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Lösung der 10.    vom  28.05.2001

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Peter Becker fand einen interessanten  Grundgedanken:

erst einmal ist mir eine Begründung eingefallen, warum der Käfer es schaffen kann:

Betrachtet man die Position des Käfers nicht in cm seines Wegs, sondern als Winkel auf dem zu krabbelnden Umfang, so ist klar, dass bei stillstehendem Käfer dieser Winkel sich durch das Aufblasen des Ballons nicht ändert. Wenn der Käfer also krabbelt, verringert sich auf jeden Fall der Winkel zwischen Standpunkt und Ziel, und  kann sogar irgendwann zu Null werden ^A1.

^A1Anmerkung von Jörg Wiegels: Ob der zurückgelegte Winkel konvergiert und der Grenzwinkel unterhalb eines Vollkreises liegt, ist aber mit bloßem Auge nicht zu erkennen und muss rechnerisch geprüft werden. 
(z.B. wenn sich der Umfang des Ballons jeweils verdoppelt, schafft der Käfer den Vollkreis nicht.)

Ein wenig Mühe macht es schon, die Aufgabe auszurechnen, wenn man auf Integrale verzichten will oder muss.

Jojo S. schreibt: leider kann ich nur mit einer Näherungslösung beitragen:

Der Käfer braucht 22.025,4 Sekunden (6 Std 7 Minuten 5, 45 Sekunden) um den Ballon zu umrunden. 
Es funktioniert deshalb, weil mit jedem Schritt, den unser kleiner Käfer macht, der Anteil des Weges der vor ihm liegt kleiner wird. Damit wird auch die Zunahme durch das Aufblasen des Weges vor dem Käfer immer kleiner, da der Ballon ja gleichmäßig aufgeblasen wird, und sich somit auf den Weg vor und hinter dem Käfer verteilt. (was aber nicht in jedem Fall dazu führt, dass der Käfer die Umrundung auch schafft) 
Nimmt man an, der Ballon wird etwas aufgeblasen, dann läuft der Käfer ein winziges Stück, lässt sich der Weg vor dem Käfer berechnen mit: 
weg[t+1] = weg[t] - 1.0cm/s * delta_t + (weg[t]/(t * 10cm/s)) * 10cm/s * delta_t
mit weg[0] = 10 cm

so ergibt sich bei hinreichend kleinem delta_t obiger Wert (als obere Schranke).


Die untere Schranke lässt sich analog ermitteln, wenn erst der Käfer läuft und dann der Ballon aufgeblasen wird.

weg[t+1] = weg[t] - 1.0cm/s * delta_t  +  ((weg[t] - 1.0cm/s * delta_t) / (t * 10cm/sek)) * 10cm/s * delta_t
mit weg[0] = 10 cm

mit dieser Formel ergibt sich bei hinreichend kleinen delta_t 22.025,43 sek.

Die weiteren Fragen ergeben sich somit: 
Der Käfer läuft 220,254 m auf einer spiralförmigen Bahn, bis er "senkrecht"
über seinem Ausgangspunkt wieder ankommt. 

Auch Danae May geht das Problem systematisch an

Um die Sache erst mal etwas zu vereinfachen, nehmen wir mal an, dass der kleine süße Käfer immer seinen Zentimeter läuft und dann der Ballon plötzlich 10 cm größer wird, was sich dann immer wiederholt.

1s	2s	3s
+ 1 cm -> 1 cm = 1/10 des Ballons -> Ballon auf 20 cm -> 1/10 * 20 cm = 2 cm	+ 1 cm = 3 cm -> 3 cm = 3/20 des Ballons -> Ballon auf 30 cm -> 3/20 * 30 cm = 4,5 cm	+ 1 cm = 5,5 cm -> 5,5 cm = 11/60 des Ballons -> Ballon auf 40 cm -> 11/60 * 40 cm = 7,33 cm

Dieses Spielchen treibt man nun so lange, bis der zurückgelegte Weg so groß wie der aktuelle Umfang ist, der sich aus u = 10t + 10 berechnet.
Wenn man dazu ein kleines Programm schreibt, kommt man schnell zu einem Ergebnis von 12.367 Sekunden und einem Weg von 123.680 cm.
Die Rechnung hat bloß den einen Nachteil: dem Käfer wird dadurch ein nicht zu unterschätzender Vorteil verschafft, dass der Ballon sich nicht kontinuierlich, sondern nur jede Sekunde vergrößert.



Wenn man die Sache nun "andersrum" vereinfacht und annimmt, dass der Ballon sich erst vergrößert und der Käfer dann seinen Zentimeter läuft, kommt man zu folgenden Ergebnissen:

1 s 2 s 3 s 

1s	2s	3s
Ballon auf 20 cm + 1 cm -> 1 cm = 1/20 des Ballons	Ballon auf 30 cm -> 1/20 * 30 cm  = 1,5 cm+ 1 cm = 2,5 cm -> 2,5 cm = 5/60 des Ballons	Ballon auf 40 cm -> 5/60 * 40 cm  = 3,33 cm+ 1 cm = 4,33 cm -> 4,33cm=13/120 des Ballons

Wenn man hier nun weiterrechnet, bis der zurückgelegte Weg so groß wie der Umfang ist, kommt man auf 33.616 Sekunden und einen Weg von 336.171 cm.
Hierbei war der Käfer nun aber eindeutig in Nachteil, da er mehr laufen musste, als es bei einer kontinuierlichen Größenzunahme des Ballons der Fall gewesen wäre.



Da diese beiden Ergebnisse ja erheblich voneinander abweichen, habe ich die Schrittweite verändert und die Berechnungen so lange wiederholt, bis sich die Werte für nachheriges und vorheriges Aufblasen angenähert hatten:

Zeit - Schrittweite	vorher aufblasen		nachher aufgeblasen
	Zeit (s)	Entfernung (cm)	Zeit (s)	Entfernung (cm)
1s	33.616	336.170,6	12.367	123.681,5
0,1s	23.135,5	231.365	20.933,9	209.349
0,01s	22.135,7	221.367,2	21.915,5	219.165
0,001s	22.036,8	220.378,5	22.014,8	220.158
0,0001	22.033,3	220.343,8	22.031,1	220.321,7

Also braucht der Käfer 22.032 s für die Umrundung des Ballons, also 6 h, 7 min und 12 s.
Seine "Eigenkrabbelleistung" wäre s = v * t, also 22.032 cm.
Er bewegt sich dabei auf einer spiralförmigen Bahn.

Helge de Boer schreibt:

Weil ja das laufen eine stetige Bewegung ist und das Wachsen des Luftballons auch stetig ist, habe ich die einzelnen Schritte in Bruchteile von Sekunden aufgeteilt. Der Käfer hat eine Winkelgeschwindigkeit von (am Anfang) 1/10 Umfang pro Sekunde, nach einer Sekunde 1/20 pro Sekunde, nach 2 Sekunden  1/30 Umfang pro Sekunde, also:
 
v =360°/(10+10*t) 

Die Frage ist, wann er die 360° voll hat. Weil ich ja kein Mathematiker, sondern ein Ingenieur bin, habe ich ein kurzes Programm dazu geschrieben.

Weil Schritte von 1 s zu ungenau sind, habe ich 1/100 s  genommen, das war auch noch zu ungenau.
Schließlich habe ich 1/1000 s als Schrittweite genommen und das Ergebnis war eine Zeit von ungefähr 22036 s, das wären 6 Stunden, 7 Minuten und 16 Sekunden.

Er ist also 22027 cm gekrabbelt, also 220 m und 36 cm.
Der Käfer bewegt sich auf einer Art Spirale um den Mittelpunkt des Luftballons.


Ich bin sicher dass die absolute Lösung irgendwie mit einem tollen Integral bestimmt werden kann, aber was interessieren einen Ingenieur ein paar Sekunden, beziehungsweise Zentimeter bei solchen Dimensionen

Rolf Herrmann hat zu seiner Aufgabe auch verschiedene Lösungswege bereitgestellt:

Lösung 1:
Vorüberlegungen: 
Die Kurve, auf der sich der Käfer bewegt, liegt in einer Ebene. Er krabbelt ständig senkrecht zu einem Radius vom Ballonmittelpunkt aus. Durch das Aufblasen des Ballons wird er gleichzeitig auf einer Art Lift radial nach oben geführt,, er entfernt sich vom Ballonmittelpunkt.

Diese zweifache Bewegung des Käfers unterteilen wir im Sekundentakt in A) auf gleicher Höhe krabbeln, dann schlagartig "liften" oder B) zu Beginn des Taktes schlagartig "liften", dann krabbeln Der tatsächliche Weg liegt dann irgendwo dazwischen. (Punktiert)
Berechnet werden zunächst die in jeder Sekunde "zurückgelegten" Winkel, wobei der Käfer in jeder Sekunde 1 cm krabbelt und der Ballon im Umfang um 10 cm größer wird.

a1= = 1		a1= =
a2= =		a2= =
a2= =		a3= =
usw.		usw.
aN= =		aM= =
SUMME =		SUMME =

Nach einer Umrundung des Ballons muss die Summe der Winkel 2p erreichen. Da die beiden Reihen "harmonisch" sind, divergieren sie und erreichen somit auch den Wert 2p
.
Damit ist die erste Frage beantwortet: Der Käfer schafft die Ballonumrundung!
Die linke SUMME erreicht 2p für N = 12367, 
die rechte SUMME erst bei M = 33617. 
(Ergebnisse aus einem kleinen Computerprogramm oder fleißig addieren, 
eine Formel gibt es nicht)
Da es sich um Sekundenschritte handelt liegt die Umrundungszeit 
also zwischen 12367 Sekunden und 33617 Sekunden. 
(Mittelwert 22992 Sekunden = ca. 6 ½ Stunden)

Da der Käfer in jeder Sekunde 1 cm krabbelt, hat er insgesamt etwa 230 m zurückzulegen.

Da der Umfang des Ballons in jeder Sekunde um 10 cm zunimmt, hat er am Ende einen Umfang von ca. 2,3 km, der Durchmesser ist demnach etwa 730 m. 
Die Gesamtstrecke, die der Käfer im Raum zurücklegt, ist dann 365 m hoch und 230 m senkrecht dazu, macht nach Pythagoras etwa 431 m. (in viele Minidreiecke zerlegt)
(Alle Werte sind natürlich entsprechend der Einschachtelung nur grobe Näherungen!)

Wem diese Lösungen zu ungenau sind, der muss sich mit Elementen der höheren Mathematik befassen:

Lösung 2: von Rolf Herrmann

Da sich der Käfer in einer Sekunde 1 cm senkrecht zum Radius und um 5/p cm radial be-wegt, schneidet die Tangente (Geschwindigkeitsvektor) den Radius stets unter dem gleichen Winkel ( cot g = 5/p; g = 32° zwischen Radius und Bewegungsrichtung). Die einzige Kurve die diese Eigenschaft aufweist ist die logarithmische Spirale, im englischen Sprachraum auch equiangular spiral genannt. Da sie unendlich oft ihren Pol umrundet, kann der Käfer also einmal rundum kommen. 
Bahnkurve r(j) = 5/p . e ^{5/p . j}
r(0) = 5/p = 1,59, (Umfang 10 cm)
r(2p) = 5/p . e¹⁰ = 35056 (=350 m)

Zurückgelegter Weg = L(35056) - L(1,59)
= 41400 (= 414 m)
Krabbelweg = Projektion des Gesamtwegs auf eine Strecke senkrecht zum Radius =
41400 . sin g = 22025. (= 220 m)
Jeder Zentimeter Krabbelstrecke entspricht einer Sekunde, also 22025 Sekunden = 6 h 7'.

Lösung 3: von Rolf Herrmann

Zugang über die Infinitesimalrechnung:
Für den Radius gilt folgende Zeitabhängigkeit r(t) = 5/p + 5/p . t = 5/p . (1 + t) (*)
Für die radiale Geschwindigkeit erhält man v_r = dr / dt = 5/p.
Die Geschwindigkeit senkrecht zum Radius ist gegeben mit v_b = db / dt = 1 [cm/sec]; 
zwischen der Geschindigkeit v_b und der Winkelgeschindigkeit dj/dt besteht der Zusammen-hang db/dt = r . dj/dt und so erhält man dj = 1/r . dt. = dt. 
Durch Integration erhält man j = (**) , daraus die Zeit T zum Winkel 2p mit 
T= e¹⁰ - 1 = 22025 [sec] . Für die Krabbelstrecke erhält man daraus 220 m, der Endradius beträgt 350 m. Setzt man (**) in (*) ein erhält man die Bahngleichung r(j) = 5/p . e ^{5/p . j} der logarithmischen Spirale.

Auch Lex Bedijs  löste die Aufgabe im Wesentlichen über Integrale:

Beim ersten Blick auf die Aufgabe kann man den Eindruck gewinnen,  sie sei nicht lösbar, da der Umfang des Ballons schneller zu wachsen  scheint (10 cm/s) als der Käfer laufen kann (1 cm/s). 

Da ich mir dies allerdings nicht vorstellen konnte, habe ich zunächst  ein kleines Programm geschrieben, das eine Zeitschrittrechnung ausführt. 

Tatsächlich erhielt ich folgende Ergebnisse: 

Schrittweite	Gesamtdauer	Länge
0,1	20933.9	39349.8
0,01	21915.44	41195.23
0,001	22014.454	41381.39
0,0001	22024.3646	(nicht berechnet)

Diese Ergebnisse ermunterten mich, die exakte Lösung zu ermitteln. 

Es werden folgende Variable benutzt 

u   Umfang des Ballons 
r   Radius des Ballons 
t   Zeit 
j    Winkel bezogen auf Ballonmittelpunkt 
v    Geschwindigkeit des Käfers 
l    Länge der Spirale 
Die Größen du, dr, dt usw. sind die Differentiale der Größen u, r, t. 

Der Umfang u(t) des Ballons ist  
u(t) = 10 + 10 * t 

Daraus folgt für den Radius 
r(t) = 5/p * (t + 1) 

also 
dr/dt = 5/p 

Der Winkel ergibt sich aus 
dj = v/r(t) * dt 

dj = p/5 * 1/(t + 1) * dt 

Dies integriert ergibt 
j(t) = p/5 * ln(t + 1) 

Aufgelöst nach der Zeit t ergibt sich 
t = exp(j(t)*5/p) - 1 

Für eine ganze Umrundung (j(t) = 2*p) ist die Gesamtzeit also 
t = exp(10) - 1 = 22025.465 s 

Die Lösung aus der Zeitschrittrechnung weicht nur um ca 0.05 Promille ab. 

Die Lösungen für r und j lassen sich zusammenfassen. Dabei fällt die Zeit t heraus. 
r = 5/p * exp(5/p * j) 

Dies ist offensichtlich die Gleichung einer logarithmischen Spirale. 

Das Längendiffertial dl der Spirale ergibt sich zu 
(dl)² = (dr)² + (du)² 

dl/dt = (dr/dt)² + (du/dt)²  

dl/dt = (5/p)² + 1 

Die Länge der Spirale ist also direkt proportional zur Zeit. 
l = (5/p)² + 1 * t 

l = (5/p)² + 1 * (e¹⁰ - 1) 

l = 41399.84 cm 

Der Käfer muss natürlich nicht diese Strecke zurücklegen, sondern lediglich  diejenige die sich durch seine Geschwindigkeit ergibt. 

l = v * t 

l = 1 * (e¹⁰ - 1) 

l = 22025.465 cm 


Zusammenfassung der Lösung : 

1. Der Käfer schafft die Umrundung. 
2. Der Käfer braucht hierfür 22025.465 Sekunden. 
3. Der Käfer läuft dabei 22025.465 cm. 
4. Die Bahn ist eine logarithmische Spirale. 
5. Die Länge der Spirale beträgt 41399.84 cm. 

Christian Ege steuert noch eine Grafik zur Veranschaulichung bei:

Auswertung:

 [ aktuelle Aufgabe ]  [ zur 10. zurück ]  [ zur Hall of FAME ] 

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