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+ + + 2002:  des Rätsels Lösung + + +

Lösung der 10.    vom 10.6.2002

Vorbemerkung: 
Die Aufgabe verführt dazu, den Lösungsweg zu programmieren, oder zumindest Excel zur Hilfe zu nehmen. Aber, wer keine Angst vor einer stattlichen Anzahl Ungleichungen hat, kommt auch ohne diese Hilfsmittel zurecht.

Wenn von Dritteln, Fünfteln und Siebteln die Rede ist, ist nicht automatisch eine ganzzahlige Aufteilung gemeint. 

Eine wichtige Rolle spielen die Relationszeichen
zur Veranschaulichung wird 21 gedrittelt:
1.Drittel:  1 bis  7, d.h.  0 <  z £    7
2.Drittel:  8 bis 14, d.h.  7 < z £  14
3.Drittel:  15 bis 21, d.h. 14 <  z £  21

Lösung von FranjoSchulte
Schon wieder so ein mühsames Ding! - dachte ich zuerst, aber das täuscht wohl. 

Es seien F die Anzahl aller Teilnehmer am Start und P die Position von Pedro nach dem Prolog. 

Geht man nun den Text durch, ergibt sich eine lange Reihe von Ungleichungen: 

			Pedros Plazierung
1.Woche
1. (Prolog/mittlere Drittel)	F  3	<	P und P > 99	£	2F   3
2.  (2.Tag/mittlere Drittel)	(F-14) 3	<	P+20	£	2(F-14)    3
3.  (3.Tag/mittlere Fünftel)	2(F-17) 5	<	P+8	£	3(F-17)    5
4.  (Ende der 1.Woche/mittl. Siebtel)	3(F-17)  7	<	P+3	£	4(F-17)    7
2.Woche
5. (Massensturz / Sieg mittlere Drittel)	(F-44)  3    spacespac	<	(P+3)  2 (und P+3 ist gerade)	£	2(F-44)    3  spacespac
6.   (Disqualifikation)	(F-45)  3	<	(P+3) 2	£	2(F-45)    3
3.Woche
7.   (Minus ein Team + Pedro macht Plätze gut/ erste Drittel)			(P-9) 2	£	(F-54)   3
8.   (Minus 7 Fahrer/erste Drittel)			(P-9) 2	£	(F-61)   3
9.   (..hätte, wäre... /erste Viertel)			(P-33) 2	£	(F-61)   4
10.   (..hätte, wäre doch nicht...)			(P-33) 2	>	(F-65)   4
Pedros Position  am Ende :
			(P-17) 2		Fahrer insgesamt im Ziel:   F-65

Nicht ganz klar ist dabei übrigens die (6), da nicht ausdrücklich gesagt wird, dass Pedro nach der Disqualifikation des Verursachers des Massensturzes noch im mittleren Drittel lag. Aber man braucht diese Information ebenso wenig wie die meisten anderen zur Bestimmung der Werte von F und P. 

Zunächst wollte ich das Problem ja nun meinem Computer überlassen, aber das schien mir dann doch wie mit Kanonen nach Spatzen zu schießen. 

Aus (9) und (10) ergibt sich die schöne Abschätzung 
(11.)    (F+1)/2 < P £ (F+5)/2 

Weil P nach (5) aber unbedingt UNGERADE sein muss, 
heißt das, dass ausgehend von einem Wert für F dadurch das P schon genau bestimmt wird! 
Wegen P > 99 muss nach (11)
 F ³ 197 sein. 

Aus (5) ergibt sich: 
F < (3P+97)/2 £ (3F+15)/4 + 97/2 

wegen (11), also: 
F < 209. 

Nun habe ich ganz einfach alle zehn Werte für F von 197 bis 208 ausprobiert, wobei sich insbesondere (4) und (5) als die entscheidenden Kriterien offenbarten, was aber auch nicht weiter überraschte. 
Es blieb als einzige Möglichkeit F=199 mit P=101 übrig. 

Also: 
1. 199 Teilnehmer gingen an den Start. 
2. 199-65 = 134 Fahrer konnten das Rennen beenden. 
3. Pedro belegte nach dem Prolog Platz 101. 
4. Im Gesamtklassement belegte Pedro schließlich Platz (101-17)/2 = 42. 

Rolf Herrman ist im Wesentlichen analog vorgegangen; hat aber zur Veranschaulichung das Ausdrucksprotokoll zur Prüfung mitgeschickt:

..... Demnach liegt der gesuchte a-Wert (Anzahl der Teilnehmer am Radrennen)  in der Nähe von 200. Es ist daher sinnvoll, a-Werte im Bereich von 196 bis 210 zu untersuchen. Für größere a-Werte gibt es Kollision mit Intervall 5, für kleinere a-Werte gibt es nicht zulässige zweistellige p-Werte.

(Computerausdruck)

  a   p  Intervall Wid              a   p  Intervall Wid
        von - bis                         von - bis     
196  99  66   130  p zwei-        197 101  66   131 
182 119  61   121    stellig      183 121  62   122 
179 107  72   107                 180 109  73   108 <= 
179 102  77   102                 180 104  78   102 <= 
152  51  51   101                 153  52  52   102 
151  51  51   100                 152  52  51   101 
142  45   1    47                 143  46   1    47 
135  45   1    45                 136  46   1    45 <= 
135  33   1    33                 136  34   1    34 
131  33  33    65                 132  34  34    66 
131  41                           132  42 

 a   p  Intervall Wid              a   p  Intervall Wid
        von - bis                         von - bis     
198 101  67   132                 199 101  67   132
184 121  62   122                 185 121  62   123
181 109  73   108 <=              182 109  73   109
181 104  78   103 <=              182 104  79   104
154  52  52   102                 155  52  52   103
153  52  52   102                 154  52  52   102
144  46   1    48                 145  46   1    48
137  46   1    45 <=              138  46   1    46
137  34   1    34                 138  34   1    34
133  34  34    66                 134  34  34    67
133  42                           134  42

 a    p  Intervall Wid              a   p  Intervall Wid
        von - bis                         von - bis     
200 101  67   133                 201 103  68   134
186 121  63   124                 187 123  63   124
183 109  74   109                 184 111  74   110 <=
183 104  79   104                 184 106  79   105 <=
156  52  53   104 <=              157  53  53   104
155  52  52   103                 156  53  53   104
146  46   1    48                 147  47   1    49
139  46   1    46                 140  47   1    46 <=
139  34   1    34                 140  35   1    35
135  34  34    67                 136  35  35    68
135  42                           136  43
spacespacespacespacespacespacespacespacespacespacespacespace
usw.

Nur für a=199 erhält man keinen Widerspruch zu den Intervallgrenzen. 
Aus der betreffenden Tabelle können die Fragen der Aufgabe wie folgt beantwortet werden:
Es waren 199 Teilnehmer am Start, davon erreichten 134 das Ziel.
Pedro war nach dem Prolog auf Platz 101, im Ziel hatte er Platz 42 im Gesamtklassement.



Programm zur Erzeugung der Tabelle in TURBO-PASCAL

PROGRAM tour;
USES crt;
VAR a0,a:Integer;    a0, p0 Startwerte, a,p aktuelle Werte 
    p0,p,l,r:Real;   l,r linke/rechte Intervallgrenze 
BEGIN
 FOR a0:=196 TO 210 DO
 BEGIN
  clrscr;
  p0:=(int((a0-61)/4)+18)*2-3; int()-Funktion: (hier) abrunden
  a:=a0; p:=p0;
  l:=int(a/3+1); r:=int((2*a)/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-14; p:=p0+20;
  l:=int(a/3+1); r:=int((2*a)/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-17; p:=p0+8;
  l:=int((2*a)/5+1); r:=int((3*a)/5); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-17; p:=p0+3 ;
  l:=int((3*a)/7+1); r:=int((4*a)/7); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-44; p:=(p0+3)/2 ;
  l:=int(a/3+1); r:=int((2*a)/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-45; p:=(p0+3)/2 ;
  l:=int(a/3+1); r:=int((2*a)/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-54; p:=(p0+3)/2-6 ;
  l:=1; r:=int(a/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-61; p:=(p0+3)/2-6 ;
  l:=1; r:=int(a/3); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-61; p:=(p0+3)/2-18 ;
  l:=1; r:=int(a/4); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-65; p:=(p0+3)/2-18 ;
  l:=int(a/4+1); r:=int(a/2); write(a:3,p:4:0,l:5:0,r:4:0);
  IF (p>=l) and (p<=r) THEN writeln ELSE writeln(' <=');

  a:=a0-65; p:=(p0+3)/2-10 ; write(a:3,p:4:0);
  readln;
 END;
END.

Auswertung: