denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 2001

DENK m a l 2002: des Rätsels Lösung

Lösung der 20. Aufgabe vom 9.12.2002

Im Prinzip gibt es nicht viele sinnvolle Alternativen in der Vorgehensweise:
darum stellvertretend für alle Einsendungen der Weg von Nestor
(auch wenn er nicht ganz synchron zur Animation ist) :

Der Einstieg gelingt über die Girlande rechts, an der
bereits die Farben von zwei Kugeln vorgegeben sind.
Da die Kugel mit der Nummer 13 gelb ist muss Nr. 16
blau sein.
Dann muss 8 gelb sein.
Da 14 und 15 orange und rot sein müssen, ist 5 blau.
Da 4 rot ist, muss 1 orange sein und da 12 orange ist,
muss 9 rot sein.
9 und 12 sind rot bzw. orange. Folglich müssen 10 und
11 gelb oder blau sein. Da 16 blau ist, muss 11 also
gelb sein und 10 blau.
Da 5 und 8 blau bzw. gelb sind ist 6 und 7 rot oder
orange.
Da 9 aber bereits rot ist, muss 6 orange sein und 7
demnach rot.
Da 7 rot ist, muss 15 orange sein und da 6 orange ist,
ist 14 rot.
Konsequenterweise ist 2 gelb und 3 blau.

es ergeben sich folgende Ketten:

`1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16`	`1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16`
`3 6 9 6 11 16 5 14 15 8`

grafik

Der komplett geschmückte Baum sieht dann so aus:

Baum

Lösung zur Aufgabe zum Jahreswechsel

Lösungen unter Verwendung der Berechnungen von Johann Moll, Reinhold Moebs, Christian Ege und Rolf Herrmann

2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ = 2²⁰⁰²+ 2 * 2²⁰⁰² = 3*2²⁰⁰²

= 10 ^{(log 3 + 2002* log2)}
= 10 ^(603,139..)

Also hat die Zahl 604 Stellen.

Berechnung der Zehntausender-Stelle:

2²⁰⁰²+ 2²⁰⁰³ = 2²⁰⁰²(1 + 2) = 3 * 2²⁰⁰²

Wir berechnen die Potenz 2²⁰⁰² modulo 100.000 mit dem Taschenrechner

2¹⁰ = 1024
2²⁰ = 1024² = 1.048.576 = _{mod 100000} 48.576
2⁴⁰ = _{mod 100000} 48.576² = _{mod 100000} 27.776
2⁸⁰ = _{mod 100000} 27.776² = _{mod 100000} 06.176
2¹⁶⁰ = _{mod 100000} 06.176² = _{mod 100000} 42.976
2³²⁰ = _{mod 100000} 42.976² = _{mod 100000} 36.576
2⁶⁴⁰ = _{mod 100000} 36.576² = _{mod 100000} 03.776
2¹²⁸⁰ = _{mod 100000} 03.776² = _{mod
100000} 58.176

2¹⁹²⁰ = 21280+640 =2¹²⁸⁰ * 2⁶⁴⁰ = _{mod
100000} 72.576

2²⁰⁰⁰ = 21920+80 = 2¹⁹²⁰ * 2⁸⁰ = _{mod
100000} 29.376

2²⁰⁰² = 2²⁰⁰⁰ * 4 = _{mod 100000} 17.504

2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³= 2²⁰⁰² * 3 = _{mod 100000} 52.512
=> Die Zehntausender-Ziffer ist eine 5

eine Variante:

Zuerst formen wir um: A= 2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ = 3 * 2 ²⁰⁰².
Praktischerweise zerfällt 2002 zu 2002 = 2*7*11*13.
Also ist A = 3 * 2^(13*2*7*11)= 3* (((2¹³)²)⁷)¹¹

2¹³ = 8192
B = (2¹³)²=...08864
B²= ...70496
B⁴= ...86016
B³= ...76544,
also
C = B⁷= ...08704

C²=...59616
C⁴=…67456
C⁸=…11936
C³=…97664,
also
C¹¹=…17504

Also endet A = 3 * C¹¹ mit ....52512.

Mit einem kleinen Computerprogramm in Turbo-Pascal kann man die gesuchte Zahl korrekt berechnen mit folgendem Ergebnis:

1.377.756.834.329.105.429.079.399.841.413.218.380.826.781.242. 506.434.240.573.171.284.190.919.513.670.844.376.627.991.383. 579.807.523.902.135.157.566.784.955.328.136.542.753.035.666. 397.711.117.627.399.983.822.469.559.869.743.747.360.008.265. 349.778.880.538.457.147.123.880.761.834.937.379.385.563.756. 660.367.367.804.312.485.596.247.650.859.958.697.948.785.707. 335.555.267.479.739.794.433.970.663.643.992.176.130.026.907. 813.502.067.228.553.817.694.968.706.811.217.318.005.148.032. 600.479.509.966.264.097.586.835.375.501.135.214.599.806.479. 187.944.757.017.524.261.358.300.848.505.918.238.199.018.490. 673.206.825.103.046.659.493.403.076.064.469.920.983.486.599. 566.993.064.565.107.004.712.186.340.185.437.033.184.654.106. 983.309.406.591.502.105.226.345.609.874.113.249.815.585.445. 146.218.213.788.352.512

Die Zahl hat 604 Ziffern und die Zehntausender-Ziffer ist 5.

Auswertung:

eingegangene Lösungen	richtige Lösungen	falsche Lösungen
26	25	1
Bemerkungen :	das Jahr ging mit einer recht einfachen Aufgabe zu Ende

aktuelle Aufgabe

20. Aufgabe

Hall of FAME

Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
Helmut Schmidt

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© Karin S., Dez..2002