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Lösung der 21.    vom 3.12.2001

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Lange hat es gedauert, aber jetzt habe ich es schon einmal geschafft, die Beispiellösung von Johann Moll bekanntzugeben. (Es werden aber noch 2 weitere lösungen folgen)

die Fragen:

• Man beschreibe diese Fläche und gebe für s = 10 Werte für x und y an, für die gilt: 
  (i) Jeder Punkt der Fläche ist auch Punkt des durch die drei Pflöcke bestimmten Dreiecks
  (ii) Der Flächeninhalt ist maximal

• Man berechne diesen Flächeninhalt.

• Man entscheide, ob die gefundene Lösung eindeutig 
  

	Löst man den Mechanismus im Punkt D, erkannt man unschwer, dass jeder Endpunkt eines Doppelhebels sich auf einem Kreisring um seinen Fixpunkt bewegt.  Die Radien sind r = MAX (x-y ; 0) und  R = x + y.  Die gesuchte Fläche kann also als Durchschnitt der drei Kreisringe beschrieben werden.
R = x + y kann maximal die Höhe h des Dreiecks ABC erreichen, da sonst die Fläche außerhalb des Dreiecks geriete.  Damit die Fläche maximal wird, muss andererseits  r = x - y die Länge AA' haben, denn wenn der Doppelhebel A am nächsten ist,  also "y liegt auf x" bzw. D = A', dann müssen die Hebel in B bzw. C gerade maximale Länge, nämlich  x + y = h haben.  x - y ist laut Zeichnung h - h'.

Mit Pythagoras erhalten wir

h = / 2 * s     (Dreieck C C'' B)

h' = / 2 * s     (Dreieck C' C''' B)

h - h' = ( - ) / 2 * s

Wir erhalten 
x = (2 * - ) / 4 * s     und     y = / 4 * s

Die zu berechnende Fläche wird begrenzt durch drei Kreisbögen der Kreise um die Eckpunkte mit Radius x + y = h, einer davon in der Zeichnung: A'C''B'.

Wir berechnen zwei Flächen, deren sechsfache Summe wir vom Inhalt des Dreiecks ABC subtrahieren.

1. Fläche: C''' B' P            2. Fläche: P B' B

Berechnung 1. Fläche:    C''' B' P

Es gelte C''' = (0,0),   p = C'''P. 

Um p bestimmen zu können benötigen wir h'' = C''C'''

Da A'B'C' konzentrisch in ABC liegt, ist h'' = (h - h') / 2 (s. Teilung 2:1 der Seitenhalbierenden)

h'' = ( - ) / 4 * s. 

Der Winkel PBB' ist  / 6 und wir erhalten

s / 2 - p = h'' * COT ( / 6) und schließlich p = (1/2 - ( - ) / 4 * COT ( / 6)) * s

Wir integrieren den Kreis um C mit Radius h von 0 nach p:

Kreisgleichung: x² + (y - h)² = h². 

Den Flächeninhalt erhalten wir durch das bestimmte Integral

G = INTEGRAL(0; p;  ( h - h² - x²) * dx) und nach einigen Substitutionen folgt

G = h * a - h² / 2 * ( p / h *  1 - (p / h)²  ) + ARCSIN (p / h)

In Zahlen: 
1. Fläche: C''' B' P            G = 0,941460861

Berechnung 2. Fläche: P B' B

Geradengleichung: y = - / 3 * x + / 6 * s

Den Flächeninhalt erhalten wir durch das bestimmte Integral

H = INTEGRAL(p; s / 2; (- / 3 * x + / 6 * s) * dx) 

H = - / 6 * s² / 4 + / 6 * s² / 2 + / 3 * p² / 2 - / 6 * s * p

In Zahlen: 
2. Fläche: PB'B           H = 0,546789574

Setzen wir den Inhalte des Dreiecks 
ABC = F = s * h / 2 
so folgt für die gesuchte Fläche A aller Punkte D:

Dreiecksfläche F = 43,30127019

Gesuchte Fläche A = F - 6 * ( G + H)

In Zahlen: