denk mal - Auswertungen des Wettbewerbs 2004

DENK m a l 2004: des Rätsels Lösung

Lösung der 2. Aufgabe vom 1.3. 2004: Kasimir kreiselt

Vorbemerkung: Die Aufgabenstellung, das Karussell dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, kann auf zwei Arten interpretiert werden. (ich habe beide Interpretationen als gleichwertig und richtig betrachtet) Theorie: (von Heinz Mayr) Der Weg, den Kasimir zurücklegt, ist eine sog. Hypo-Zykloide, also die Ortslinie eines Punktes auf einem Kreis, der im Innern eines größeren Kreises abrollt. Haben die beiden Radien ein einfaches Verhältnis zueinander, so entsteht eine einfach geschlossene Linie mit "Spitzen", z.B. die bekannte Asteroide im Fall R : r = 4 : 1. In unserem Fall gilt das Verhältnis 2:1, und da "entartet" die Zykloide zu einer Strecke, nämlich dem Durchmesser des großen Kreises, der von jedem Kreispunkt zweimal durchlaufen wird, während sich der kleine Kreis mit zwei Umdrehungen wieder an seine Startposition begeben hat.
Variante a: der kleine Kreis dreht sich gegen den Uhrzeigersinn im großen Kreis	Variante b: der kleine Kreis dreht sich (um seinen Mittelpunkt) gegen den Uhrzeigersinn

Lösung von Sven Redecker (bevorzugt Variante a) Das entscheidende Wort dieser Aufgabe lautet Hypozykloide, denn um so eine Kurve handelt es sich wohl bei Kasimir's Weg. Seien r und R die Radien des kleinen und des großen Kreises und sei weiterhin t der Drehwinkel. Die Parameterdarstellung der Hypozykloide lautet dann: x = (R-r)cos(r/R * t) + rsin((R-r) / R t) y = (R-r)sin(r/R * t) - rcos((R-r)/R t) Für den Sonderfall r=R/2, der hier vorliegt erhält man: x = R * cos(t/2) y = 0 wobei der Fall betrachtet wird, das der Kurvenpunkt im Punkt (R/0) startet. Bei Kasimir ergibt sich somit eine periodische Hin- und Herbewegung auf dem Durchmesser des großen Kreises durch seinen Ausgangspunkt. Bis er nun also wieder an seinen Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, hat er sich auf dieser Gerade einmal nach rechts oben bis zum Rand des Großen Kreises und wieder zurück bewegt.
Diese Strecke s lässt sich nun einfach mit Pythagoras ermitteln: *s = 2 ( $1/2$ $sqr(2)$ R + R)* *= (2 + $sqr(2)$ ) R**
Lösungsweg: von Hannfried (bevorzugt Variante b) Erstaunlich aber wahr: Egal, auf welchem Umfangspunkt des kleinen Kreises Kasimir gelandet ist, wenn der kleine Kreis in dem großen Kreis abrollt, bewegt sich Kasimir immer entlang einer Geraden und zwar auf dem Durchmesser des großen Kreises, der durch den Landepunkt geht. Diese Behauptung wird gleich bewiesen. Anschaulich klar ist, dass Kasimir nach seiner Landung (irgendwo auf dem Umfang des kleinen Kreises) nach einer gewissen Karussell-Drehung den Umfang des großen Kreises berührt. Aus Symmetriegründen kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass dieser Berührungspunkt gerade auf 6 Uhr (dem südlichsten Punkt) des großen Kreises liegt. In Abb. 1 ist das der Punkt P₁, der jetzt als Kasimirs Startpunkt fungiert. In Abb. 1 ist auch ein x-y-Koordinatensystem eingeführt, dass die folgende Argumentation erleichtert. Jetzt genügt es zu zeigen, dass nach jeder beliebigen Karussellbewegung, die durch den Winkel $alpha$ gekennzeichnet ist, Kasimirs Position auf der y-Achse liegt. Dazu zerlegt man die Karussell-Bewegung des kleinen Kreises in zwei Teile: Die reine Verschiebung (Translation), also ohne Drehung. Dabei bewegen sich alle Punkte des kleinen Kreises um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung. M₁ verschiebt sich auf M₂ und P₁ auf P₂. Die reine Rotation, dabei dreht der kleine Kreis um seinen Mittelpunkt M₂. Die Rotation kommt dadurch zustande, dass der kleine Kreis in dem großen Kreis abrollt. Der Winkel um den sich der kleine Kreis dabei dreht ist in Abb. 1 mit $beta$ bezeichnet. Bei dieser Drehung wandert P₂ auf P₃. Um die obige Behauptung zu beweisen, ist es ausreichend, zu zeigen, dass sich die x-Komponenten dieser beiden Teilbewegungen zu null addieren. Dann liegt nämlich die neue Position P₃ wieder auf der y-Achse. Man setzt den Radius des großen Kreises gleich 1, der Radius des kleinen Kreises ist dann 1/2.
Nach Abb.1 ist P₂ die Position nach der Verschiebung. Die x-Komponente $xv$ der Verschiebung dann Die x-Komponente der Rotation $xr$ ist durch den Rotationswinkel $beta$ gegeben: und offensichtlich haben $xv$ und $xr$ entgegengesetzte Vorzeichen.
Wie groß ist $beta$ ? Der Rotationswinkel $beta$ ist offensichtlich proportional zu $alpha$ . Man betrachte mal die Karussell Bewegung, bei der der ganze Umfang des kleinen Kreises gerade einmal abgerollt ist. Dann liegt der Mittelpunkt des kleinen Kreises gerade auf der positiven y-Achse, und Kasimir (startend auf P₁) würde gerade wieder den großen Kreis (auf 12 Uhr-Position) berühren. In dieser Stellung ist $alpha$ = -180° und $beta$ = +180°. Wegen der Proportionalität zwischen $alpha$ und $beta$ ist also immer $alpha$ = - $beta$ . Daraus folgt: was zu zeigen war. Damit ist bewiesen, dass Kasimirs Bewegung auf dem Durchmesser des großen Kreises erfolgt. Zu berechnen ist noch die Länge der Strecke w von der in der Aufgabe gegebenen Startposition zum Rand des großen Kreises und zurück. (wenn r₁ der Radius des großen und r₂ der Radius des kleinen Kreises ist)
Mit Abb.2 ist leicht zu erkennen: Kasimir legt die Gesamtstrecke 2w zurück und *2w = 2(r₁- $1/2$ r₁ $sqr(2)$ ) = r₁(2 - $sqr(2)$ )**
Links: Uni Bayreuth: Betrachtungen zu Zykloiden (Link zugeschickt von Andreas Nagel- danke) und Matheplanet: Zykloiden und andere Parameterkurven