Bei der Aufgabe handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment. Durch die Münzewürfe wird erreicht, dass bei jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit eine Kugel aus der Urne K bzw. Z zu ziehen ½ ist (dies entspricht einem Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 20 Kugeln K und 20 Kugeln Z).
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit in der 35. Ziehung die 20. Kugel einer Sorte zu ziehen. (Damit wurden von der anderen Sorte Kugeln genau 15 gezogen und eine Urne des ist leer).
Damit nicht schon bei einer früheren Ziehung eine Urne leer ist, betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass nach 34 Ziehungen 19 Kugeln einer Sorte (z.B. K) und 15 Kugeln der anderen Sorte (Z) gezogen wurden (dieses Ergebnis muss erzielt werden, wenn in der 35. Ziehung eine Urne geleert werden soll).
Die Wahrscheinlichkeit pn(k) dafür, dass bei einem solchen Bernoulli-Experiment in k von n Realisationen ein Ereignis A eintritt, ist dann gegeben durch die Binomial-Verteilung
In diesem Fall also:
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach 34 Ziehungen 19 Kugeln Z und genau 15 Kugeln K
gezogen wurden ist natürlich genauso groß.
Die Wahrscheinlichkeit nach 34 Ziehungen 19 Kugeln einer Sorte und genau 15
Kugeln der anderen Sorte gezogen zu haben ist demnach:
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann aus der schon berechneten
Wahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit in einer Ziehung (hier der 35.)
die 20. Kugel einer Sorte zu ziehen, also ½.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
Bei der Lösung wurde vorausgesetzt, dass bei der Ziehung der 20. Kugel einer
Sorte genau 15 Kugeln der anderen Sorte gezogen waren (und nicht mindestens 15
Kugeln).
Lösung von Roland Koppenberger
Urnen leeren – eine allgemeine
Diskussion
Jemand hat zwei Urnen mit je n
1 Kugeln darin, außerdem hat er eine faire
Münze (fair bedeutet, dass beim Werfen der Münze diese mit gleicher
Wahrscheinlichkeit Kopf bzw. Zahl zeigt). Er beschriftet die Urnen mit K bzw. Z.
Dann wirft er die Münze wiederholt. Zeigt sie K, so entnimmt er der Urne K eine
Kugel, zeigt sie Z, so entnimmt er der Urne Z eine Kugel. Wenn eine der beiden
Urnen leer ist, ist natürlich in der anderen noch mindestens eine Kugel
enthalten. Nachstehende Fragen werden in der Folge behandelt:
- Wenn eine der beiden Urnen leer ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
dann in der anderen Urne noch genau r Kugeln (n
r
1)?
- Wenn anfangs in beiden Urnen jeweils 20 Kugeln waren, mit welcher Wahrscheinlichkeit fehlen in der einen Urne erst 15 Kugeln, wenn die andere gerade leer geworden ist?
Beschreiben wir zunächst das Problem allgemein:
(k,z) bezeichne im folgenden den Zustand, dass in Urne K genau k Kugeln und in
Urne Z genau z Kugeln sind. (n,n) stellt nun den Anfangszustand dar, die
Endzustände lassen sich mit (r,0) bzw. (0,r) beschreiben. Stellen wir uns den
das Leeren der Urnen in einem Diagramm mit Punkten (Zuständen) und Wegstücken
bzw. Schritten (Veränderung von einem Zustand zum unmittelbar benachbarten) vor.
Mehrere Wegstücke bzw. Schritte ergeben einen Weg von einem beliebigen Zustand
zu einem anderen.
Die Darstellung erinnert an ein Parallelogramm. Alle Wegstücke sind
Einbahnstraßen, jeder einzelne Schritt ist also nicht umkehrbar. Wege nach links
unten vermindern die Kugelanzahl in der einen Urne, Wege nach rechts unten
vermindern die Kugelanzahl in der anderen Urne – und zwar jeweils um eine Kugel.
Die Punkte (Zustände), wo eine der beiden Urnen leer ist, sind die Endpunkte
(Endzustände) der Wege.
Wenden wir uns nun der ersten Fragestellung zu:
Wenn eine der beiden Urnen leer ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dann in
der anderen Urne noch genau r Kugeln (n
r
1)?
Gesucht wird jetzt die Wahrscheinlichkeit für den Zustand "(r,0) oder (0,r)".
Das Problem ist symmetrisch, die Wahrscheinlichkeit für den Zustand (r,0) ist
somit gleich der Wahrscheinlichkeit für den Zustand (0,r).
Wir berechnen zunächst die Anzahl der Wege von (n,n) nach (r,1). Von dort führt
dann genau ein Weg (und zwar mit Gewicht ½) nach (r,0). Die Zustände (n,n) und
(r,1), also Anfangs- und Endpunkte aller gesuchten Wege, bilden die
gegenüberliegenden Ecken eines Parallelogramms, dessen Seiten aus n-r bzw. n-1
Schritten besteht:
Die Grafik erinnert auch an einen Ausschnitt vom auf dem Kopf stehenden
Pascal'schen Dreiecks, dessen Systematik uns im folgenden helfen wird, die
Anzahl verschiedener Wege zu berechnen.
Um von (n,n) nach (r,1) zu kommen, benötigt man immer n-r Schritte nach links
unten
und n-1 Schritte nach rechts unten, gesamt also 2n-r-1 Schritte. Die Anzahl
verschiedener Wege von (n,n) nach (r,1) ist somit gleich der Anzahl
verschiedener Anordnungen der n-r Schritte nach links unten (bzw. äquivalent
dazu der n-1 Schritte nach rechts unten) innerhalb aller notwendigen Schritte
eines möglichen Weges.
Anders ausgedrückt: Ein Weg von (n,n) nach (r,1) lässt sich als Folge von
Münzwürfen der Länge 2n-r-1 darstellen, wobei genau n-r Mal die eine Seite der
Münze und genau n-1 Mal die andere Seite der Münze vorkommt. Gesucht sind nun
die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung von Kopf und Zahl.
Es gibt somit
verschiedene Wege von (n,n) nach (r,1). Jeder Schritt der insgesamt 2n-r-1
Schritte jedes Weges ist mit Wahrscheinlichkeit ½ zu gewichten (faire Münze).
Die Wahrscheinlichkeit, von (n,n) nach (r,1) zu gelangen, ist somit das Produkt
aus der Anzahl der Wege und der Wahrscheinlichkeit eines Weges, also
Da wir aber nach (r,0) wollen, müssen wir noch mit ½ multiplizieren. Allerdings
war die Wahrscheinlichkeit für den Zustand "(r,0) oder (0,r)" gefragt, wir
müssen also aus Symmetriegründen mit 2 multiplizieren. Wenn wir das Ergebnis mit p(n,r) bezeichnen, erhalten wir
p(n,r) : = Wahrscheinlichkeit des Zustands "(r,0) oder (0,r)" =
Die zweite Fragestellung möchte Antwort auf ein konkreten Fall:
Wenn anfangs in beiden Urnen jeweils 20 Kugeln waren, mit welcher
Wahrscheinlichkeit fehlen in der einen Urne erst 15 Kugeln, wenn die andere
gerade leer geworden ist?
Wir benutzen die Formel p(n,r) aus der ersten Fragestellung mit n = 20 und r =
5:
also 10,8 %.
Es sei noch angemerkt, dass die Summe aller möglichen Ausgänge des Experiments
natürlich 1 ist:
