DENK m a l   2004:  des Rätsels Lösung

Lösung der 1. Aufgabe   vom 1.2. 2004 ~~~~~~~~~~~~~~
Rolltreppe
 

als 1.Beispiel die Lösung von Sascha Kramer :

ich nehme an, ich steige die Stufen mit der Geschwindigkeit 1 Stufe pro Zeiteinheit (das kann eine Sekunde oder aber wegen der Allgemeinheit auch jede andere Dauer sein, dadurch bekomme ich alle möglichen Geschwindigkeiten).
jetzt also der Einfachheit halber: 1 Stufe/s
die Rolltreppe habe die Geschwindigkeit y Stufen/s.		 Rolltreppe
gehe ich die Treppe rauf, so ergibt sich eine resultierende Geschwindigkeit
hinauf:   1 + y   ( Stufen/Zeiteinheit z.B. Sekunden)
hinab:    1 - y

sei die gesuchte Anzahl der sichtbaren Stufen x.
zum Hochlaufen steige ich 24 Stufen, benötige also 24 s.
also ergibt sich die Anzahl
x = (1 + y) * 24 
(Geschwindigkeit mal Zeit ergibt Strecke, hier also Stufenzahl)

hinab laufe ich 264 Stufen, benötige also 264 s.
also:
x = (1 - y) * 264

gleichsetzen ergibt:
(1 + y) * 24 = (1 - y) * 264
    24 + 24y = 264 - 264y
        288y = 240
           y = 5/6 (Geschwindigkeit der Rolltreppe)
damit hat das Band also 5/6 meiner Geschwindigkeit.

damit ergibt sich die Anzahl der sichtbaren Stufen x:
 x = (1 + 5/6) * 24 = 11/6 * 24 = 44
[x = (1 - 5/6)* 264 = 1/6 * 264 = 44]
es sind also jederzeit 44 Stufen sichtbar.

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Beispiel 2, die Lösung von Uwe:

 
Rolltreppe
a = 24 (Anzahl der hochgestiegenen Stufen)

In der Zeit in der ich die 24 Stufen hochgestiegen bin, hat sich die Rolltreppe um Xa Stufen weiterbewegt. Die Anzahl der Stufen der Rolltreppe S, die zu jedem Zeitpunkt sichtbar sind, ist die Summe der hochgestiegenen Stufen a und der weiterbewegten Stufen Xa und beläuft sich somit auf  		b = 264  (runter)

Für den Abstieg auf der Rolltreppe benötige ich die 11-fache Zeit des Aufstiegs. Da die Aufstiegsgeschwindigkeit der Abstiegsgeschwindigkeit gleich ist, bewegt sich die Rolltreppe um 11 * Xa  Stufen weiter.

S = a + Xa (Gleichung 1).

 S = b - 11 * Xa  (Gleichung 2)

Gleichsetzen der Gleichungen 1 und 2:

     a + Xa  = b - 11 * Xa
<=> 12 * Xa  = b - a
<=> 12 * Xa  = b - a = 264 - 24 = 240
<=>      Xa  = 240 / 12
             = 20

In Gleichung 1 eingesetzt:

S = a + Xa  = 24 + 20          
S = 44 (dies ist die Lösung!!!)


Noch einmal in Kürze:
a) Wenn ich 24 Stufen hochsteige und die Rolltreppe mich in dieser Zeit um weitere 20 Stufen nach oben befördert, habe ich einen Höhenunterschied von 44 Stufen überwunden.
b) Wenn ich 264 (= 11 * a) Stufen nach unten gehe und die Rolltreppe mich in dieser Zeit um 220 (= 11 * 20) Stufen wieder zurück nach nach oben befördert, habe ich ebenfalls einen Höhenunterschied von 44 Stufen überwunden.

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Beispiel 3 die Lösung von Roland Koppenberger :


Von der Rolltreppe sieht man zu jeder Zeit gleich viele Stufen.

Läuft man die Treppe in eine Richtung, muss man dafür a = 24 Stufen bewältigen, man benötigt also alleine für die ganze Treppe 24 ZE (Zeiteinheiten).

Läuft man die Treppe in die andere Richtung, muss man dafür b = 264 Stufen bewältigen, man benötigt also alleine für die ganze Treppe 264 ZE.

Stellen wir uns nun vor, zwei Läufer laufen gleichzeitig auf der Treppe, einer von unten nach oben, der andere von oben nach unten. Die Läufer beginnen jeweils gleichzeitig unten bzw. oben und laufen einander entgegen.

Die beiden Läufer treffen sich dann nach ab/(a+b) = 22 ZE irgendwo auf der Treppe, jeder hat für seinen Teil 22 ZE gebraucht, das entspricht 22 Stufen, von der Rolltreppe müssen daher jederzeit doppelt so viele, also 44 Stufen sichtbar sein.

Exkurs:

Wem die Formel ab/(a+b) nicht klar sein sollte, der überlege wie folgt:
Läufer A bewältigt eine Treppe in a ZE, Läufer B in b ZE. Die jeweiligen Geschwindigkeiten betragen für Läufer A 1/a und für Läufer B 1/b Treppen pro ZE.
Wir wollen jetzt wissen, wie schnell (ZE) sie gemeinsam sind, wenn sie sich entgegenlaufen. Dazu stellen wir uns vor, anstatt zwei Läufer liefe nur ein dritter, allerdings mit der Summe der Geschwindigkeiten beider Läufer: Seine Geschwindigkeit wäre dann 1/a + 1/b Treppen pro ZE. Da wir jedoch wissen wollen, wie lange dieser dritte Läufer für die Treppe braucht (also ZE pro Treppe), müssen wir den Kehrwert davon nehmen, also: 1/(1/a+1/b) = ab/(a+b) ZE pro Treppe.

Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösungen falsche Lösungen
46 28 18
Bemerkungen :  

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aktuelle Aufgabe 1. Aufgabe Hall of FAME
 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt
 
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© Karin S., April 2004