DENK m a l   2003:  des Rätsels Lösung 


  Lösung der 16. Aufgabe   vom 6.10.2003

 

die Beispiellösung stammt von Karl Sallinger

LÖSUNG: 2 3 2 1 2 3 2

Jedesmal, bevor ein Schalter betätigt wird, ist zu prüfen, ob eine der Türen offen ist. In so einem Fall ist das Verfahren beendet.
Es ist also NICHT so, dass man blind diese Folge tippen kann, um zum Ziel zu gelangen. So könnte man es aus der Aufgabenstellung herauslesen.

Lösungsweg:

Ich zeige, wie ich zu [m]einer Lösung gekommen bin. Ich kann nicht beweisen (ohne einfach alle Varianten zu probieren), dass diese Lösung eine beste ist, allerdings bin ich ziemlich überzeugt davon.

Der Grundgedanke ist, die Aufgabe durch eine geschickt gewählte Bezeichnungsweise in eine andere überzuführen (abzubilden). Diese andere ist dann leicht mit etwas Fingerspitzengefühl zu lösen.
Die gefundene Lösung ist unmittelbar auf die ursprüngliche Aufgabe übertragbar.

Ich führe folgende Bezeichnungen ein.

Die Stellung jedes Riegels wird mit den Zeichen 0 und 1 beschrieben.
Die Stellung Jedes Riegels, der genauso steht wie der oberste, wird mit 1 bezeichnet, jede andere mit 0.
Der oberste Riegel steht also IMMER in der Stellung 1.

Die Stellungen aller vier Riegel schreibe ich in einer Zeile, die des obersten ganz links usw.

Es gibt dann nur 7 Ausgangsstellungen zu betrachten.

1 1 1 0 nenne ich A
1 1 0 1 nenne ich B
1 1 0 0 nenne ich C
1 0 1 1 nenne ich D
1 0 1 0 nenne ich E
1 0 0 1 nenne ich F
1 0 0 0 nenne ich G


In dieser Schreibweise führt etwa der Schalter S1 die Stellung B über in C oder E oder F.

Ich betrachte nun eine Menge M von Zeichenketten. In M seien die sieben einstelligen Zeichenketten A bis G, eine leere Zeichenkette der Länge Null und alle beliebigen Aneinanderreihungen dieser Elemente.

Jeder Zeichenkette aus M ist eindeutig eine andere zugeordnet.
Ich nenne sie "ihre normierte Darstellung".
Der leeren Kette wird wieder die leere Kette zugeordnet.
Für alle anderen entsteht diese aus der ursprünglichen, durch Streichen aller mehrfach vorkommenden Zeichen (bis auf eines) und durch Ordnen nach dem Alfabet.

Diese endliche Teilmenge der normierten Ketten nenne ich N.

In N bestimme ich nun 3 Transformationen T1, T2 und T3.

Jede von ihnen "bleibt in N". Die leere Kette wird von jeder wieder in die leere Kette übergeführt.

Für jede Transformation gebe ich an, wie sie auf die 7 einstelligen Ketten A bis G wirkt.
Das Ergebnis für jede andere (längere) Kette entsteht durch Aneinanderreihen der Ergebnisse aller Bestandteile (Einzelzeichen) und anschließendes Normieren.


A --T1--> CEF
B --T1--> CEF
C --T1--> ABDG
D --T1--> CEF
E --T1--> ABDG
F --T1--> ABDG
G --T1--> CEF


A --T2--> D
B --T2--> G
C --T2--> F
D --T2--> A
E --T2--> leere Kette (vergebe gar keinen Namen dafür)
F --T2--> C
G --T2--> B


A --T3--> BG
B --T3--> AD
C --T3--> E
D --T3--> BG
E --T3--> CF
F --T3--> E
G --T3--> AD


T1, T2 und T3 entsprechen offensichtlich den Schaltern S1, S2 und S3.
Die leere Kette der Stellung 1 1 1 1 (Tür offen).

Die Aufgabenstellung kann man jetzt so fassen.

Suche eine Folge von Transformationen, welche die Zeichenkette ABCDEFG in die leere Kette überführt.


Nun beginnt das "Fingerspitzengefühl".

Zunächst sieht man, dass die leere Kette nur von T2 aus E entsteht.
Wenn es so eine Folge überhaupt gibt, muss sie also mit T2 enden.
Man sieht auch, dass T2 die gute Eigenschaft hat, kurze Ketten zu erzeugen.

Als nächstes wird man Ausschau nach E als Ergebnis halten. Da sieht man dass T3 zweimal E liefert. Auch sind die Ergebnisse von T3 recht kurz, was gut ist.

T1 liefert längere Ketten, aber nur zwei Arten davon.



Der naheliegende Beginn (aber nicht notwendig der beste) ist, einmal T2 anzuwenden.

ABCDEFG  --T2--> ABCDFG
C und F werden von T3 in E übergeführt, das klingt gut.

ABCDFG   --T3--> ABDEG
E soll gleich wieder verschwinden.

ABDEG    --T2--> ABDG
Es ist nichts dazugekommen, gut so.

Nach etwas Probieren kommt man auf:

ABDG --T1--> CEF

Jetzt ist es leicht:
CEF  --T2--> CF

T3 bietet sich an:
CF   --T3--> E

Hurra
E    --T2-->
 

 

Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösungen falsche Lösungen
 22 19 3
Bemerkungen : Mit der richtigen Lösungsidee gar kein großes Problem.

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aktuelle Aufgabe 16. Aufgabe Hall of FAME
 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
 
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© Karin S., Oktober 2003