sei
x + y + z = 1 = a
xy + yz + xz = b
Dann ist
a2 = 1 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
1 = x2 + y2 + z2 + 2b
Umgeformt nach b:
b = 1/2 - (x2 + y2 + z2) / 2
Somit gilt
b < 1/2
für x 2 + y2 + z2 > 0
Die zusätzliche Bedingung
x2 + y2 + z2 > 0 ist unter der ursprünglichen Bedingung
x + y + z = 1 für den Bereich der Reellen Zahlen stets erfüllt.
Lässt man für die Wertemenge auch Komplexe Zahlen zu, dann ist ist sie nicht immer erfüllt.
Lösung von Sascha Kramer:
Die Bedingung
x+y+z=1 lässt sich umformen
zu
z=1-x-y,
dies wird in die Zielfunktion
f(x,y,z)=xy+yz+xz eingesetzt.
Man erhält
f(x,y) = xy + y (1-x-y) + x (1-x-y)
= xy + y - xy -y² +x -x² -xy
= -x² -y² +x +y -xy
Zu zeigen ist jetzt, dass immer gilt f<1/2, dass also das Maximum von f kleiner als 1/2 ist.
Zur Bestimmung der lokalen Maxima wird f abgeleitet jeweils nach x und y:
df/dx = -2x+1-y
df/dy = -2y+1-x
Für ein Maximum muss gelten, dass beide Ausdrücke 0 werden:
-2x+1-y=0
-2y+1-x=0,
Lösen dieses Gleichungssystems ergibt sofort x=1/3, y=1/3.
Einsetzen in die Bedingung gibt z=1/3.
Über die zweite Ableitung oder über Vorzeichenwechselbetrachtung der Zielfunktion sieht man sofort,
dass bei x=y=z=1/3 ein Maximum besteht,
es gilt
xy+yz+xz = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 < 1/2.
Damit wäre die Behauptung für alle Zahlen bewiesen.
Für alle Zahlen? Nein! Nur für alle reellen Zahlen, denn nur für diese waren die Rechnungen zulässig.
Daher zur Zusatzfrage:
Die Aussage gilt nicht für komplexe Zahlen, denn zB für das Tripel
(x,y,z) =(1,i,-i), wobei i die imaginäre Einheit ist mit i²=-1,
gilt offentsichtlich
x+y+z=1+i+(-i)=1, aber
xy+yz+xz=1i+i*(-i)+1*(-i)=i-i²-i=1 > 1/2,
also erfüllt das angegebene Tripel nicht die Aussage.
Dies liegt natürlich daran, dass für komplexe Zahlen eine <>=-Relation keinen Sinn macht.
