In der Bundesliga spielen 18 Mannschaften nach dem Prinzip "Jeder gegen Jeden" in einem Hinspiel und einem Rückspiel. (bzw. Heim- und Auswärtsspiel)
Somit muss jede Mannschaft im Laufe der Saison 34 Spiele (34 Spieltage) bestreiten.
Mannschaften erhalten für einen Sieg 3 Punkte, bei einem Remis 1 Pkt. und bei einer Niederlage keinen Punkt. (3-Punkte-Regel seit 1995)
Meisterschaft, Tabellenstand, Auf- und Abstieg entscheiden sich bei gleicher Punktzahl nach der Tordifferenz. Sind Punktzahl und Tordifferenz bei mehreren Mannschaften gleich, ist diejenige besser platziert, die mehr Tore erzielt hat. (Ist auch die Anzahl der erzielten Tore gleich, so findet ein Entscheidungsspiel auf neutralem Platz statt.)
Lösung von Exil-Rheinländer:
Fragen:
a) Mit wie wenig Punkten konnte man in der ersten Saison Meister werden?
b) Mit wie vielen Punkten stieg man in der nächsten Saison trotzdem ab?
c) Wie wenig Punkte reichen u. U. zum Champions-League-Qualifikation (2. Platz))
d) Wie wenig Punkte reichen u. U. zum UEFA-Cup-Platz (mindestens 6. Platz)
Antworten:
zu a)
Wer Meister werden will, muss mindestens so viele Punkte haben, wie alle
Mannschaften der Liga im Schnitt. Denn hätte man weniger, so gäbe es mindestens
eine Mannschaft mit mehr Punkten, und dann wäre diese besser platziert.
Pro Spiel werden mindestens zwei Punkte vergeben (bei einem Remis) sonst sogar
drei. Am Ende der Saison sind also mindestens 34 x 9 x 2 (Spieltage x Spiele
pro Spieltag x 2) Punkte = 612 Punkte vergeben.
Meister kann also nur werden, wer mindestens 612 : 18 = 34 Punkte errungen hat.
Bleibt noch die Frage, ob 34 Punkte auch ausreichend sein können. Dazu müsste
jedes einzelne Spiel unentschieden enden. Dann entschiede die Tordifferenz (Null
bei allen Mannschaften), und danach die Anzahl erzielter Treffer. Geht also.
zu b)
Um Letzter zu werden, darf eine Mannschaft höchstens so viele Punkte haben, wie
alle Mannschaften der Liga im Schnitt.
Um abzusteigen genügt es aber, den 16. Platz zu belegen. Das heißt, man darf
höchstens so viele Punkte haben, wie die besten 16 Mannschaften der Liga im
Schnitt.
Maximale Punkt-Ausbeute hat die Liga, wenn es keine Unentschieden gibt (drei
Punkte je Spiel). Dann kommt die Liga insgesamt auf 34 x 9 x 3 = 918 Punkte.
Wenn man jetzt noch annimmt, dass die beiden Letztplatzierten in den Spielen
gegen die besser platzierten Mannschaften völlig leer ausgegangen sind, so liegt
der Schnitt für die verbleibenden 16 Teams bei (918 - 6) : 16 = 57 Punkten.
Folglich kann man mit 57 Punkten noch absteigen.
Daraus folgt übrigens, dass der Meister dieser Saison ebenfalls nur 57 Punkte
erzielt hat, und deshalb tatsächlich nur auf Grund des besseren Torverhältnisses
gekürt werden konnte.
zu c)
Für den 2. Platz kann es genügen, gegen alle am Ende schlechter platzierten
Mannschaften ein Remis erzielt zu haben - bei zwei Niederlagen gegen den
späteren Meister.
Das wären dann 32 x 1 +2 x 0 = 32 Punkte
zu d)
Für den 6. Platz kann es genügen, gegen alle am Ende schlechter platzierten
Mannschaften ein Remis erzielt zu haben - bei Niederlagen gegen die übrigen
Teams.
Das wären dann 24 x 1 +10 x 0 = 24 Punkte.
Lösung zum Rätsel von mathefifi:
Dies Saison hat (laut Internet) 34 Tage a je 9 Spiele => 306 Spiele
Für ein entscheidendes Spiel werden 3 Punkte vergeben und für ein
unentschiedenes 2 Punkte.
Es werden also mind. 306*2 = 612 Punkte vergeben. Offensichtlich haben dann alle
gleich viele Punkte also 612/18 = 34. Dies reicht also für den Meistertitel,
sofern man die meisten Tore geschossen hat.
Um in der ersten Saison Meister zu werden genügten 34 Punkte. (sofern die
anderen alle entsprechend ungünstig gespielt haben d.h. nur „Unentschieden“ und
weniger Tore)
Um den Frust der Absteiger zu erklären gehe wie folgt vor. Der 16. Rang muss
möglichst viele Punkte erreichen. Betrachten den Fall, dass die Ränge 17 und 18
möglichst wenige Punkte erreichen sprich alle Spiele gegen die Mannschaften der
Positionen 1-16 verlieren.
Zwischen 17/18 und den Rängen 1-16 gibt es insgesamt 64 Spiele also erhalten die
16
Mannschaften je12 Punkte. (4 Spiele à 3 Punkte).
Die 16 Mannschaften unter sich spielen 240 Spiele (16*15). Also können hier
maximal 240*3 = 720 Punkte verteilt werden. Wenn alle gleich viel bekommen also
45 Punkte pro Mannschaft. Das geht, wenn z.B.. jede Mannschaft das Heimspiel
gegen die andere gewinnt und das Auswärtsspiel verliert. Also hat jede
Mannschaft der Ränge 1-16 genau 12 + 45 = 57 Punkte.
In der zweiten Saison konnte man mit 57 Punkten trotzdem absteigen.
Um die Mindestpunktzahl für die Champions-League-Qualifikation zu berechnen
mache ich folgende Überlegungen. Verteile die Punktzahlen so, dass auf den
ersten Platz möglichst viele Punkte kommen. Also der erste Platz gewinnt alle
Spiele hat also 34*3= 102 Punkte. Die Ränge 2 bis 18 erhalten dadurch keine
Punkte. Nun sind noch 272 Spiele zwischen diesen möglich. Es müssen also
mindestens 272*2 = 544 Punkte vergeben werden. Dies macht pro Mannschaft 32
Punkte. D.h. alle Spiele enden unentschieden. Somit kommt also diejenige
Mannschaft mit dem besten Torverhältnis auf den zweiten Platz.
Es genügt also im besten Fall 32 Punkte zu erreichen um auf den 2. Platz zu
gelangen.
Um mit möglichst wenigen Punkten den 6. Rang zu erreichen gehe wie folgt vor.
Teile wiederum in die Gruppen der Ränge 1 bis 5 und 6 bis 18 auf.
Die Ränge 1 bis 5 machen 20 Spiele unter sich aus. Zum Beispiel spielen sie alle
„unentschieden“. Somit hat jeder der fünf Mannschaften 8 Punkte.
Die Ränge 6 bis 18 machen 156 Spiele unter sich aus. Um hier möglichst eine
kleine Punktezahl zu erreichen spielen auch hier alle „unentschieden“. Somit hat
auch hier jede Mannschaft 156*2/13=24Punkte.
Es gibt 2*65=130 Spiele zwischen den Mannschaften. Diese sollen alle von den
ersten fünf Rängen gewonnen werden. Also kommen zu den bisherigen 8 Punkten noch
130*3/5=390/5=78 Punkte hinzu. Also haben die ersten 5 Ränge je 86 Punkte und
die 13 letzten je 24 Punkte.
Um mindestens den 6. Rang zu erreichen braucht man im besten Fall nur 24
Punkte.
