Lösungen zur 12.   

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von der Schippe gesprungen

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Lösung zur Aufgabe 12-2.   

all you need is love

folgende Beziehungen sind zu entdeckenr: 

1. L muss um 1 oder 2 größer sein als N.
2. A und Y sind gegeneinander austauschbar.
3. U und D sind gegeneinander austauschbar.

Aus 2. und 3. folgt dann auch, dass, wenn es eine Lösung gibt, es davon mindestens 4 Permutationen geben muss.

Der Rest ist mehr oder weniger sinnvolles probieren:

Bei Verzicht auf die "6" gibt's nur nur diese Gruppe: 

    199      199     799     799
 +  720   +  724  +  120  +  124
 + 8334   + 8330  + 8334  + 8330
   9253     9253    9253    9253

Also gilt   LOVE = 9253. 

Eine komplette Liste der möglichen Lösungen, 
wenn man nur die "sechs" aus dem Ergebnis verbannt

133 + 450 + 2996 = 3579 133 + 456 + 2990 = 3579 144 + 675 + 3889 = 4708 144 + 679 + 3885 = 4708 177 + 342 + 6889 = 7408 177 + 349 + 6882 = 7408 177 + 354 + 6998 = 7529 177 + 358 + 6994 = 7529 199 + 720 + 8334 = 9253 199 + 724 + 8330 = 9253 255 + 906 + 3887 = 5048 255 + 907 + 3886 = 5048 277 + 310 + 6558 = 7145 277 + 318 + 6550 = 7145 277 + 340 + 6881 = 7498 277 + 341 + 6880 = 7498 288 + 516 + 7339 = 8143 288 + 519 + 7336 = 8143 299 + 630 + 8445 = 9374 299 + 635 + 8440 = 9374 355 + 607 + 4119 = 5081 355 + 609 + 4117 = 5081 355 + 610 + 4227 = 5192 355 + 617 + 4220 = 5192 355 + 820 + 4116 = 5291 355 + 826 + 4110 = 5291 377 + 142 + 6889 = 7408 377 + 149 + 6882 = 7408 377 + 154 + 6998 = 7529 377 + 158 + 6994 = 7529 377 + 210 + 6558 = 7145 377 + 218 + 6550 = 7145 377 + 240 + 6881 = 7498 377 + 241 + 6880 = 7498 377 + 824 + 6009 = 7210 377 + 829 + 6004 = 7210 377 + 982 + 6445 = 7804 377 + 985 + 6442 = 7804 399 + 516 + 8227 = 9142 399 + 517 + 8226 = 9142 399 + 715 + 8006 = 9120 399 + 716 + 8005 = 9120 433 + 150 + 2996 = 3579 433 + 156 + 2990 = 3579 433 + 706 + 1889 = 3028 433 + 709 + 1886 = 3028 499 + 725 + 8006 = 9230 499 + 726 + 8005 = 9230 533 + 720 + 1996 = 3249 533 + 726 + 1990 = 3249 533 + 941 + 2006 = 3480 533 + 946 + 2001 = 3480 544 + 620 + 3117 = 4281 544 + 627 + 3110 = 4281 588 + 216 + 7339 = 8143 588 + 219 + 7336 = 8143 599 + 316 + 8227 = 9142 599 + 317 + 8226 = 9142 599 + 624 + 8007 = 9230 599 + 627 + 8004 = 9230 599 + 630 + 8112 = 9341 599 + 632 + 8110 = 9341 599 + 672 + 8443 = 9714 599 + 673 + 8442 = 9714 622 + 783 + 1449 = 2854 622 + 789 + 1443 = 2854 622 + 843 + 1005 = 2470 622 + 845 + 1003 = 2470 633 + 740 + 2118 = 3491 633 + 748 + 2110 = 3491 633 + 780 + 2441 = 3854 633 + 781 + 2440 = 3854 644 + 175 + 3889 = 4708 644 + 179 + 3885 = 4708 644 + 520 + 3117 = 4281 644 + 527 + 3110 = 4281 644 + 758 + 3119 = 4521 644 + 759 + 3118 = 4521 644 + 790 + 3551 = 4985 644 + 791 + 3550 = 4985 644 + 857 + 3009 = 4510 644 + 859 + 3007 = 4510 644 + 981 + 3227 = 4852 644 + 987 + 3221 = 4852 655 + 307 + 4119 = 5081 655 + 309 + 4117 = 5081 655 + 310 + 4227 = 5192 655 + 317 + 4220 = 5192 655 + 941 + 3882 = 5478 655 + 942 + 3881 = 5478 699 + 230 + 8445 = 9374 699 + 235 + 8440 = 9374 699 + 524 + 8007 = 9230 699 + 527 + 8004 = 9230 699 + 530 + 8112 = 9341 699 + 532 + 8110 = 9341 699 + 572 + 8443 = 9714 699 + 573 + 8442 = 9714 722 + 683 + 1449 = 2854 722 + 689 + 1443 = 2854

733 + 406 + 1889 = 3028 733 + 409 + 1886 = 3028 733 + 520 + 1996 = 3249 733 + 526 + 1990 = 3249 733 + 640 + 2118 = 3491 733 + 648 + 2110 = 3491 733 + 680 + 2441 = 3854 733 + 681 + 2440 = 3854 733 + 851 + 2006 = 3590 733 + 856 + 2001 = 3590 733 + 905 + 1446 = 3084 733 + 906 + 1445 = 3084 744 + 658 + 3119 = 4521 744 + 659 + 3118 = 4521 744 + 690 + 3551 = 4985 744 + 691 + 3550 = 4985 788 + 901 + 6334 = 8023 788 + 904 + 6331 = 8023 799 + 120 + 8334 = 9253 799 + 124 + 8330 = 9253 799 + 315 + 8006 = 9120 799 + 316 + 8005 = 9120 799 + 425 + 8006 = 9230 799 + 426 + 8005 = 9230 822 + 643 + 1005 = 2470 822 + 645 + 1003 = 2470 833 + 751 + 2006 = 3590 833 + 756 + 2001 = 3590 833 + 925 + 1446 = 3204 833 + 926 + 1445 = 3204 844 + 657 + 3009 = 4510 844 + 659 + 3007 = 4510 855 + 320 + 4116 = 5291 855 + 326 + 4110 = 5291 877 + 324 + 6009 = 7210 877 + 329 + 6004 = 7210 877 + 910 + 5336 = 7123 877 + 916 + 5330 = 7123 933 + 541 + 2006 = 3480 933 + 546 + 2001 = 3480 933 + 705 + 1446 = 3084 933 + 706 + 1445 = 3084 933 + 825 + 1446 = 3204 933 + 826 + 1445 = 3204 944 + 681 + 3227 = 4852 944 + 687 + 3221 = 4852 955 + 206 + 3887 = 5048 955 + 207 + 3886 = 5048 955 + 641 + 3882 = 5478 955 + 642 + 3881 = 5478 977 + 382 + 6445 = 7804 977 + 385 + 6442 = 7804 977 + 810 + 5336 = 7123 977 + 816 + 5330 = 7123 988 + 701 + 6334 = 8023 988 + 704 + 6331 = 8023

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Lösung zur Aufgabe 12-3.   

Da sieht man nur noch Sterne 

Das ist zwar auch schon mindestens hundert Jahre alt, aber sehr hübsch. Zunächst lässt sich eine Reihe von Sternchen als Nullen identifizieren. Der Divisor muss ein Vielfaches von 125 sein, denn die letzte Ziffer z des Quotienten mal Divisor ergibt offenbar eine auf drei Nullen endende Zahl a*1000 = a * 2³ * 5³, und die erste Nachkommastelle des Quotienten mal Divisor kann nicht auf 0 enden! Nun ergibt sich daraus a=5 und z=8, womit 625 als Divisor feststeht und sich die noch fehlenden Ziffern - alles 1-en! - des Quotienten unmittelbar ergeben. Die rekonstruierte Aufgabe lautet somit 631938 : 625 = 1011,1008. 

631938 : 625 = 1011,1008
625
  693
  625
   688
   625
    630
    625
      5000
      5000
         0
 

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Lösung zur Aufgabe 12-4.   

keine Kernspaltung

Auch ein Oldie, der sich mit ähnlichen Techniken wie oben lösen lässt. 
Setzt man a := ATOM, so lässt sich die Aufgabe vereinfacht schreiben als a^2 = b*10^4+a, also a(a-1) = b*2^4*5^4, und weil a gerade und (a-1) ungerade sein muss bzw. umgekehrt, gilt a=c*2^4 und a-1=d*5^4 bzw. umgekehrt a=d*5^4 und a-1=c*2^4, wobei c*d=b ist. 
Und weil 5^4 (=625) bei Division durch 2^4 (=16) den Rest 1 lässt, lässt 15*5^4 dabei den Rest 15. 625 ist zu klein für ATOM, also ergibt sich als Lösung: ATOM-1 = 15*5^4, also ATOM = 9376. 

9376 * 9376
   84384
    28128
     65632
      56256
   87909376

Man nennt solche Zahlen, deren Quadrat auf eben diese Zahl endet, "automorph". Es gibt genau zwei 10-stellige derartige Zahlen, nämlich 1.787.109.376 und 8.212.890.625. Jedes Endstück einer dieser Zahlen ist damit natürlich ebenso automorph. Da vereinbarungsgemäß keine Zahl in einem Kryptarithmus mit 0 beginnen darf, gibt es neben ATOM*ATOM = ...ATOM nur noch einen weiteren im selben Stil, der (ohne Sternchen!) eindeutig lösbar wäre,  nämlich CATHY*CATHY = ...CATHY. 

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Lösung zur Aufgabe 12-5.   

Junge, Junge...

Möglichkeiten der Verteilung von 2 Geschlechtern unter 3 Kindern:
(J: Junge, M: Mädchen)

M M M     J J J
M M J     J J M
M J M     J M J
J M M     M J J

Es gibt nur diese 8 Verteilungen

1. 3 Kinder, 2 Jungs:
   Möglichkeiten, sortiert nach Alter: J J J,   J J M,   J M J,   M J J 
   Also: Chance ist 1/4.
    [Komisch, wir sind 3 Jungs, Freunde von mir auch:)].
2. 3 Kinder, die beiden Ältesten sind Jungen:
   Möglichkeiten, sortiert nach Alter: J J J,   J J M
   Hier ist Wahrscheinlichkeit 1/2.
3. 3 Kinder, das Zwillingspaar sind Jungen:
   ( J J ) M,  oder M ( J J )  oder  ( J J ) J = J ( J J )
   Wahrscheinlichkeit 1/3
   
   eine nicht ganz korrekte Analyse des Problems ist dann:
   Möglichkeiten, sortiert nach Alter: ZZJ, ZZM, JZZ, MZZ (Z = Zwilling)
   Wahrscheinlichkeit 1/2

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Lösung zur Aufgabe 12-6.   

Damenkränzchen

2 Lösungen: 
B4, D10, F6, H2, J8  und  B8, D2, F6, H10, J4  
(Die beiden Lösungen sind spiegelsymmetrisch. Sofern die Schachdamen unterscheidbar wären, ergeben sich weitere permutative Lösungen, was einen hier allerdings nicht wesentlich schlauer macht.)

Lösungsansatz: 
Nach einigem Herumprobieren wird eines schnell klar. Eine Dame deckt das Feld, auf dem sie steht und den ersten Felderkranz (8 Felder) ab. Der zweite Felderkranz ist löchrig: Alle Felder, die vom Standpunkt der Dame über einen Rösselsprung erreichbar sind, bleiben ungedeckt. Also sollten die Damen so aufgestellt werden, dass diese Felder von anderen Damen abgedeckt werden oder sich ausserhallb des Spielfeldes befinden. Damit ergibt sich, dass die Damen auf den jeweils gerade Spalten und Reihen plaziert werden müssen - und das möglichst gutverteilt.

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Lösung zur Aufgabe 12-7.   

Katzenzimmer

Tja, hängt nun die Katze an ihrem Schwanz ? Ich meine Ja

Dann wären es 4 Katzen im Zimmer.

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Lösung zur Aufgabe 12-8.   

Zahlenreigen

Es sei A die erste Ziffer und m der 5-stellige Rest der Zahl. Für k=2, 3, ... , 9 
soll nun gelten: k*(A*10^5+m) = 10*m+A, also (k*10^5-1)/(10-k) = m/A. 
Die Zahl k*10^5-1 ist 6-stellig, m nur 5-stellig. 

Für welche k also ist der Bruch links entsprechend zu kürzen? 

Viel gibt es da wirklich nicht zu probieren, und man findet nur für k=3 etwas Passendes: 299999/7 = 42857/1= 85714/2. 

Es gibt also nur die beiden Lösungen 

      
     1 4 2 8 5 7  * 3  =  4 2 8 5 7 1
          
     2 8 5 7 1 4  * 3  =  8 5 7 1 4 2

Die Zahl 142857 ist eine Lieblingszahl aller Unterhaltungsmathematiker, wie David Wells ganz richtig in seinem "The Penguin Book of Curious and Interesting Numbers" schreibt. Es ist die Dezimalperiode von 1/7, und wenn man sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert, erhält man jeweils eine zyklische Vertauschung der sechs Ziffern. 

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Lösung zur Aufgabe 12-9.   

Patchwork

Es war nicht einmal nötig, eine Grafik zu basteln, gleich 2 Beispiele für reine ASCII-Teppiche:

 _ _ _ _ _ _ _ _
|_ _            |
|   |_ _        |
|       |_ _    |
|    _ _ _ _|   |
|   |_ _        |
|       |_ _    |
|           |_ _|
|_ _ _ _ _ _ _ _|

Und wieder zusammensetzen:
    
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|   |_ _            |
|       |_ _        |
|    _ _ _ _|_ _    |
|   |_ _ _ _ _ _|   |
|       |_ _        |
|           |_ _    |
|_ _ _ _ _ _ _ _|_ _|

Da passt der 1x6-Streifen genau hinein.

O O O O O O O O                
X X O O O O O O                    X X O O O O O O O O 
X X X X O O O O                    X X X X O O O O O O
X X X X X X O O                    X X X X X X O O O O
X X O O O O O O   + N N N N N N  = X X N N N N N N O O
X X X X O O O O                    X X X X O O O O O O
X X X X X X O O                    X X X X X X O O O O
X X X X X X X X                    X X X X X X X X O O

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Lösung zur Aufgabe 12-10.   

Öko-Party

M=38, also A=21, also B=64. 
Somit hat unser Mann 64 Bananen, 38 Mangos und 21 Ananas gekauft. 

Die Aufgabenstellung in Gleichungen ausgedrückt lautet:

(1) B + M + A = 123 
und (2) 5/3 * B + 29/6 * M + 71/9 * A = 456

Folgende Überlegung:
Der Gesamtpreis ist ganzzahlig; die Einzelpreise enthalten Drittel, Sechstel und Neuntel von Euros. Drittel muss ich mit weiteren Dritteln "auffüllen", um ganze Zahlen zu erhalten.
Sechstel können weder mit Drittel noch mit Neuntel "ausgeglichen" werden, sondern müssen mit einem weiteren Sechstel zu einem "vollem" Drittel aufgefüllt werden. Ebenso muss jedes Neuntel mit einem weiteren Neuntel zu einem Drittel ergänzt werden. Ergo müssen Mangos paarweise und Ananas in Tripletts eingekauft werden.

Setze also m = M/2 und a = A/3 und erhalte:

in (1) B + 2 * m + 3 * a = 123 | /3
1/3 B + 2/3 m + a = 41

und 

in (2) 5/3 * B + 29/3 * m + 71/3 * a = 456 | *3
5 * B + 29 * m + 71 * a = 1368

Aus (1) erkennt man, dass B und m sich dahingehend beeinflussen, welche Lösungen möglich sind. Ist B durch 3 teilbar, so muss es auch m sein. ist B-1 durch 3 teilbar, so muss es auch m-1 sein. Und letztendlich muss, wenn B-2 durch 3 teilbar ist, es auch m-2 sein. a ist da unabhängiger.
Mit dieser Erkenntnis im Gepäck gelangt man beim Herumspielen mit den beiden Gleichungen einigermaßen zügig zur oben genannten Lösung.
.

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Auswertung:

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