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Lösung der 6.    vom 26.03.2001

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Lösung Teil a) 

stellvertretend für alle, die die richtige Idee hatten die Lösung von Horst Reblitz



den Turm besteht aus 5525 Bällen.

Ich hab's nicht aufgebaut, sondern folgendermaßen berechnet:

Anzahl Bälle ( N )

	25
N =	S	i 2
	i=1

N = 25*25 + 24*24 + 23*23 + ... + 1*1 = 5525

oder allgemein für die Summe der Quadrate natürlicher Zahlen
(Pyramidenformel):

N(n)  =  n * (n +1) * (2n  + 1) / 6
N(25) = 25 * (25+1) * (2*25 +1) / 6

N(25) = 5525

Lösung Teil b) 

Grundlage der Berechnungen zu Aufgabe b) sind die Zeichnungen 
von Albert aus Sankt-Petersburg

die Grundseite der Ballpyramide (besteht aus 26 x 26 Kugeln)

Schnitt durch die Ballpyramide entlang der Diagonalen der Grundseite

Herbert Nell löst die Aufgabe über den altbekannten Satz des Pythagoras: 

Die Seitenlänge der Basis der Pyramide besteht aus 25 Kugeln, der Abstand  zwischen den äußeren Kugeln entspricht dem Durchmesser von 24 Kugeln (2r werden  subtrahiert); das wären 96 cm. 
Diese Länge entspricht ebenfalls den vier  Kantenlängen der Pyramide (ebenfalls 25 Kugeln). Zwischen der Höhe der Pyramide,  einer Kantenlänge und der halben Diagonale der quadratischen Basis entsteht ein  rechtwinkliges Dreieck, das zu berechnen ist mit Hilfe des pythagoreischen  Satzes einfach ist.



Kantenlänge² = Höhe der Pyramide² + 1/2 Diagonale der Basis²

96² = h² + ( * 96/2)²
9216 = h² + 4608
4608 = h²
h = 67,882251

Jetzt muss nur noch der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zum Kugelrand addiert  werden; das ist in beiden Fällen (Spitze und Basis) 2cm. 

Damit ergibt sich eine Gesamthöhe von 71,88 cm. 

Nestor veranschaulicht die Lage von 4 Bällen in einer Grafik. Dabei wird deutlich, dass die Mittelpunkte der Bälle eine Pyramide bilden, deren quadratische Grundfläche die Länge 2*Radius beträgt 
            

Heinz Mayr hat einen sehr einfachen Lösungsweg gefunden:

h = 0,5 * * d  =  2 *   (in cm).
Da die Ballpyramide aus der Grundschicht + 24 Oberschichten besteht,
ergibt sich als Gesamthöhe 48 * + 4 , also rund 71,88 cm.

Sven Redecker löste die Aufgabe im Koordinatensystem:

Bei der Höhe ermittle ich zunächst den Abstand zweier Schichten, wobei dabei der Abstand der Ebenen durch die Mittelpunkte  einer Schicht gemeint ist. 
Dazu betrachte ich die abgemagerte Version mit 4 Bällen in der unteren und 1 Ball in der oberen Ebene.

Legt man den Mittelpunkt eines unteren Balles in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems, so ergeben sich folgende Koordinaten für die Mittelpunkte der unteren Bälle:

M1(0/0/0)
M2(4/0/0)
M3(0/4/0)
M4(4/4/0)

Klar ist, dass für den Mittelpunkt M5 des oberen  Balles gilt:

M5(2/2/z)

wobei z gerade den Abstand der oben erwähnten Ebenen angibt.

Da nun der Abstand der Mittelpunkte der Bälle immer 4 beträgt, lässt sich mit Abstandsformel ermitteln, dass z gleich der Quadratwurzel von 8 ist, also ca. 2,8284.

Somit ergibt sich für die Höhe der Ballpyramide

H = 24 * 2,8284 + 2 * 2 = 71,8816
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und noch ein Beispiel zur Rechengenauigkeit:

H = 24*2* + 4
H = 71,8822509939085623424810587620655 cm

(Im Vergleich dazu : die Größe eines Atomkerns beträgt ca. 10 ^-14 m)

Bemerkungen von Henrik Holke und Herbert Nell

Herbert bemerkt::  Zunächst einmal herzlichen Glückwunsch, da deine Aufgabe auf dem neuesten Stand des TT-Sportes ist! Seit diesem Jahr wird nämlich mit neuem Durchmesser gespielt  (früher waren es 38mm) um das Spiel etwas langsamer und damit interessanter zu machen; 

Ziemlich teure Angelegenheit zur Neueröffnung; selbst bei guten Konditionen der Lieferanten knapp 5000 DM Anschaffungskosten!

Auswertung:

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