von mathefifi
bekam ich die
komplette Liste aller Faltungen für 4, 5
und 6 Spalten
(im "pdf-Format", was mit dem "Acrobat-Reader" problemlos geöffnet werden kann)
Lex Bedijs schickt einige interessante Ansätze zur Formel:
Dies ist z.B. eine Faltungsmöglichkeit, die tatsächlich möglich ist :
Dies jedoch ist nicht möglich, da sich die Faltung von Blatt 3 nach
Blatt 4 mit der Faltung von Blatt 1 nach Blatt 2 schneiden würde.
Die tatsächlichen Möglichkeiten liegen also unter n!.
Bis zu 6 Faltungen kann man das mit etwas zeitlichem Aufwand noch manuell untersuchen. Für höhere Blattzahlen kann man den Rechenknecht benutzen.
Meine Untersuchungen ergaben :
| Blätter | n! | möglich | Bemerk |
| 2 | 2 | 2 | alle |
| 3 | 6 | 6 | alle |
| 4 | 24 | 16 | |
| 5 | 120 | 50 | |
| 6 | 720 | 144 | |
| 7 | 5040 | 462 | |
| 8 | 40320 | 1392 | |
| 9 | 362880 | 4536 | |
| 10 | 3628800 | 14060 | |
| 11 | 39916800 | 46310 | |
| 12 | 479001600 | 146376 | |
| 13 | 6227020800 | 485914 | |
| 14 | 87178291200 | 1557892 | |
| 15 | 1307674368000 | 5202690 | |
Die "Weltformel" für die mögliche Anzahl ist nicht offensichtlich.
Die Ideen zur "Weltformel" von Thomas Hähndel
Meine Ansätze waren:
- Alle Permutationen aufschreiben und dann die herausnehmen, welche sich
offensichtlich nicht falten lassen. Bei vier Blättern denkt man noch, wenn
eine Permutation rausfällt, dann braucht man die nicht weiter bei den nächst
höheren Spaltenzahlen (n) zu verfolgen, aber das stimmt natürlich nicht. Das
merkt man dann bei sechs sehr schnell. Die einzige Systematik scheint zu
sein, dass die Anzahl der zulässigen Permutationen pro gleicher Anfangszahl
immer gleich ist. Warum das so ist, kann ich aber nicht beweisen. Es spart
zumindest einiges an Falten :-)
Die Permutation (n!) ist also eine Zahl an Varianten, die höchstens erreicht werden kann, - Wenn wir die Falze betrachten, dann haben wir jeweils zwei Möglichkeiten: nach oben oder nach unten falten. Es gibt somit 2(n-1) Möglichkeiten zu falten, wobei jedoch noch die Reihenfolge des Faltvorganges entscheidend ist, welcher (n-1)! Permutationen zulässt. Hierbei hat man aber mit Schwierigkeiten zu kämpfen, dass manche Lösungen doppelt sind, es also keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man faltet. Auch hier gibt es Faltungen die nicht zulässig sind, wenn z.B.. im Moment der Faltung eine andere Spalte unterliegt. Die Möglichkeit, hier Wiederholungen auszunutzen, ist sehr begrenzt. Maximal Faktor 4.
- Wir nehmen fertige Faltungen mit (n-1) Spalten und ergänzen nur die n-te Spalte, finden also alle Möglichkeiten, wo diese neue Spalte zu liegen kommen könnte. Auch hier ist die Freude kurz, eine allgemeine Lösung zu finden, da es beginnt, komplex zu werden, wenn das (n-1)-te Spaltenende (Falte) irgendwo in der Mitte tief vergraben ist.
- Nachdem man sich mit dem Falten abgequält hat, mit der Methode des genauen Hinsehens etwas zu finden, klappt auch nicht. Zwar sehen die Zahlen in der Reihe sehr ähnlich aus, aber eine Logik konnte ich nicht erkennen:
Andreas Nagel ... hat zusätzlich Google bemüht und schreibt:
Ein
gewisser W.F.Lunnon hat sich schon in den sechziger Jahren mit dem Problem
beschäftigt:
W.F. Lunnon, A map-folding problem, Mathematics of Computation, 22
(101):193-199, 1968
Auch von J.E.Koehler gab es zur gleichen Zeit Untersuchungen über die
Faltmöglichkeiten eines Briefmarkenstreifens, so wie er aus den Automat kommt:
Koehler, J. E. "Folding a Strip of Stamps." Journal of Combinatorial Theory,
5:135-152, 1968
Franjo schlug nach bei Gardner:
man findet 16 Möglichkeiten für den Streifen aus vier Spalten, nämlich
1234, 1243, 1342, 1432, 2341, 2431, 2134, 2143,Wie genau, das steht im Buch „Martin Gardner’s mathematische Denkspiele“ (Hugendubel, München 1987) auf S. 33.
3412, 3124, 3421, 3214, 4123, 4312, 4213, 4321.
Das Kapitel heißt „Die Kombinatorik des Papierfaltens“
und der zitierte Sinnspruch ist der Untertitel dort.
Für n = 5 gibt Gardner den Wert 50, für n = 6 den Wert 144 an.
Noch scheint niemand eine nicht-rekursive Formel gefunden zu haben.
Die „Zusatzaufgabe“ wird somit wohl niemand lösen ...
STIMMT... leider!
