So schafft er den ei'rigen zweiten Weg
genau in fünfsechstel der Zeit.
Jetzt sind dir die Parameter bekannt,
nun Rätsler mach dich bereit.

Berechne das Ding, auf das Kasimir traf -
einen Körper der Geometrie,
ein gerader dazu. Sonst würd's Rätsel zu schwer,
auch eindeutig wäre es nie.

Ermittle die Höhe! (Der Tipp sei genannt:
da brauchst du den Cosinussatz.)
Viel leichter die Frage: Wie nennt man die Figur
auf Kasimirs Minigolfplatz?

Zunächst einmal betrachten wir die Parameter des Kreisausschnittes (aufgeklappter Kegelmantel). Die gerade Linie, die die beiden Punkte (Kasimirs Ausgangs- und Endpunkt) verbindet ist eine Sekante des Kreisausschnittes und somit die kürzeste Verbindung "beider" Punkte um den Kegelmantel herum.

Die erste Hälfte des Weges läuft der Käfer mit halber Geschwindigkeit (Str. 6) also mit 3,5 m pro Stunde, die 2. Hälfte doppelt so schnell wie gewöhnlich also mit 14 m pro Stunde.

Auch hier gibt die 2. Fassung des Gedichtes einen deutlichen Hinweis was doppelt so schnell wie gewöhnlich bedeutet (2. Fassung 2. Str.).

Er benötigt fünfsechstel der Zeit (Str. 7) für den "kürzesten" Weg, also genau 10 Minuten.

Den Abstieg legt er 4mal so schnell zurück wie den Aufstieg; beide Wege sind gleich lang, also ergibt sich 10/5 Minuten mit dem Tempo 14 m/h für den Abstieg, entsprechend 4*10/5 Minuten für den Aufstieg.

In beiden Fällen ergibt sich ein halber Weg mit genau 46,666 cm.
Macht zusammen für den kürzesten Weg

s = 0,933333 Meter.

Somit haben wir jetzt die wichtigsten Parameter für unseren Kreisausschnitt.

1. Kreisbogen = Umfang u = 1,40 m
2. Sekante  s = 0,9333 m

Obwohl diese beiden Größen geometrisch in einer Abhängigkeit stehen, gibt es keine Formel, die sofort den Radius (und somit die Länge der Mantellinie) ergibt.

Eine Abhängigkeit ist klar:

          


Die 2. Abhängigkeit ist schwerer zu finden:
(In meiner 2. Fassung gibt es da einen Tipp (Str. 9))



[c ist die Sekante (93 1/3 cm) und a und b der unbekannte Radius]

Somit habe ich den Radius r und den Winkel winkel  in einer 2. Abhängigkeit.

Wurzel ziehen - Excel herausholen - programmieren - (Stunden später)

Somit hätte der Winkel in der "Neuen Fassung" 

winkel = 171,403954°

Daraus ergibt sich:

der Radius

r = 0,4679828 cm (Länge der Mantellinie)

der Durchmesser des Kegels war bei 1,4 m Umfang bereits klar:

d = 0,4456338 m

Daraus ergibt sich nach Pythagoras die Höhe des Kegels mit h = 0,4115344 Meter.

2.Lösungsweg von Herbert Nell:
Es geht sogar OHNE Cosinussatz!

Da es mir als sinnvoll erscheint den halben Winkel als alpha () zu bezeichnen, ergibt sich aus der 1. Gleichung (für den Kegelumfang)

und aus der 2. Gleichung:



in die erste Gleichung eingesetzt:



Auch nach dieser Berechnung beträgt der Winkel winkel = 171,403954 grad.

Es folgt jetzt, da der Radius bekannt ist, die Ermittlung der Kegelhöhe über Pythagoras (siehe oben!)   h = 0,4115344 Meter.