DENK m a l   2003:  des Rätsels Lösung 

Die Verfolgungskurve
Unter einer Verfolgungskurve - im mathematischen Sinn - versteht man die Spur, die ein Verfolger nach sich zieht, während er seinem Zielobjekt nachstellt. Dabei halten sich (aus Gründen der Berechenbarkeit dieser Kurve) sowohl der Verfolger als auch sein Zielobjekt an bestimmte vorgegebene Strategien.
Beispiel: Die Hundekurve nach Bouguer
(a)Fluchtstrategie:
Das Ziel (Q) flüchtet mit konstanter Geschwindigkeit (v_Q) entlang einer Geraden.
(b)Verfolgungsstrategie:
Der Verfolger (P) eilt dem Ziel mit ebenfalls konstanter Geschwindigkeit (v_P) derart nach, daß seine Bewegungsrichtung stets auf das Ziel zeigt.



Lösung von Lutz Locker:
diese Aufgabe ist eine Variante der "Hundekurve". Nur das diesmal der Besitzer hinter seinem Hund herläuft :-).
Zu Beginn der "Verfolgungsjagd" ändert sich der räumliche Abstand fast mit der Geschwindigkeit des Herrn, zum Ende hin dagegen nur noch mit der Differenz der Geschwindigkeit von Hund zu Herrchen.

Ich habe mich darauf beschränkt, den Weg anzunähern.

Ich bin so vorgegangen, das ich Stück für Stück den räumlichen Abstand des Hundes zum Herrn berechnet habe. Da für die Länge des Weges nur das Verhältnis der Geschwindigkeit des Hundes zu seinem Herrn interessiert, bin ich für meine Beispielrechnung von einer Geschwindigkeit für 1 m/s für den Hund und von 1,3333 m/s für das Herrchen ausgegangen. Für eine genauere Annäherung habe ich die Orte von Hund und Herrn im Zehntelsekunden-Abstand betrachtet und dann den räumlichen Abstand errechnet. Für den Weg des hinter seinem Hund herlaufenden Besitzers bin ich bei dieser Annäherung von kleinen geraden "Sehnenstücken" ausgegangen. Der genaue Weg ist eine Kurve, aber bei genügend
kleinen Zeitabständen (oder sehr langsamer Geschwindigkeit) kommen diese "Sehnenstückchen" dem tatsächlichen Verlauf sehr nahe. Aus der beiliegenden Skizze ist zu erkennen, dass ich für die Errechnung der Abstände a1 ....a600 die Trigonometrie und den Kosinussatz verwendet habe. Zum Glück habe ich einen Computer, der mir die aufwändige Rechenarbeit abnimmt. So stelle ich fest, dass sich nach fast genau 600 Zehntelsekunden (= 60 Sekunden) der Abstand des Herrn zu seinem Hund von anfangs 35 m auf 0 Meter verringert hat.
In dieser Zeit ist der Hund 60 s x 1 m/s = 60 m weit gelaufen. Sein Herrchen hat in dieser Zeit 60 x 1,333.. m/s = 80 m zurückgelegt.


Taktisch klüger ist es sich nicht auf den Hund zu konzentrieren, sondern darauf wo der Hase lang läuft.
Damit könnte Herrchen den Weg ziemlich abkürzen.

Lösung von Johann Moll- so einfach war es:

Der Weg des Jägers ist eine sog. Fluchtkurve, für deren Länge es eine Isometrie zu einem leicht
zu berechnenden Polygonzug gibt.

Es seien d der anfängliche Abstand des Jägers von seinem Hund, s die Strecke, die der Hund
läuft, bis er eingeholt wird, und q der Faktor, um den der Jäger schneller läuft als der Hund.

Die Isometrie besagt nun, dass der Weg, den der Jäger läuft, genau so lang ist, wie

(i) die Hälfte des Anfangsabstandes Jäger zu Hund, also d/2 plus

(ii) der Entfernung von dort zum späteren Einholpunkt, also (d/2)² + s²

Es gilt also

q * s = d/2 + (d/2)² + s²

q * s - d/2 = (d/2)² + s²

q² * s² - q * s * d + (d/2)² = (d/2)² + s²

(q² - 1) * s² = q * d * s

s = q * d / (q² - 1)

Setzen wir ein q = 4/3 und s = 35 so erhalten wir die Lösung

s = 4/3 * 35 / (7/9) = 5 * 4 * 3 = 60

Somit läuft der Jäger 4/3*60 = 80.

 

Anmerkung: (Willi Jeschke)
.... x mal schneller als .... oder .... x mal so schnell wie ....
Letztere Formulierung würde dem Geschwindigkeitsverhältnis von 4:3 zwischen Jäger und
Hund korrekt entsprechen.

Einige Leser und Löser legten ".... schneller als ...."
so aus, dass der Jäger 7 Einheiten schafft und der Hund nur 3 !!

Um der sprachlichen Ungenauigkeit in der Aufgabenstellung Rechnung zu tragen, wurden auch die Ergebnisse als korrekt gewertet.

Sollte es weitere Probleme mit der Aufgabe oder den Lösungen geben, kann ich das erst nach dem 16.2.03 klären.