Es ist
S liegt also zwischen 3,10 und 3,11*1020 (1)
Es ergibt die quadratische Gleichung für n:
Damit kann man mittels obiger Abschätzung(1) n eingrenzen zu 187653 < n <
187804 (2)
Da S auf die Ziffer 1 endet, ergeben sich für n folgende Endungen
g1, g6, u3 oder u8, hierbei steht g für eine gerade, u für eine ungerade Ziffer.
Die Endung 21 für S bedeutet
die Endung 11 oder 61 für
bzw. 22 oder 32 für n*(n+1)
Insgesamt sind folgende Endungen für n möglich: 33, 41, 58, 66
Zusammen mit den möglichen Hunderterstellen (2) bleiben fünf Möglichkeiten für n
und man findet leicht durch Probieren die Lösung
n = 187666 und
S = 310 089 475 472 083 627 321
13 + 23 + 33 + ....... + n3
ergibt eine 21-stellige Zahl.
Von dieser Summe sind allerdings nur die ersten drei und die letzten drei Stellen bekannt.
Sie sieht folgendermaßen aus: 310 ..............321 (insgesamt 21 Ziffern)
Mit diesen Angaben soll das letzte Glied (n) der obigen Folge rekonstruiert werden.
Gesucht wird also eine Formel, mit der das "n" näher bestimmt werden kann.
Die jeweiligen Endergebnisse der oben genannten Summe sind Quadratzahlen,
13 = 1
13 + 23 = 9
13 + 23 + 33 = 36
usw.
Daraus lässt sich folgende Formel ableiten:
310..........321 = (n*(n+1)/2)2
Da die gesuchte Summe 21stellig ist, muss n 6stellig sein.
Da die ersten drei Ziffern der 21stelligen Zahlt bekannt sind, muss es sich bei den ersten drei Ziffern von n um die Ziffern 187 handeln. Nur so gelangt man zu einer 21stelligen Zahl mit den Anfangsziffern 310.
Nun gilt es, n noch weiter einzugrenzen:
Die untere Grenze für n*(n+1)/2 ist die Wurzel aus 310 * 1018
während die obere Grenze für n*(n+1)/2 die Wurzel aus 310 * 1018
n muss demnach also zwischen 187652 und 187804 liegen.
Die 21stellige Zahl endet auf 321, was eine nähere Definition der Art
(n*(n+1)/2)2 = z*1000 + 321 zulässt. (z ist dabei eine beliebige ganze Zahl)
Daraus ergibt sich:
(n*(n+1))2 = k*4000 + 1284
Die letzten drei Ziffern von (n*(n+1))2 müssen also 284 lauten.
Außerdem soll (n*(n+1)/2)2 auf ...321 enden,
also von der Form (n*(n+1)/2)2 = k*1000 + 321 sein, wobei k irgendeine ganze Zahl ist.
Hieraus folgt (durch multiplizieren der 4 im Nenner), dass
(n*(n+1))2 = k*4000 + 1284 ist.
Insbesondere müssen die letzten drei Ziffern von (n*(n+1))2 284 sein
Jetzt kann man sich mittels Modulo-Rechnung der gesuchten Zahl n nähern.
So muss die letzte Ziffer der Zahl n entweder 1, 3, 6 oder 8 lauten, da (n*(n+1))2 auf 4 endet.
Bezieht man die vorletzte Ziffer von (n*(n+1))2 nun mit ein - also 84, ergeben sich für n die möglichen Endziffern 41, 91, 33, 83, 16, 66, 8, 58
Geht man nun unter Einbeziehung der 3. Endziffer ebenso vor, erhält man folgende Möglichkeiten für die drei letzten Ziffern von n: 41, 541, 333, 833, 166, 666, 458, 958
Von dieser Auswahl fällt nur die 666 in den bereits eingegrenzten Rahmen 187652 und 187804.
n ist demnach 187666
und die 21stellige Zahl lautet: 310089475472083627321.
