ich nicht, Tim! Im Beipacktext der Säge sind deren Funktionen erläutert: "(…) If you want to saw from point P straight ahead to point Q you have to instruct the VCCS with the command SAW(FROM: P, CUT: Q-P). The actual position P of the VCCS can be determind with P = SAWLOCATION. You can predefine a cut vector C with C =DEFINECUT(X,Y). (…)"
TIM :	Genug der Vorrede, lass uns endlich ans Werk gehen, Al.
AL :	Wie du willst, Tim. Schneiden wir zunächst die zwei beschädigten Ecken ordnungsgemäß ab. Wir programmieren zwei Schnitte in die Säge: c1 = DEFINECUT(ux, uy) SAW(FROM: (0, (ny-1)uy), CUT: c1) SAW(FROM: ((nx-1)ux, 0), CUT: c1) Und ab sind die beschädigten Ecken!
TIM :	Al, du bist ein Meister der Säge, wie du das mit den Ecken hingekriegt hast, unglaublich!
AL :	Werd jetzt nicht persönlich, Tim!
TIM :	Und jetzt kommt der Hammer - äh, die Säge, pass auf, Al! Mit der vektoriellen kanadischen Koordinatensäge ist es uns jetzt möglich, mit einem sauberen Schnitt die Platte in genau zwei Teile zu zerlegen, die wir dann - natürlich anders angeordnet - wieder zu einem Rechteck zusammenleimen können.
AL :	Genau, Tim. Allerdings müssen wir jetzt aufpassen, denn je nach Beschädigung müssen wir nun anders vorgehen.
TIM :	Du hast recht, Al. Wenn die Beschädigung der Platte sehr groß war, also wenn nx = 1, dann halbieren wir die Platte einfach horizontal, wir programmieren die Säge dann mit: SAW(FROM: (0, nyuy/2), CUT: (ux, 0))
AL :	Richtig, Tim. Wenn die Beschädigung aber anders gelagert war (nx > 1), dann haben wir etwas mehr Arbeit. Wir programmieren einen zweiten Schnittvektor c2 in die VCCS - ach ja, wir dürfen nicht vergessen, dass sich die Säge den definierten Schnitt c1 natürlich gemerkt hat. Wir instruieren die Säge also mit: c2 = DEFINECUT(0, -uy(nx+ny-2)/(nx-1)) Erstaunlich ist jetzt, dass wir die Platte mit nur zwei Schnittvektoren auseinandernehmen können. Die Eingaben für die VCCS sind dafür: SAW(FROM: (ux,nyuy), CUT: c2) WHILE SAWLOCATION ¹ ((nx-1)ux, 0) SAW(FROM: SAWLOCATION, CUT: c1) SAW(FROM: SAWLOCATION, CUT: c2) ENDWHILE
TIM :	Mann, Al, das sieht ja richtig gut aus. Nun ist es ein leichtes, die beiden Teile so zu verschieben, dass wieder ein Rechteck rauskommt. Fürs Zusammenleimen verwendet man dann einfach den passenden Komponentenkleber - und die Platte ist wieder wie neu, nicht wahr Al?
AL :	Richtig, Tim. Allerdings ist sie jetzt ein wenig kleiner geworden, dafür sind alle Ecken wieder ordentlich kantig, wie sich's gehört.
TIM :	So Freunde, das wär's wieder mal für heute. Beim nächsten Mal werden wir Al beide Ohren abschneiden und ihn im Dunkeln danach suchen lassen.
AL :	Darauf freu ich mich schon besonders, Tim, also bis zum nächsten Mal bei Tooltime!

 

Auswertung:

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