DENK m a l   2003:  des Rätsels Lösung 


  Lösung der 15. Aufgabe   vom 22.09.2003

 

der häufigste Lösungsweg  z.B. von Franjo Schulte:

Man könnte natürlich ganz leicht ein Computerprogramm schreiben, das diese 7-er Potenz
berechnet, wobei man ja bei jedem Schritt lediglich mit den letzten 4 Stellen der Zahl
weiterrechnen muss.
Ich habe es trotzdem zu Fuß probiert.
Wenn es nur um die letzten ZWEI Stellen ginge, wär's ganz leicht, denn die wiederholen sich bereits nach 4 Schritten:
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
Mit Taschenrechner-Hilfe habe ich noch ein wenig weiter probiert, bis:
7 15 = ...9943
7 16 = ...9601
7 17 = ...7207
7 18 = ...0449
7 19 = ...3143
7 20 = ...2001
Aha. Ab jetzt wiederholen sich sogar die letzten DREI Stellen!
7 40 = 7 20 x 7 20 = ...4001
7 60 = ...6001
7 80 = ...8001
7 100 = ...0001
Und ab da wiederholen sich dann offenbar die letzten vier Stellen wieder.
Damit hat man's aber:
7 7777 = 7 7700 x 7 77 = (7 100) 77 x 7 60 x 7 17 = ...0001x...6001x...7207 = ...9207
Die gesuchte Zahl endet also auf ...9207!

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Lösung von Christian Ege:

anbei meine Lösung zur Aufgabe 15, analog zur Zusatzaufgabe zum letzten Jahrewechsel:

Lösung:

7 7777 = ((7 101) 11) 7
= (A 11) 7
= B 7

7 10 = ...75249
7 20 = ...12001
7 40 = ...24001
7 80 = ...48001
7 101 = 7 80 * 7 20 * 7 = ...20007 = A

A 2 = ...80049
A 3 = ...40343
A 4 = ...42401
A 8 = ...44801
A 11 = ... = B

B 2 = ...68049
B 3 = ...54407
B 4 = ...66401
B 7 = ...79207

Somit lauten die letzten 5 Ziffern 79207.

Unter Solaris lässt sich die Aufgabe mit deutlich weniger Aufwand
lösen :-). Man lässt das Ergebnis einfach per "bc" bestimmen:

7 7777 =
21254808227343471907345591571884156862168464696091034996124728144032\
39948652917370347047764608795642313661812095299951314876659472178676\
71354939319567954695651024313850659516731862931344432789205552901324\
85765130258791710873076552167047775349537082272357064960909067096052\
91649190896110677566351219637976376423408024316942146167344195032664\
00619805843273333069132681300354876569258641558373576002091177811380\
50453937636650144368354230212692656279108723288968438409876074879416\
92575019367098142922310491081929981910591739925720432713679950820719\
77104422434741568174656604395577010762734845574719962701476270782136\
56069214352198510779086028764958337270131985218531641752829338132264\
47107931781636476815244902054161819733946274197052475084906690836206\
82860403352694540879613154547114012007139356606442723490721444585172\
29595321246442771762762314781613612265123083526020552215055825469474\
71298082722669319120756065757225577711071280628500310005262427631440\
70208364865977959442910920985736044559407958834685999933863210257994\
63545679822590232220376490415798439572572102557489510495073515740524\
81573639967573781452513663517170038356171567174408526769414632705749\
29819813919174345693014411496215252730785437177931573483958424455307\
96489381006077616428771816067364703320904747854233324366352178923812\
43705250054513594538972514830857916098469454056109760384891729959218\
42689229823540489891524114317337028767899110079888776987166837137569\
69769502402708707059946708560258172341010823118525062011685891966381\
70710329622414612994598826933450408953980658249049715068807810220189\
79147043339896866500157147694326748307608932821934962289429259533231\
43818751104042011197651236066654186804690356586284965876549673683366\
97543359806632461609616119041959768676975853856644759463796842151531\
92489417241738187828411457713262573186669100921739900419445313800783\
46464633364281954426145663010364134855720613004584659589105574956363\
21237744822622355398086412450177905278126009303218246409282847215282\
03788133649501487815130231829069235650549474652738034636906624933904\
18982768107525884521882597135434881410341177498896968804693656685246\
18187163871730640710654936562819019630469336975929644349308298025966\
22530394378613559191767785531219751484682840904470714476046982486038\
14985075301540775660801626097179436947161921702633344673571258481612\
83801499749679791514239545930881779344890282711961537365146398231285\
87545285322887955792614376965602316030805255469466324807018652416123\
23673197809017102538254721216965430626769029120374465099666376714325\
04791503234445490781451750231298609415235878445526319936492576058003\
31474337133852864814624926812194712985665521077170368384661978557726\
55450678055960869762169658214116942456491330557233669006320594433307\
57519371459167311642307064618558987820367821905227530555494583816904\
67293777077758629055223372422347983501609158497214992004316576597673\
47853222013003289495242706963715458486109945119943673849005050948575\
39510271218938283803290361469580963849952526741316152837081645332245\
57467392588083570197924229683884171632515918095729546566669497387362\
03835999779786577392759502930538429703938690207411494300932661976991\
15357190617872285938147299520807919961902596994185907468429304638652\
27025777020625406360886686314744369922838010271074239456516273632238\
03147430392858904501414400641099059529261053329049172405653960563050\
52427174441734639529804666708633463354233268816314346521462090874623\
19486947799836641133363117746623856471712796897413772655195510835087\
59782354068121571421338332497738161398011014976383085217212422039604\
77186574578563227875720828771759244620781612739462537148289136809144\
29737490529058631787014804751503643651378148893484391058346794132976\
76837660667117064044403551989789540952955822539119090744265033087018\
72239673482943141537556696743356624570886132551094412143289858802362\
99226105820481592341246440611811359079257536717600905012294494072366\
33985090048346005178432555177343196889883924457249500272360226441268\
94376018045188640131116976632184096716370536751807784255737265060948\
25139604257227833338202116776474517257917533662415630230098795241402\
22720492753478136373841199898956567547938544773547385428884083345087\
84250447707616626843502959957598826856662041094233355367278808167023\
73576818562129042999997258633923780007295738447874344782763682342560\
33433052118855899304985309645151280247526522319686626774275849142658\
61148208476392386791688672347660292845548813634451455744832131726222\
79513404989487534118779179415584703744786048321005495317093880248761\
01402690189985616154045092253382536062120714503607677598665562695333\
28701405334146495711880900127915137607636445718792276504108051668542\
70020019702958271016834259297157024881843204357481099726793274155022\
61713950441499252502891722632005880064700348969362995823424956013712\
55673825353967150400737435731513136584209377509501022844727992504832\
89827511070261846938052599858240179974732636134696409677815518056355\
24941744891771603458577580885716567839538640821406597251990904352950\
28089823259431861230225413417439420593952604557897801189769173018413\
97851841459674302817614722209606523048466105984174950082943566312759\
30282674457470139209178628756716950807576928989396421333639897770462\
13614675635526070951344797911586838306930231612127242461487792162975\
22273068524346047334801246912836043744302648692085924969186286180030\
00513374302490464481107683601073293043198324852171776044173997156225\
04017976257076897889049028065811723883990510474191021301739525717847\
41548336279037086862745251695280852639060308164409837848915352726305\
55203563934674711566131241627880511094332214278500531658473990593043\
19228466949072038269219012641393447512678527239779937467521750982918\
54845582573212879610765021492440985872739888468098272645734153366883\
71359657085265118128905251872117634926418180966549777993342806830780\
78812280594603525110933861879672715184503518185266268280733502741086\
72691909967722373356532426592302420703146314519676123170895174717447\
63680676945075676440762056938558028612161828510746527756500469829281\
53430199627692949661344067722478833534163956535078127854777281980434\
85732953654872780598150959679563509694916078912086038209186437859597\
12069968429121269225001024118533014390730111774304791145084017696967\
60092173636910510156267032383637323719763942554189277845194894240455\
88419793213896513260095549504371826732734473434447923415529530534111\
59220301810172681845039175142926168462858323477582483280164265504989\
55378006121182237835295036368035554813147913220169794892923887999466\
88770410149098866148378054790934364048478713436789898860790403841653\
484413175555560361385465911020435734015379207
 

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zur Abrundung noch die vorgeschlagene Lösung von Johann Moll

Wie lauten die letzten 4 Ziffern von 7 7777 ("7 hoch 7777")?

Sie lauten 9207.

Beweis:

Es ist 7 4 = 2401 und 7777 = 1944 * 4 + 1

Also folgt:

7 7777 = 7 * 7 (4*1944) = 7 * 2401 1944 = 7 * (2400+1) 1944

In der Binomialentwicklung von (2400+1) 1944 kommt 2400 mit allen
Exponenten
von 0 bis 1944 vor - multipliziert mit 1 irgendwas.

Die Summanden haben also für alle Exponenten >=2 am Ende mindestens 4
Nullen, so dass nur die Exponenten k = 0 und k = 1 für die Aufgabe
Beachtung finden.

Also sind sie letzte 4 Ziffern von 7 7777 die gleiche wie die von

7*((C(1944;0)*2400 0 + C(1944;1)*2400 1) = 7*(1 + 1944*2400)
= 3265 9207

q.e.d.

Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösungen falsche Lösungen
 c a b
Bemerkungen : a+b=c

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aktuelle Aufgabe 15. Aufgabe Hall of FAME
 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
 
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 "blättern"

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© Karin S., Oktober 2003