Lösungen zur 13.   

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( 1 + 1 + 1)! = 6
2 + 2 + 2 = 6	2 * 2 + 2 =6
3 * 3 - 3 = 6	(3 + 3 - 3)! = 6	3! + 3! - 3! = 6
+ + = 6	4 + 4 - = 6	4! * 4! : 4=6
5 : 5 + 5 = 6	(5 - 50 - 50)! = 6
6 * 6 : 6 = 6	6 + 6 - 6 = 6
7 - 7 : 7 = 6	7 x 70 - 70 = 6
( 8 + 8:8)! = 6	8 - 8 + 8 = 6	+ + = 6
8 - 80 - 80 = 6	(8 : 8 + )! = 6
9 - 9 : =6	* - = 6	(9 - 9 + )! = 6
! + 9 - 9 = 6
( 10 - 10 : 10)!  = 6

Addition: +
Subtraktion: -
Division: :
Multiplikation: *
Fakultät: a! = a *  a-1 * ....3 * 2 * 1

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Kryptografie

EINS  EINS  EINS  VIER	1506 1506 1506 4518	1972 1972 1972 5916	2508 2508 2508 7524	3012 3012 3012 9036
BERUF BERUF BERUF RENTE		24768 24768 24768 74304		29873 29873 29873 89619

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Diese Aufgabe ist auch eines der Puzzles im Spiel „The 11th Hour“. Eine Lösung gibt es offensichlich erst nach 40 Zügen. 
(Dabei werden allerdings die Regeln des Schachs insofern missachtet, als dabei 
keine abwechselnden Züge von Weiß und Schwarz durchgeführt werden. )

Unter dem Namen "Crazy Knights" ist dieses Spiel übrigens auch käuflich zu erwerben. 
Am einfachsten löst man es, wenn man sich alle möglichen Züge in einer übersichtlichen Struktur aufschreibt, eine Methode, die auf H.E. Dudeney zurück geht: 

Und nun hat man nur noch ein ganz einfaches Rangierproblem zu lösen! Man 
sieht jetzt auch, dass die beiden Felder B2 und D1 überhaupt nicht benötigt 
werden. 

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Sei M₀ und F₀ die Anzahl Männer und Frauen zu Beginn und M₁ und F₁ die Anzahl 
der Männer und Frauen die an der ersten Haltestelle ein- bzw. aussteigen. 
Es ergibt sich dann ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten. 

Beginn : 

(1) 3 x M₀ = F₀ 

Erste Haltestelle : 

(2) 4 x M₁ = F₁ 

Nach der ersten Haltestelle : 

(3) 2 x (M₀ + M₁) = F₀ – F₁ 

Nach der zweiten Haltestelle : 

(4) 3 x (M₀ + M₁ – 2) = F₀ – F₁ + 1 

Daraus ergibt sich schnell : 

Männer zu Beginn : M₀ = 6 
Frauen zu Beginn : F₀ = 18 
einsteigende Männer an der ersten Haltestelle : M₁ = 1 
aussteigende Frauen an der ersten Haltestelle : F₁ = 4 
aussteigende Männer an der zweiten Haltestelle : 2 
einsteigende Frauen an der zweiten Haltestelle : 1 

Das ergibt zum Schluss 5 Männer und 15 Frauen in der Bahn. 

 

Station	Frauen	Männer	Gesamt
Ausgangssituation	18	6	24
nach dem 1. Halt	14	7	21
nach dem 2. Halt	15	5	20

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Vorsicht Scherzaufgabe!
Die Leine ist 10 Meter lang und hängt 5 Meter durch, damit haben wir die Leine halbiert und der Abstand ist Null.
(Schließlich wollten wir bei den Aufgaben ja ohne komplizierte Formeln auskommen)

Trotzdem noch ein wenig Theorie:

Kettenlinie : Ein vollkommen biegsamer, schwerer, an zwei Punkten aufgehängter Faden nimmt im Gleichgewicht die Form der Kettenlinie an.

Gleichung einer Kettenlinie : 

y = a * cosh(x/a) 
L = 2 a * sinh(x/a)  

also 

5 = a * cosh(d/a) – a 
10 = 2 a * sinh(d/a) 

Unbekannt sind d (halber Hausabstand) und a. Bekannt sind L (10m) und die 
Differenz von y für x=0 und x=d (5m). Nach etwas Umformen ergibt sich die 
erstaunlich einfache Gleichung 

exp(d/a) = 1 

aus der natürlich d=0 folgt. 

Die Häuser stehen also direkt nebeneinander. 

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(Ich gehe mal in der Formulierung davon aus, dass die Zwillinge Brüder sind.)
Die Frage würde dann lauten: "Was würde dein Bruder antworten, wenn ich ihn fragen würde, ob der Weg rechts zur Tankstelle führt?" 
Lautet die Antwort: "Ja, der Weg führt zur Tankstelle" , dann fahre ich links, lautet die Antwort: "Nein, der Weg führt nicht zur Tankstelle" , dann fahre ich rechts. 
Begründung: 
Richte ich meine Frage an den Wahrheits-Bruder, so gibt mir dieser die falsche Antwort sei-nes Lügen-Bruders.
Richte ich meine Frage an den Lügen-Bruder, so antwortet mir dieser mit dem Gegenteil der richtigen Antwort seines Wahrheitsbruders, gibt mir auch die falsche Antwort.
Wen immer ich frage, ich erhalte stets die falsche Antwort und richte mich danach!

oder ganz kurz und knapp:

Wohin würde mich dein Bruder schicken? 
Damit kommt immer eine Lüge raus.

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Es ist klar, dass eine Rautenseite gleich dem Radius des Kreises ist (Parallelverschiebung). Der Radius ist aber Umfang / 2 * = 5 m. (wobei der Umfang des Kreises mit 31, 4 15926536 m ziemlich genau das 10-fache von ist)

Also ist der Umfang der Raute 4 * 5 m = 20 m.

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Mit folgenden Augenzahlen des Würfels klappt's:

1, 2, 3, 4, 6, 10 (Augensumme = 26 = gerade)

	3
1	6	2	10
	4

Wurf 1	6 + 10	= 16
Wurf 2	2 + 4 + 10	= 16
Wurf 3	1 + 2 + 3 + 10	= 16
Wurf 4	1 + 2 + 3 + 4 + 6	= 16

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Der Zahl x des Nachtwächters, aus der der heimwärts strebende Bürger seine Losung errechnet, ist aus mathematischer Sicht nichts anderes als die Anwendung einer Funktion f: x ® f(x). 
Und diese Funktion ist gesucht. 
Mit den ersten drei Angaben wird eine lineare Funktion suggeriert, stimmt aber nicht. 

Dem Aufgabensteller schwebt sicher eine einfache Funktion vor, aber es gibt im Prinzip unendlich viele Funktionen über den natürlichen Zahlen, die die Zahlenpaare (28|14), (16| 8) und (8|4) enthalten und für f(12) einen anderen Funktionswert als 6 liefern. 

Nun ist also die einfachste Zuordnung gesucht, schließlich sollen die Einwohner ja ohne große Komplikation durch das Stadttor durch kommen.

Und was liegt da nicht näher als die Leute nur die Anzahl der Buchstaben nennen zu  lassen ;-)) 

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Auswertung:

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