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Lösung der 3.    vom 12.2.2001

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Auch wenn, laut meiner etwas unkonkreten Fragestellung, die Lösungen mit 6 Gewichten als richtige Lösung gezählt wurden, gehe ich aber in der Auswertung nur auf die Minimallösung mit 5 Gewichten ein.

Es handelt sich um das  Bachetsche Gewichtsproblem, wie MICHL vollkommen richtig erkannt hat.
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581--1638), der als einer der gelehrtesten Männer des Frankreichs des 17 Jahrhundert galt, veröffentlichte diese Aufgabe in "Problèmes plaisants et délectables"

den Grundgedanken der Lösung formuliert Lex Bedijs

Wichtig für die Lösung ist, dass die einzelnen Gewichte auf beiden Seiten der Waage nutzbar sind. 

Wenn man nur eine Seite für die Gewichte zulässt, kommt man schnell auf eine mögliche Lösung. Jedes Gewicht hat nämlich nur 2 Zustände: auf der Waagschale und nicht auf der Waagschale. 
Für dieses 2-er-System ergeben sich die erforderlichen Gewichte zu 1, 2, 4, 8, 16 und 32kg.
Es sind dann mit 6 Gewichten allerdings nur 1 bis 63 kg möglich,  mit 7 Gewichten 1 bis 127kg.

Wenn man beide Seiten für die Gewichte zulässt, hat jedes Gewicht 3 Zustände: auf der linken Waagschale, auf der rechten Waagschale und auf keiner der Waagschalen. 
Für dieses 3-er-System sind die Gewichte sind dann 1, 3, 9, 27 und 81 kg. Mit nur 5 Gewichten sind dann 1 bis 121 kg möglich. 

Horst Reblitz  hat auch nebenbei noch die 1-kg Variante ausgeschlossen, die dem (leider so um Gerechtigkeit besorgen) Prinzen viel Geld gespart hätte:

die Aufgabe war leicht, dafür die Gewichte verdammt schwer.
Aber das 81-Kilo-Gewicht muss wenigstens nur einmal auf die Waage gebracht werden und bleibt dann drauf.

Lösung:
Ich nehme an, dass bereits abgewogene Bonbons nicht wieder als Gewichte verwendet werden dürfen, denn das würde wegen der 'digitalisierenden' Ungenauigkeit der Bonbons zu immer größeren Ungerechtigkeiten führen. Sonst würde ein Gewicht mit 1kg ausreichen.

Also müssen alle Bonbonmengen alleine durch die Gewichte erreicht werden,
was aber bei einer Gleichgewichtswaage auch durch Gegen-Gewichte auf der
Seite der Bonbons vereinfacht wird.
Dann benötigen wir nur folgende 5 Gewichte:
1 kg
3 kg
9 kg
27 kg
81 kg

Ich geb' mal den Tipp ab, dass du wieder mindestens 60 Lösungen bekommst.

Roland Koppenberger, wie auch Jörg Wiegels brachten das Problem mit dem 3-er System in Verbindung:

Ein Massestück lässt sich auf einer Balkenwaage entweder in der linken Schale, in der rechten Schale oder in keiner der beiden Schalen platzieren, das sind drei markante Zustände, es bietet sich zur Beschreibung Idealerweise ein Zahlensystem mit drei Zuständen an: das Ternärsystem mit der Basis 3.

Die benötigten Massestücke weisen daher folgende Gewichte auf: 1, 3, 9, 27, 81 kg (jeweils Potenzen von 3).

Mit B bezeichnen wir das Gewicht der abzuwiegenden Bonbonmasse.

Wenn wir nun die drei Zustände in linker Schale (-1), in rechter Schale (+1), in keiner Schale (0) - multiplikativ mit den benötigten Massestücken 1, 3, 9, 27, 81 kg und der Bonbonmasse B verknüpfen und aufsummieren, müssen wir als Ergebnis immer 0 erhalten (Waage im Gleichgewicht). Für jedes Gewicht B von 1 bis 121 kg gibt es genau zwei symmetrische Gleichungen (da Schalen jeweils vertauscht werden können), die diese Bedingung erfüllen.

Allgemein also:

Die Gleichung

lässt für jedes mögliche B genau zwei (symmtrische) Lösungen zu:  

.
 Einige Beispiele:  

B =  5 kg:  -1×1  -1×3  +1×9  0×27  0×81  -1×B  = 0
also links 1, 3, B und rechts 9 (nicht verwendet: 27, 81)

B =  9 kg:  0×1  0×3  +1×9  0×27  0×81  -1×B  = 0
also links B und rechts 9 (nicht verwendet: 1, 3, 27, 81)

B = 52 kg:  +1×1  -1×3  0×9  -1×27  +1×81  -1×B  = 0 
also links 3, 27, B und rechts 1, 81 (nicht verwendet: 9)

B = 66 kg:  0×1  +1×3  +1×9  -1×27  +1×8  -1×B   =0
also links 27, B und rechts 3, 9, 81 (nicht verwendet: 1)

B = 121 kg: +1×1  +1×3  +1×9  +1×27   +1×81  -1×B  =0
also links B und rechts alle (nicht verwendet: keines 
=> maximales Gewicht)

Man mag sich nun ein Verfahren wünschen, mit dem man für ein benötigtes Gewicht B die passenden Massestücke einfach auswählen und richtig platzieren kann. Dazu bedient man sich der ausgewogenen ternären Schreibweise. Das herkömmliche Ternärsystem verwendet die Ziffern 0, 1 und 2, im ausgewogenen Ternärsystem sind das analog dazu die Werte 0, 1 und -1.

An einem Beispiel:

Man möchte gerne 52 kg Bonbons abwiegen. 
Die Zahl 52 wird zunächst ins Ternärsystem übersetzt: 1221. 
Nun ersetzt man jede 2 durch -1 (die Reihenfolge ist dabei beliebig) und erhöht die linksstehende Ziffer um 1 (sollte sich eine 3 ergeben wird diese zu 0 und die linksstehende Ziffer ebenfalls um 1 erhöht), denn 2×3k = 1×3k+1 - 1×3k und 3×3k = 1×3k+1 für alle k e N. Dieser Vorgang wird solange durchgeführt, bis nur noch die Werte 0, 1 und -1 übrig sind. In unserem Beispiel wird 
1221 (=1×27+2×9+2×3+1×1=52) 
übersetzt in die äquivalente ausgewogene Variante 
+1 -1 0 -1 +1 (= +1×81 -1×27 0×9 -1×3 +1×1 = 52). 
Gewichte mit negativen Vorzeichen kommen in die eine Schale, solche mit positiven in die andere Schale, das gesuchte Gewicht kommt in die negative Schale um Gleichgewicht herzustellen, 

denn: +1×81 -1×27 0×9 -1×3 +1×1 -52 = 0 (vgl. anfängliche Ausführungen

Jörg Wiegels hat für die immer noch Zweifelnden eine Methode angegeben, wie man jedes Gewicht überprüfen kann. (Deshalb gibt es keine große Tabelle von 1 bis 121.) 

Es ist leicht einzusehen, dass dieses Verfahren endlich ist 
und bei Gewichten bis 121 kg (= (11111)3 kg) das Endgewicht nicht größer als dieses werden kann.

Dieses Formular mit JavaScript-Programm berechnet zu einem vorgegebenen Gewicht zwischen 1 kg und 121 kg die Gewichtsverteilungen nach diesem Algoritmus:

(nur gesuchtes Gewicht eintragen und auf das Gleichheitszeichen drücken)

Antwort

Der Karnevalsprinz kann mit den fünf Gewichten 1 kg, 3 kg, 9 kg, 27 kg und 81 kg alle Gewichte zwischen 1 kg und 121 kg abwiegen.

Auswertung:

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