als Beispiel die Lösung von Erwin Koller :
Aus der Aufgabenstellung geht hervor:
Ein Junge ist 1 Jahr Ein Junge ist 9 Jahre Für die Mädchen bleibt 2 bis 8.
Die Mädchen stehen in einer dreistelligen bzw. in der sechsstelligen Zahl an 1. und letzter Stelle.
Allgemein könnte man formulieren: ABA * CDE = Axx.xxA, wobei x nur als Platzhalter zu verstehen ist.
Aus dem Produkt der Einerstellen der Faktoren ergibt sich:
- a. Wenn A = 2 kann E nur 1 oder 6 sein
- b. Wenn A = 3 kann E nur 1 sein
- c. Wenn A = 4 kann E nur 1 oder 6 sein
- d. Wenn A = 5 kann E 1, 3, oder 7 sein. Aber nicht 5 (5 Jahre sind
in diesem Fall schon die Mädchen) Um an der Hunderttausendererstelle des
Produkts das Alter der Mädchen zu erhalten, muss die 10er-Stelle des
ersten Faktors und die 100er-Stelle des zweiten Faktors mit den "älteren
Jungen" besetzt sein. Dadurch erhält man einen entsprechend hohen
Übertrag um das Produkt aus den beiden ersten Zahlen überhaupt
sechsstellig zu machen und die letzte Stelle das Alter der Mädchen
erreicht. Den höchsten Wert für das Produkt erhält man wenn man die
höchste freie Zahl an die Hunderterstelle der "Buben " setzt.
Bei E = 9 stehen 8 und 7 zur Verfügung. Mit 575 * 869 = 499.675 zeigt sich aber dass die geforderte Bedingung die "Mädchen an den Rand" nicht mehr erfüllt werden kann. Es fällt daher auch für A = 5 die 9 als mögliche Lösung für E aus. - e. Wenn A = 6 kann E nur 1 sein Aber nicht 6 (6 sind in diesem Fall schon die Mädchen)
- f. Wenn A = 7 kann E nur 1 sein
- g. Wenn A = 8 kann E nur 1 oder 6 sein
E kann nicht 2, 4, 5, oder 8 sein.
Es fällt auf, dass nur für A = 5, E von 1 oder 6 abweicht (3, 7)
Untersucht man die Varianten für 3 und 7 zeigt sich dass keine die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt.
Soweit meine ersten, mit späteren kleinen Ergänzungen versehenen Überlegungen.
Weitere zwingende Schlussfolgerungen sind mir leider nicht aufgefallen.
Ich wollte nun die ungefähre Größe der beiden Faktoren und ihre Veränderung mit zunehmenden Mädchenalter" wissen und nahm dazu die Überlegungen aus d. zu Hilfe:
Um an der Hunderterstelle des Produkts das Alter der Mädchen zu erhalten, muss die 10er-Stelle des ersten Faktors und die 100er-Stelle des zweiten Faktors mit den "älteren Jungen" besetzt sein.
Den höchsten Wert für das Produkt erhält man wenn man die höchste freie Zahl an die Hunderterstelle der "Buben " setzt.
282 * 976 = 275.523
383 * 971 = 371.893
Überraschender Weise zeigte sich schon hier eine Lösung für eine mögliche Zahlenverteilung.
Mit den restlichen Möglichkeiten für das Alter der Mädchen (4 - 8) zeigte sich keine sofortige Übereinstimmung.
Meine Antwort lautet daher: 383, 971 und 371.893 ist die einzige Anordnung der Kinder (Ziffern) um den gestellten Anforderungen zu entsprechen.
ein weiteres Lösungsbeispiel von Sascha Kramer:
Diese Aufgabe ist ein schönes Beispiel für den Einsatz numerischer
Methoden. Früher hätte man sich lange Gedanken gemacht, heute untersucht
man einfach alle Möglichkeiten.
Aus dem Aufgabentext geht folgendes hervor:
Ein Kind ist 1 Jahr alt.
Ein Kind ist 9 Jahre alt.
Zwei Kinder sind gleich alt, aber weder 1 noch 9 Jahre.
Zu Beginn werden zwei dreistellige Zahlen gebildet, die eine (mit den
Zwillingen) hat die Form aba. Danach wird das Produkt gebildet, dieses
lautet annnna, mit n:verschiedene Zahlen.
Um alle Möglichkeiten zu testen, habe ich ein Turbo-Pascal-Programm
geschrieben, welches nun folgt. Dort erläutere ich jeweils in eckigen
Klammern das Vorgehen.
program kinder;
uses crt;
var n,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k:integer;
x,y,z,v:longint;
begin
for a:=2 to 8 do [Hier wird die dreistellige Zahl gebildet,
die Zwillinge sind nur 2-8 Jahre alt]
for b:=1 to 9 do
if a<>b then [Das dritte Kind ist verschieden alt
zu den Zwillingen)
begin
x:=101*a+10*b; [Dies ist die Bildung der Zahl aba]
for c:=1 to 9 do [Nun die nächste dreistellige
Zahl,diesmal
mit Ziffern von 1 bis 9, die aber jeweils..]
if (c<>a)and(c<>b) then [..verschieden von den bereits
gewählten sein müssen]
for d:=1 to 9 do
if (d<>a)and(d<>b)and(d<>c) then
for e:=1 to 9 do
if (e<>a)and(e<>b)and(e<>c)and(e<>d) then
if
((b=1)or(c=1)or(d=1)or(e=1))and((b=9)or(c=9)or(d=9)or(e=9))then
[Hier
wird geprüft, ob unter den Kindern (ohne Zwillinge) die Alter 1 und 9 vorkommen]
begin
y:=100*c+10*d+e; [Bildung der Zahl]
z:=x*y; [Bildung des
Produktes]
k:=z mod 10; [Berechnung der letzten
Ziffer des
Produktes]
if k=a then [Nur wenn die letzte
Ziffer gleich
a, also das Zwillingsalter ist,
geht es weiter]
begin
v:=z div 10;
j:=v mod 10;
v:=v div 10;
i:=v mod 10;
v:=v div 10;
h:=v mod 10; [Hier werden die anderen Ziffern
ermittelt, um auf die erste Ziffer
zu kommen]
v:=v div 10;
g:=v mod 10;
f:=v div 10;
if f=a then [Wieder der Vergleich mit dem
Zwillingsalter]
begin [Nun folgt ein Test, ob den zwei
dreistelligen und der sechsstelligen Zahl die gleichen Ziffern..]
[...verwendet wurden, da hier
nur noch eine Lösung übrig bleibt, genügt dieser Test]
if (g+h+i+j=b+c+d+e)and(g*h*i*j=b*c*d*e) then
writeln(x,' ',y,' ',z);
end;
end;
end;
end;
readln;
end.
Als einzige Möglichkeit, die die vorgegebenen Bedingungen erfüllt, bleibt:
383 * 971 = 371893
Die Kinder sind also 1, 3, 7, 8, 9 Jahre alt, wobei die Zwillinge 3
Jahre alt sind.
