DENK m a l   2003:  des Rätsels Lösung 

Lösung von Reinhold Moebs

Skizze:

Wenn die Melone einen Umfang von 1 m hat,
so ist ihr Radius r = m = 0.159m.
Deshalb berechnet sich die Strecke (linearer Abflug) zu
=

Der Weg ME ist eine Hälfte eines Zykloiden-Astes,
der die Gesamtlänge von 8*r hat (Formelwerke).

Also ist Kasimirs Gesamtstrecke

W_Gesamt =
Mit = 2,30 m und r = m  wird also
W_Gesamt = 2,30m + 2,9307m + 0,6366m.
W_Gesamt = 5,87m (5,8673 m.)

Nach 5,87 Metern ist Kasimirs Reise beendet, dabei liegt er 2,66m  entfernt vom Ausgangspunkt im Gras.

Bemerkung:

Natürlich wurden auch Näherungslösungen akzeptiert, allerdings mussten die Lösungen größer als 0,60m sein, (ME²>(2r)²+(1/2u)²), geeignet war z.B. die Näherung durch eine Ellipse.

Anhand der Skizze am Seitenanfang müsste nun auch klar geworden sein, dass Kasimirs Bewegung im Raum nicht gleich dem halben Umfang der Melone ist. Seine Bewegung auf der Melone ist Teil einer Zykloine.

Die Zykloide (Radkurve)

Dies ist die Abbildung der Kurve, die ein Punkt auf der Oberfläche eines Rades beschreibt, wenn dieses Rad auf einer Ebene abrollt.

Es gelten folgende Beziehungen:

Die Parameterdarstellung einer Zykloide lautet:
x = a (a - sina);
y = a (1 - cosa);
mit -¥ <a <¥
a ist hierbei der Radius des rollenden Kreises, a der Wälzwinkel am Kreismittelpunkt.

Sei P nun ein beliebiger Punkt auf der Kreislinie, so gilt für die Länge des Bogens OP:
1 = 8a sin² ( ¼ a ).
Für die Länge eines vollen Bogens gilt   ( mit a =p ): l = 8a.

Länge eines Zykloidenastes = 8 x Radius des Rollkreises

Die Fläche unter einem vollen Zykloidenbogen beträgt:  A = 3 a².

Flächeninhalt der Zykloide = 3 × Flächeninhalt des Rollkreises

Weitere Seiten zu Zykloiden:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel125/

http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/bernoulli/allgZykloiden/zykloiden.html