denk mal - Knobelaufgaben 2. Halbjahr 2002

DENK m a l
+ Runde 2002 +

mit Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik und unterschiedlich im Schwierigkeitsgrad

Das Knobeljahr 2002 ist abgeschlossen- bitte keine Lösungen mehr einsenden.

Für die großen Denker war auch im Jahr 2002 eine

eingerichtet,
und drei mal konnte der * * * * * *

gekürt werden!

Zur Bewertung war ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert, es reichte nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!
20. Aufgabe
Aufgabe 20 (die letzte für 2002): Weihnachtszeit
Unser Weihnachtsbaum wurde festlich geschmückt mit roten, gelben, orangenen und blauen Kugeln und silbernen Girlanden. Längs jeder der 11 Girlanden hängen 4 bzw. 3 Kugeln verschiedener Farbe. Bei drei der Kugeln ist die Farbe angegeben. Die Farben der übrigen 13 Kugeln gilt es zu bestimmen ! von Rolf Herrmann Lösung
Zusatzaufgabe zum Jahreswechsel (diese Aufgabe kann, muss aber nicht gelöst werden) Bestimme die Zehntausender-Ziffer von 2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ sowie die Anzahl der Ziffern dieser Zahl! von Rolf Herrmann - dem wir so viele schöne Aufgaben zu verdanken hatten

19. Aufgabe

Aufgabe 19 vom 25.11.2002: Der ASW-Test

"So, Sie haben also angeblich telepathische Kräfte, wie? Können Sie sich überhaupt vorstellen, wie viele Menschen das von sich glauben? Können Sie nicht. Aber ich werde Ihnen sagen, wie das in unserem Institut läuft. Denn Zeit ist Geld."
Nach dieser einschüchternden Vorrede des Versuchsleiters konnte der Kandidat nur stumm nicken.
"Sie kennen die fünf ASW-Symbole?"
"Natürlich. Ein Kreuz, ein Quadrat, ein Dreieck, ein Kreis und ein Wellenmuster."
"Schön. Der Computer vor mir erzeugt zufällig jeweils eines dieser Symbole. Ich konzentriere mich darauf, und Sie sollen mir dann das Symbol nennen. Soweit klar?"
"Sicher. Ich habe so einen Test schon einmal gemacht."
"Was Sie nicht sagen! Und wie hoch war Ihre Erfolgsquote dabei?"
"Das weiß ich leider nicht mehr genau, aber ich habe auf alle Fälle mehr als die Hälfte
aller Symbole richtig erkannt."
"So, so. Mehr als die Hälfte, wie? Passen Sie auf. Sie bekommen von uns pro richtig
erkanntem Symbol fünf Euro ausbezahlt, in bar. Aber: für jeden Fehler müssen Sie bezahlen! Und zwar kostet Sie der erste Fehler 1 Euro, der zweite 2 Euro, der dritte 3 und so weiter. Wenn Sie versagen, kann Sie das also teuer zu stehen kommen. Hier ist Ihr Vertrag. Unterschreiben Sie, wenn Sie das riskieren wollen."
Der Kandidat studierte sorgfältig den Vertrag. "Hier steht aber nicht, wie viele Durchgänge
der Test hat. Wie viele Symbole wird der Computer denn produzieren?"
Der Versuchsleiter sagte ihm die Zahl, und der Kandidat unterschrieb.
Und obwohl er schließlich exakt zwei Drittel der Symbole korrekt erraten konnte, ging er doch leer aus, aber wenigstens musste er auch nichts bezahlen.
Wie viele Durchgänge hatte der Test?
(PS: für alle, die sich mit der Aufgabe grenzenlos unterfordert fühlen, gibt es demnächst die Profiecke)

eingesandt von Franjo - vielen Dank

Lösung

18. Aufgabe

Aufgabe 18 vom 11.11.2002: Krabbelkäfer Kasimir und das Käferkarussell

In Käfertal war Jahrmarkt und Krabbelkäfer Kasimir war natürlich auch dabei. Ihn interessierte besonders das Karussell, bei dem in einem Zehn-Zentimeter-Quadrat ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenkante von 5 cm im Uhrzeigersinn über die Ecken "abrollte".

Er krabbelte hinein und sein Platz war, wie in der Skizze zu sehen, auf einem Drittel der Dreieckshöhe. Die beiden anderen Sitze waren unbesetzt. Und los ging’s. Immer im Uhrzeigersinn rund um die Quadratseiten. Die Karussellrunde endete, wenn der Anfangszustand wieder erreicht war.

Welche Wegstrecke legt eine Ecke des Dreiecks während einer Karussellrunde zurück?
Welche Strecke hat Kasimir dabei zurückgelegt ?

in Gedenken an Rolf Herrmann, Okt.2002

Lösung

17. Aufgabe

Aufgabe 17 vom 28.10.2002: Zahlenlogik

Um dem Club der Logiker beitreten zu können, muß jeder Kandidat eine Zahl zwischen 1 und 50 nur mit ja-nein-Fragen herausfinden. Mathias ist ein aufstrebender Logiker und versucht es mit folgenden Fragen:

Ist die gesuchte Zahl größer als 25?
Ist die gesuchte Zahl durch 2 teilbar?
Ist die gesuchte Zahl durch 3 teilbar?
Ist die gesuchte Zahl durch 5 teilbar?

Nachdem er die Antworten erhalten hatte überlegte er kurz und sagte dann: "Ich habe noch nicht genügend Informationen. Ist die gesuchte Zahl eine Quadratzahl?" Die Antwort war "Nein." Damit konnte Mathias die richtige Antwort nennen.

Welche Antwort gab Mathias?

Zusatz: Mathias brauchte genau 5 Fragen um seine Zahl zu erraten.
Gibt es Möglichkeiten, mit 4 geschickten Fragen jede der Zahlen 1 bis 50 zu erraten?

eingesandt von Ralf Leipe - vielen Dank

Lösung

16. Aufgabe

Aufgabe 16 vom 14.10.2002: Fairness

"Lass uns auswürfeln, wer den Schampus bezahlen muss", schlug Gerhard vor.
"In Ordnung", sagte Joscha. "Hier sind zwei gewöhnliche Würfel und ein Becher. Ich würfele jetzt so lange, bis die Würfel eine 6 oder 7 als Summe ergeben. Bei einer 7 zahlst du, bei 6 ich."
"Blödsinn. Glaubst du etwa, ich kann nicht rechnen? Die Chance, dass du dann gewinnst und
ich bezahlen muss, ist doch viel größer!"
"So viel größer nun auch wieder nicht, aber - na gut. Dann nehmen wir eben 7 und 8. Bei einer 7
zahlst du, würfele ich aber zuerst eine 8, zahle ich."
"Vergiss es! Ich falle nicht darauf herein. Es ist doch genau wie mit 7 und 6."
"Dann machen wir's eben interessanter. Der eine bezahlt, wenn zuerst ZWEIMAL die Summe 7
erschienen ist, der andere, wenn sowohl die 6 als auch die 8 gewürfelt wird, je nachdem, was
zuerst passiert. Und damit du nicht wieder gleich losmeckerst, werde ich bezahlen, wenn zuerst
die zweite 7 gewürfelt wird. Oder ist es dir anders herum etwa lieber?"
"Hmm. Ich habe zwar kein gutes Gefühl dabei, aber - in Ordnung. Wirf !"
Und Joscha warf. Zuerst eine 3, dann eine 7, dann eine 10, dann eine 8 - jetzt wurde es
spannend - und dann erschien - noch eine 7!
"Ha! Du musst zahlen, mein Lieber. Da hast du dich wohl verrechnet!" triumphierte Gerhard.
Und Joscha zahlte - grummelnd: "Von wegen verrechnet! Pech war's, einfach nur Pech ..."

Wie groß genau aber war die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joscha dieses Spiel
verlor?

eingesandt von Franjo Schulte - vielen Dank

Lösung

15. Aufgabe

Aufgabe 15 vom 30.09.2002: Schwämme
.
Zum Aufwärmen:
Wir erzeugen einen Flächenschwamm aus einem Quadrat mit der Kante 1 LE. Man kann das Quadrat in neun gleichgroße Quadrate zerlegen und das mittlere Quadrat entfernen. Es bleiben acht Quadrate.

Mit jedem dieser Quadrate machen wir dasselbe, und dies immer wieder.
Lochmuster1

Wie viel Schwammfläche bleibt übrig nach zehnmal Mittelquadrat(e) entfernen?
Wie viel Schwammfläche bliebe übrig, wenn wir gar nicht mehr aufhörten, Mittelquadrat(e) zu entfernen?
Wie lang ist der jeweilige Rand der durchlöcherten Fläche?

Jetzt wird’s ernst:
Wir erzeugen einen Raumschwamm aus einem Würfel mit der Kante 1 LE. Man kann den Würfel in 27 gleichgroße Würfel zerlegen und jetzt von vorn nach hinten, von rechts nach links und von oben nach unten die jeweils mittleren Würfel im Innern entfernen. Der Restkörper kann man sich aus 20 kleineren Würfeln zusammengesetzt denken..
Mit jedem dieser 20 Würfel machen wir dasselbe, und dies immer wieder
Wie viel Schwamm-Raum bleibt übrig nach zehnmal Würfel entfernen?
Welche Oberfläche (auch im Inneren) hat der Schwammwürfel?
Wie viel Schwamm-Raum bliebe übrig, wenn wir mit dem Löcher-Puhlen gar nicht mehr aufhören würden?

eingesandt von Rolf Herrmann - vielen Dank

Lösung

14. Aufgabe
Aufgabe 14 vom16.9.2002: Umbauprogramm 1. Teil:
Bei einem quadratischen Schwimmbecken stehen an allen vier Ecken je ein Baum. Doch die Badefläche ist der FDP zu klein, sie möchten expandieren, so soll die Wasserfläche um 1/3 vergrößert werden. Die Grünen legen aber Wert darauf, dass die Bäume stehen bleiben, und die SPD möchte aus Gründen der Optik die Quadratische Form erhalten, und die CDU besteht aus Kostengründen darauf, die vorhandene Wasserfläche zu integrieren.
Wie kommt es zu einem Parteiübergreifenden Konsens, und an welcher Stelle der neu entstandenen Wasserfläche stehen die Bäume? 2. Teil: Nachdem die Umbaumaßnahmen erfolgreich abgeschlossen sind, reiben sich zwar die Parteien die Hände, haben aber (wieder mal) die Rechnung ohne die Bürger gemacht. Diese nämlich wollen sich mit der Lösung aus äsethischen Gründen nicht zufrieden geben, und strengen daher einen Volksentscheid an . Die optische Komponente soll verbessert werden, außerdem meint man, die Wasserfläche könne schließlich um weitere 50% größer sein. Natürlich ist das Geschrei bei den Parteien groß, hatte man doch ebenfalls berechtigte Gründe für die eigenen Vorgaben (siehe Aufgabe Teil 1) vorgebracht. Aber die Macht geht nun mal vom Volke aus (wenigsten theoretisch). So geht man hin und vergrößert das Schwimmbad erneut. Diesmal um weitere 50%, lässt die Bäume stehen, behält sogar die quadratische Form bei; nur die CDU muss leider von ihrer Maximalforderung, die vorhandene Wasserfläche vollständig zu integrieren, abrücken. Wie viel Prozent der Wasserfläche nach dem 1. Umbau konnte nicht wie von der CDU gefordert in die endgültige Form integriert werden. eingesandt von Herbert Nell - vielen Dank Lösung

13. Aufgabe

Aufgabe 13 vom 2.9.2002: Altersbeziehungen

Sam saß gerade an seinem Schreibtisch, als Joe eintrat. Eine Menge zerknülltes Papier lag um seinen Stuhl herum.
"Versuchst du etwa, Jack's Hausaufgaben zu lösen?" fragte Joe. "Die Kinder müssen heutzutage schon ziemlich gut sein, nicht wahr?"
"Nicht doch, es geht um etwas, das ich selbst herausgefunden habe, eine wirklich erstaunliche Sache," antwortete Sam. "Wenn man die Nummer unseres Hauses zu dem Produkt aus dieser Nummer und Jack's Alter addiert, so erhält man gerade das Doppelte vom Quadrat
meines Alters. Wenn man jedoch stattdessen Jack's Alter zu dem genannten Produkt addiert, so erhält man das Doppelte vom Quadrat des Alters meiner Frau!"

Wie alt sind demnach Sam, seine Frau und ihr Sohn Jack?
(Aufgabe von J.A.H. Hunter "Challenging Mathematical Teasers")

eingesandt von Franjo Schulte - vielen Dank

Lösung

Besonders freue ich mich, dass ich an dieser Stelle auch Aufgaben einfügen konnte,
die mir zugeschickt worden sind.

Für die großen Denker war auch im Jahr 2002 eine eingerichtet,
in der Ihr unter Eurem Namen oder einem Pseudonym geführt wurdet,

bis am Jahresende

drei mal der

* * * * * *

gekürt war !

Stünden der Geisteswissenschaft wie der Mathematik zwei oder drei wesentliche Gesetze zur Verfügung, dann könnte sie vorankommen.

G. Flaubert (1821 - 1880)

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Arbeitet und suchet, damit ihr findet und nicht in Nachbetung verfallet.

Jakob Steiner (1796 - 1863)

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