DENK m a l   2004:  des Rätsels Lösung 

Sommer-Mix

 Aufgabe 6 / 1: Primzahl  8    (ein kleiner Scherz)

Gesucht wird eine zehnstellige Primzahl, in der alle Ziffern genau ein mal vorkommen. (Die Zahl darf nicht mit 0 beginnen)

Lösung: Die gesuchte Primzahl gibt es nicht.
Lösungsweg: Jede Zahl, in der alle Ziffern von 0 bis 9 genau einmal vorkommen, hat die Quersumme 45 und ist damit durch 3 teilbar.

zurück  zur Aufgabe

Offiziere: Oberst ( O ), Major ( M ), Hauptmann ( H ) und Leutnant ( L )
Regimenter: 1 (gelb), 2 (rot), 3 (blau), 4 (grün)

Diese 16 Offiziere werden in einem quadratischen Hotel mit 4 mal 4 Zimmern untergebracht, so dass sich in jeder waagerechten und senkrechten Reihe je ein Offizier jeden Dienstgrades und zugleich je ein Vertreter jeden Regiments  befinden.

Bei dieser Lösung sind außerdem noch alle Ränge und Regimenter auch in den beiden Diagonalen vertreten. Und in den vier Eckzimmern. Und demzufolge auch in den vier zentralen Räumen. Die Aufgabe geht mindestens bis ins 18. Jahrhundert zurück, wo man die sechzehn Bildkarten eines Kartenspieles so auslegen sollte, dass jeder Wert und jede Farbe ...

Zusatzbemerkung 2 :
Dies ist ein altes Problem, von geschichtlichem Interesse. Ein Zahlenquadrat der Ordnung n heißt lateinisch, wenn jede Zahl von 1 bis n in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommt. Zwei lateinische Quadrate gleicher Ordnung heißen orthogonal, wenn beim Übereinanderlegen alle geordneten Paare aus {1,2,..,n}entstehen. 1779 beschäftigte sich Leonhard Euler mit dem Problem von 6 Offizieren aus 6 verschiedenen Regimentern. Euler vermutete damals, dass dieses Problem unlösbar sei, was erst 1959 widerlegt wurde.

zurück  zur Aufgabe  

zurück  zur Aufgabe   

Man nehme zwei Zahlen bestehend aus den Ziffern x, y und z.
Die erste Zahl ist 100x+10y+z,
die Zweite 100z+10y+x.
Die Differenz lautet 99x-99z=99(x-z).
Da, das Ergebnis ein dreistellige Zahl ist, muss die Differenz x-z eine einstellige Zahl größer als eins sein. Also multipliziert man der Reihe nach 99 mal die Differenz von x-z (2, 3, 4 usw.) und schaut ob es möglich ist durch Subtraktion zweier Ziffern aus dem Produkt die Differenz x-z zu bilden.

2 x 99 = 198
3 x 99 = 297
4 x 99 = 396
5 x 99 = 495  Bingo! 9-4=5 Also 954-459=495
6 x 99 = 594
7 x 99 = 693
8 x 99 = 792
9 x 99 = 891

zurück  zur Aufgabe   

Sei s der Weg ins Büro und q der Abstand zwischen 2 Querstraßen, so gilt :

(1/4) s + 2 q = (1/3) s
3 s + 24 q = 4 s
s = 24 q
t = 24 q * 1min/q = 24 min

Es kommen noch 4 halbe Minuten für das Warten hinzu, also ist die Gesamtzeit 26 min.
Herr Fleißig ist 8:26 im Büro, trinkt noch schnell einen Kaffee und beginnt 8:30 seinen Dienst ;)

[„Im Schnitt“ irritiert  jedoch etwas, wenn das Warten schon in der Durchschnittszeit berücksichtigt ist, dann dauert der Büroweg nur 24 min.]

zurück  zur Aufgabe    

Mein 6-eckiger Stern besteht aus 18 Hölzchen und ergibt 8 Dreiecken. Ich möchte aber einen Stern mit genau  6 Dreiecken haben. Es sind nur 2 Hölzchen umzulegen, um mir meinen Wunsch zu erfüllen.
 
 

die Lösungen in schönster ASCII-Malerei
1.        *          / \         /   \  *-----*     *-----*   \   /       \   /    \ /         \ /     *-----------*    / \         / \   /   \       /   \  *-----*     *-----*         \   /          \ /           *  ersteloesungderaufgabe	2.        *          / \         /   \  *-----*-----*-----*   \               /    \             /     *-----------*    / \         / \   /   \       /   \  *-----*-----*-----*         \   /          \ /           * ersteloesungderaufgabe	3.        *          / \         /   \  *-----*-----*-----*   \     \   /     /    \     \ /     /     *     *     *    / \         / \   /   \       /   \  *-----*-----*-----*         \   /          \ /           * ersteloesungderaufgabe

zurück  zur Aufgabe   

zurück  zur Aufgabe  

Es gibt 96 mögliche Lösungen, aber jeweils 6-fach kongruent (Drehen und Spiegeln), d.h. nur 16 verschiedenene.

Die Summe in jedem der drei kleinen Dreiecke soll 28 sein. Insgesamt sind das 3 * 28 = 84. Die Zahl im Zentrum (a) kommt bei dieser Summenbildung drei mal vor, die Zahlen auf den “Speichen“ (b, c, d, e, f, g) je zwei mal und die Zahlen auf den Seitenmitten des großen Dreiecks je ein mal. Die Summe der Zahlen von 1 bis 10 ist 55. Die Differenz 84 – 55 = 29 kommt also durch das mehrfache Auftreten in der Gesamtsumme zustande:
2a + b + c + d + e + f + g = 29
Diese Gleichung lässt sich nur mit a = 1 lösen, das heißt, die 1 kommt in das Zentrum. Außerdem müssen die Unbekannten b bis g die Zahlen 2 bis 7 sein.
Die übrigen (die großen) Zahlen 8, 9, 10 müssen also auf die Seitenmitten kommen. Der Rest wird durch Probieren schnell gefunden.

		5           ***          * * *         *  4  *        8   *   10       *    1    *      *    * *    *     *   3     2   *    * *           * *  7 * * * * 9 * * * * 6 ersteloesungderaufgabe

zurück  zur Aufgabe  

zurück  zur Aufgabe    

Wenn man das Quadrat genau anschaut, erkennt man dass man daraus 4 Gleichungen mit 4 unbekannten erstellen kann: I )   a + c = 8  II)   e - f  = 8 III)  e - c = 12 IV)  a + f = 12 daraus folgt a = 8 - c f = c + 4 e = 12 + c

aus der ersten Gleichung ist ersichtlich, dass 0 < c < 8. Um jegliche negativen Differenzen  auszuschließen, gilt: 0 < c < 6 Da es sich um 8 verschiedene Zahlen handeln muss sind weitere Lösungen auszuschließen: Lösung a b c d e f g h nein 3 6 5 18 17 9 8 5 nein 4 7 4 17 16 8 9 6 nein 5 8 3 16 15 7 10 7 nein 6 9 2 15 14 6 11 8 ja 7 10 1 14 13 5 12 9 Es bleibt genau eine Lösung übrig!

zurück  zur Aufgabe