DENK m a l   2003:  des Rätsels Lösung 

• Der zeitliche Anspruch für das Überwechseln der Drähte sowie das Umschauen auf der Spitze wird vernachlässigt.
• Weil Kasimir keinen Punkt zweimal bekrabbeln will, wird er für einen Weg immer nur entweder im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn auf den Grundkanten krabbeln. Ein Umkehren ist nicht möglich.
• mindestens ein Grundkante wird beim Krabbeln immer ausgelassen

Martin Baselt löst die Aufgabe genau so simpel und einfach, wie sie ist:
 

Kasimir stehen 66 verschiedene Wege zur Verfügung. Er benötigt für seine Spaziergänge zwischen
3,5 min und 8,5 min. Alle Wege hat er nach 451 min abgekrabbelt.

Da Kasimir auf seinen Spaziergängen keinen Punkt zweimal krabbeln möchte muss er sich für eine Richtung um die Pyramide entscheiden. Die unterschiedlichen Weglängen hängen zum einen von der Strebe ab, auf der er aufwärts krabbelt, und von der, auf der er abwärts krabbelt.
Wählt er gleich die erste Strebe aufwärts, hat er 11 Möglichkeiten wieder abwärts zu krabbeln. Nimmt er gleich die zweite abwärts, legt er insgesamt 85 cm zurück, 55 cm auf den Grundlinien und 30 cm auf den Streben (Er benötigt für diesen Weg 8,5 min). Nimmt er die dritte Strebe abwärts, legt er nur noch 80 cm zurück, usw. Bei der letzten Strebe abwärts bleibt ein Weg von 35 cm, für den Kasimir 3,5 min braucht.
Wählt er die zweite Strebe aufwärts, hat er 10 Möglichkeiten abwärts, usw. Wählt er die elfte Strebe muss er die zwölfte abwärts nehmen. Die zwölfte Strebe kann er nicht aufwärts nehmen. Pro Strebe, die er vor seiner Klettertour auf der Grundlinie bleibt, fällt eine Möglichkeit des Spaziergangs weg, und zwar fehlen dann die kurzen Spaziergänge.

Die Anzahl der Spaziergänge ist also 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 66,
der Gesamtweg beträgt
    85cm + 80cm + 75cm + 70cm + ... + 40cm + 35cm
+ 85cm + 80cm + 75cm + 70cm + ... + 40cm
+ ...
+ 85cm + 80 cm + 75cm
+ 85cm + 80 cm
+ 85cm = 4510 cm, für den Kasimir 451 min benötigt.

auch Michael Beyer löst die Aufgabe kurz und knapp in reinem ascii:

(berücksichtigt die beiden möglichen Richtungen und erhält somit doppelt so viele Wege)

Sei S die Spitze, A der Ausgangspunkt
Ich bezeichne den ersten Punkt recht an der Grundkante von Kasimir als 1,
die übrigen Punkte nummeriere ich gegen den Uhrzeigersinn durch.

Kasimir beginnt zu krabbeln:

A-1-S-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-A
Den gleiche Weg legt er zurück bei:
A-1-2-S-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-A
usw. Es gibt 11 Wege dieser Länge, wenn er sich gegen den Uhrzeigersinn
bewegt,
11 Wege mit dem Uhrzeigersinn (z.B. A-12-S-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-A)

Dabei nimmt er 11 Grundkanten und 2 Seitenkanten:
Der Weg beträgt 11*5 + 2*15 cm = 85 cm
und er benötigt 8,5 Minuten

10 Wege gegen und 10 Wege mit dem Uhrzeigersinn gibt es wenn er einen
Punkt auslässt:
A-1-S-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-A
Weg = 10*5 + 2*15 cm = 80 cm
Zeit = 8 Minuten

usw.

Kürzester Weg:
A-1-S-12-A
bzw. A-12-S-1-A
Weg = 1*5 + 2*15 cm = 35 cm
Zeit = 3,5 Minuten

Insgesamt gibt es 2*(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = 132 verschiedene Wege

Alle Wege zusammen habe eine Länge von

Summe (2*k * (k*5 + 2*15)) mit k=1..11
ergibt 9020 cm

insgesamt braucht er für alle Wege 902 Minuten = 15 Stunden und 2 Minuten



beide Lösungen habe ich als korrekt gewertet!

Eine sehr schöne und ausführliche Lösung von Johann Moll :

ich habe die Aufgabe zunächst allgemein für beliebiges n >= 3 gelöst.

Mit den im folgenden hergeleiteten Formeln lassen sich die Wege für beliebige regelmäßige Pyramiden und beliebige (zulässige) Längen der Kanten berechnen.

Gegeben sei eine Pyramide mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche. Der Punkt an der Spitze stehe lotrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Wir unterscheiden Grund- und Seitenkanten. Der Mittelpunkt einer der Grundkanten wird fest als Start- und Zielpunkt P gewählt. Der Punkt an der Spitze sei Q.

Ein Weg sei ein geschlossener Streckenzug von P aus entlang der Kanten zurück nach P unter folgenden Bedingungen:

(i) P ist Start- und Zielpunkt; jeder andere Punkt des Streckenzuges kommt nur einmal vor.
(ii) Der Streckenzug enthält Q.

Offensichtlich enthalten alle Wege mindestens eine Grundkante, höchstens n-1 Grundkanten und genau 2 Seitenkanten. Alle Werte dazwischen kommen ebenfalls vor.

Zu jedem Weg gibt es einen spiegelsymmetrischen Weg, wenn der Start von P aus in der Gegenrichtung erfolgt. Die Resultate sind also bezüglich einer Richtung zu ermitteln und dann zu verdoppeln.

Beim Aufstieg nach Q von der i-tnächsten Ecke von P aus gibt es offensichtlich n-i Abstiegskanten, i = 1, ... , n-1. Dabei werden stets 2 Seitenkanten und n-i Grundkanten beschritten.

Es gibt also (n-1) + (n-2) + ... n-(n-1) = 1 + 2 + ... (n-1)
= (n-1)*n/2 Wege pro Startrichtung.

a) Anzahl der Wege: (n-1) * n

Sofort folgt:

b) Anzahl der Seitenkanten: 2 * (n-1) * n

Die Anzahl der Grundkanten ermittelt man danach mit der folgenden Doppelsumme:


Grundkanten pro Startrichtung, also verdoppelt folgt

c) Anzahl der Grundkanten: (2 * n³ - 3 * n² + n) / 3

Übrigens erfährt man aus c) so ganz nebenbei, dass 2 * n³ + n stets ein Vielfaches von 3 ist.

d) Kürzester Weg ist der mit einer Grund- und 2 Seitenkanten

e) Längster Weg ist der mit n-1 Grund- und 2 Seitenkanten

Im Beispiel der Aufgabe ist n = 12, g = 5 und s = 15; v = 10/min.

Zu a) Anzahl der Wege = 11 * 12 = 132

Zu b) Anzahl der Seitenkanten = 2 * 132 = 264, Länge = 15 * 264 = 3960,
Zeit = 396 min

Zu c) Anzahl der Grundkanten = (2 * 12³ - 3 * 144 + 12) / 3 = 1012
Länge der Grundkanten = 1012 * 5 = 5060
Zeit für Grundkanten = 506 min

Zu d) 5 + 2*15 = 35; Zeit: 3,5 min

Zu e) 11*5 + 2*15 = 85; Zeit: 8,5 min

Gesamtweg: 3960 + 5060 = 9020; Zeit: 902 min = 15 h 2 min