Beweise,- total unmoeglich ;-)

(un)-möglich ? ! ?

total Beweise

Ein paar mathematische Beweise, die auf die eine oder andere Weise versuchen, die mathematische Logik ad absurdum zu führen.

16.4.97 : besonders freut es mich, dass meine unmöglichen Seiten dazu animiert haben, mir ein paar weitere "Beweise" zuzusenden.
Dafür möchte ich mich bei allen ganz herzlich bedanken!
Juni '97 : zwei weitere "Beweise" konnten eingefügt werden
Sep. '98: ein neuer unmöglicher Beweis (von Jörg Ackermann)
Dez. '98: es haben sich inzwischen weitere unmögliche Beweise angesammelt :
von Hartmut Höllwarth und Thomas Karger (der erste geometrische!)
Juli '99: nach langer Zeit ein neuer unmöglicher Beweis (von Friederike Ernst)
Sept.2000 Geometrie Beweis 2 von Tomi Cvetic
Nov.2000Beweis 2 zur Reihenentwicklung von Rolf Kinscher

? ? ?

Grafik    Elefant und Mücke wiegen gleich viel ;-)
Ich beweise es euch: Eine Mücke und ein Elefant wiegen gleich viel !?! das Gewicht des Elefanten beträgt x Das Gewicht der Mücke beträgt     y Beide zusammen wiegen            2v Also ergeben sich automatisch zwei Gleichungen: x - 2v = -y x = -y + 2v Wir multiplizieren die linken und die rechten Seiten der beiden Gleichungen miteinander: x * x - 2vx + v * v = y * y - 2vy + v * v oder:     (x - v) (x - v) = (y - v) (y - v) Wenn wir nun die Quadratwurzeln aus beiden Seiten ziehen , erhalten wir: x - v = y - v     x = y Elefant = Mücke

zugeschickt von Friederike Ernst...danke!

   1 = 2
             a = b      |* a             a² = ab     |- b²        a² - b² = ab - b² (a + b)*(a-b) = b *(a-b)    | /(a - b)          a + b = b [ da a = b ist, ist a + b = 2b ]     2b = b                   | / b      2 = 1zugeschickt von Hartmut Höllwarth /HTW-Dresden ...danke!
Grafik

Grafik    Unfug mit binomischen Formeln ;-)
                  -6 = -6               4 - 10 = 9 - 15       4 - 10 + 6 1/4 = 9 - 15 + 6 1/4 2² - 2*2*5/2 + (5/2)²= 3² - 2*3*5/2 + (5/2)²             (2 - 5/2)²= (3 - 5/2)²              2 - 5/2 = 3 - 5/2                    2 = 3

  2 = 3

Wenn    a + b = c dann ist auch:    3a - 2a + 3b - 2b = 3c - 2c folglich ist:         3a + 3b - 3c = 2a + 2b - 2c nach dem Ausklammern erscheint:         3(a + b - c) = 2(a + b - c) geteilt durch (a+b-c):                    3 = 2

zugeschickt von Jörg Ackermann - danke!

ein - gebrochen:

     1 = 1       4     5      --- = ---       4   5     1         1 4 * --- = 5 * ---       1         1     4 = 5
             q.e.d.



Grafik    wo liegt die Wurzel des Problems:

Setzte X=3 und Y=4 :           X+Y = 7            |*(X-Y) (X+Y)*(X-Y) = 7*(X-Y) X²+XY-XY-Y² = 7X-7Y        |+Y²-7X X²-Y²+Y²-7X = 7X-7Y+Y²-7X         X²-7X = Y²-7Y        |+49/4    X²-7X+49/4 = Y²-7Y +49/4      (X-7/2)² = (Y-7/2)²     |Wurzel ziehen          -7/2 = Y-7/2        |+7/2             X = Y             3 = 4                         q.e.d.

zugeschickt von Sascha....vielen Dank !

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Grafik         4 =5

              -20 = -20           16 - 36 = 25 - 45 16 - 36 + (9/2)² = 25 - 45 + (9/2)²      (4 - (9/2))² = (5 - (9/2))²         4 - (9/2) = 5 - (9/2)                 4 = 5                         q.e.d.

zugeschickt von koop-mathematik.uni-freiburg.de ...danke!
         auch die Umkehrung gilt:
                                  4 = 5        4 - 9/2 = 5 - 9/2     (4 - 9/2)² = (5 - 9/2)² 16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4        16 - 36 = 25 - 45            -20 = -20                     w.z.b.w.

diese Version des Beweises hat mir "Ijon Tichy" zukommen lassen ... danke !

   5 = 7

          5 + 2 = 7     5 * (5 + 2) = 5 * 7         25 + 10 = 35    25 + 10 - 35 = 35 - 35    25 + 10 - 35 = 35 - 35 - 14 + 14    25 + 10 - 35 = 35 + 14 - 49 5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7)               5 = 7                       q.e.d
Grafik

   zwei beliebige Zahlen sind gleich ;-)

             a = b + c      a (a - b) = (b + c) (a - b)        a² - ab = ab - b² + ac - bc |-ac a² - ab - ac = ab - b² - bc a (a - b - c) = b (a - b - c)              a = b

von koop-mathematik.uni-freiburg.de
danke Andreas!
Grafik

aus der Reihe gebracht ;-)

Behauptung: 0 = 1

Diese Aussage lässt sich leicht beweisen.
Ausgehend von der Reihe :
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

setzen wir Klammern:
a ) (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + .... = 0
b ) 1 + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + .... = 1

daraus folgt, 0 = 1

q.e.d.

Behauptung:
     1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..........  = -1

Beweis:
     1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..........  =  S
     1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..........  =  S
     1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + ........) =  S
Also:          1 + 2 S                =  S
                     S                = -1

q.e.d. zugeschickt von Rolf Kinscher - vielen Dank!

alle Dreiecke sind gleichschenklig ;-)

Konstruktion:

Gegeben sei das beliebige Dreieck ABC
Zeichne die Mittelsenkrechte auf die Seite c.
Zeiche die Winkelhalbierende zu g/2 durch den Punkt C.
Der Schnittpunkt der beiden sei S.
Fälle die Lote von S auf die Seiten a und b. Die Lotfußpunkte seien D und E.
6.) Verbinde A und S, sowie B und S.

Beweis:

D SCD @ D SCE nach Kongruenzsatz WSW (Winkel - Seite - Winkel).
Beide Dreiecke haben die gemeinsame Seite $SC$ . Beide haben bei C den Winkel g/2, da $SC$ Winkelhabierende nach Konstruktion. Da am Lotfußpunkt beide Dreiecke den Winkel 90 ° haben (zwangsläufig), folgt nach dem Winkelsummensatz (a + b + g = 180° im Dreieck), dass auch die Winkel bei S gleich sein müssen.
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes gezeigt.
D SDB @ D SEA nach Kongruenzsatz SSW (Seite - Seite - Winkel) *
Die Seiten $SD$ und $SE$ müssen gleich lang sein, da nach 1.) die Dreiecke SCD und SED kongruent sind.
Die Seiten $SA$ und $SB$ müssen gleich lang sein aus Symmetriegründen, da S per Konstruktion auf der Mittelsenkrechten liegt. Zuletzt ist der gemeinsame Winkel der 90°- Winkel der Lotfußpunkte.
* gilt mit Einschränkung: der Winkel muss der längeren Seite gegenüberliegen. Das ist hier der Fall: $SB$ bzw. $SA$ sind die Hypothenusen in einem rechtwinkligen Dreieck, und nach Pythagoras gilt: c² = a² + b², also sind $SB$ bzw. $SA$ die längsten Seiten in ihrem Dreieck.
Mit 1.) gilt: Mit 2.) gilt: . Also folgt: a = = b.

q.e.d.

Anm.: In der Konstruktion wurde keine Seite bevorzugt behandelt. Wendet man die Konstruktion auf eine andere Seite an, so gilt sogar: Alle Dreiecke sind gleichseitig!!

zugeschickt von Thomas Karger und "Fenchel" ....herzlichen Dank!

Beweis dass ein 90° Winkel stumpf ist! ;-)

Konstruktion:

Beliebige Strecke AD und Punkt C so wählen, dass C senkrecht auf AD steht.
B so wählen, dass AD=BC und AB>CD
S=Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf AB und CD.

Beweis: Ich zeige, dass ADC (90°) = DCB ist

SD=SC (Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat den gleichen Abstand zu Anfangs- und Endpunkt der geteilten Strecke)
SA=SB (Gleiche Begründung wie in 1.)
AD=BC (Konstruktionsbedingt)
==> die Dreiecke ADS und SBC sind kongruent
Winkel ADS und BCS sind gleich gross (Wegen Kongruenz; Nur ein Winkel im Dreieck kann >=90° sein)
Winkel DCS und CDS sind gleich gross (Weil Dreieck SDC Gleichschenklig ist)
Also ist ADC = DCB (Subtraktion enstsprechender Winkel aus 4. und 5.)

q.e.d. Wo liegt der Fehler ??? ;-)

zugeschickt von Tomi Cvetic ....herzlichen Dank!

schon mal versucht, so zu kürzen?
`16₌1 64 4`	`19₌1 95 5`	`26₌2 65 5`	`49 ₌ 4 ₌ 1 98 8 2`
`41³ + 25³ 41 + 25 ---------- = ---------- 41³ + 16³ 41 + 16`		`81³ + 18³ 81 + 18 ---------- = -------- 81³ + 63³ 81 + 63`
`9 - 25 ₌ 9 25 6 + 10 6 10 8 - 50 ₌ 8 50 2 + 5 2 5`		`121 - 64 ₌ 121 64 55 + 40 55 40`

Man sollte eigentlich im Leben niemals die gleiche Dummheit zweimal machen, denn die Auswahl ist so groß.

Bertrand Russell (1872 - 1969)

Es gibt zwei gefährliche Abwege: die Vernunft schlechthin abzulegen und außer der Vernunft nichts anzuerkennen.

Blaise Pascal (1623 - 1662)

meine Seiten kann man

auch ¨durchblättern¨



	Elefant und Mücke wiegen gleich viel ;-) Ich beweise es euch: Eine Mücke und ein Elefant wiegen gleich viel !?! das Gewicht des Elefanten beträgt x Das Gewicht der Mücke beträgt y Beide zusammen wiegen 2v Also ergeben sich automatisch zwei Gleichungen: x - 2v = -y x = -y + 2v Wir multiplizieren die linken und die rechten Seiten der beiden Gleichungen miteinander: x * x - 2vx + v * v = y * y - 2vy + v * v oder: (x - v) (x - v) = (y - v) (y - v) Wenn wir nun die Quadratwurzeln aus beiden Seiten ziehen , erhalten wir: x - v = y - v x = y Elefant = Mücke zugeschickt von Friederike Ernst...danke!

1 = 2 `a = b \|* a a² = ab \|- b² a² - b² = ab - b² (a + b)(a-b) = b (a-b) \| /(a - b) a + b = b [ da a = b ist, ist a + b = 2b ] 2b = b \| / b 2 = 1`zugeschickt von Hartmut Höllwarth /HTW-Dresden ...danke!

	Unfug mit binomischen Formeln ;-) `-6 = -6 4 - 10 = 9 - 15 4 - 10 + 6 1/4 = 9 - 15 + 6 1/4 2² - 225/2 + (5/2)²= 3² - 235/2 + (5/2)² (2 - 5/2)²= (3 - 5/2)² 2 - 5/2 = 3 - 5/2 2 = 3`
2 = 3 `Wenn a + b = c dann ist auch: 3a - 2a + 3b - 2b = 3c - 2c folglich ist: 3a + 3b - 3c = 2a + 2b - 2c nach dem Ausklammern erscheint: 3(a + b - c) = 2(a + b - c) geteilt durch (a+b-c): 3 = 2` `zugeschickt von Jörg Ackermann - danke!`		ein - gebrochen: `1 = 1 4 5 --- = --- 4 5 1 1 4 * --- = 5 * --- 1 1 4 = 5` `q.e.d.`

	wo liegt die Wurzel des Problems: `Setzte X=3 und Y=4 : X+Y = 7 \|(X-Y) (X+Y)(X-Y) = 7*(X-Y) X²+XY-XY-Y² = 7X-7Y \|+Y²-7X X²-Y²+Y²-7X = 7X-7Y+Y²-7X X²-7X = Y²-7Y \|+49/4 X²-7X+49/4 = Y²-7Y +49/4 (X-7/2)² = (Y-7/2)² \|Wurzel ziehen -7/2 = Y-7/2 \|+7/2 X = Y 3 = 4 q.e.d.` zugeschickt von Sascha....vielen Dank !

	4 =5 `-20 = -20 16 - 36 = 25 - 45 16 - 36 + (9/2)² = 25 - 45 + (9/2)² (4 - (9/2))² = (5 - (9/2))² 4 - (9/2) = 5 - (9/2) 4 = 5 q.e.d.` zugeschickt von koop-mathematik.uni-freiburg.de ...danke! auch die Umkehrung gilt: `4 = 5 4 - 9/2 = 5 - 9/2 (4 - 9/2)² = (5 - 9/2)² 16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4 16 - 36 = 25 - 45 -20 = -20 w.z.b.w.` diese Version des Beweises hat mir "Ijon Tichy" zukommen lassen ... danke !

5 = 7 `5 + 2 = 7 5 * (5 + 2) = 5 * 7 25 + 10 = 35 25 + 10 - 35 = 35 - 35 25 + 10 - 35 = 35 - 35 - 14 + 14 25 + 10 - 35 = 35 + 14 - 49 5 * (5 + 2 - 7) = 7 * (5 + 2 - 7) 5 = 7 q.e.d`

zwei beliebige Zahlen sind gleich ;-) `a = b + c a (a - b) = (b + c) (a - b) a² - ab = ab - b² + ac - bc \|-ac a² - ab - ac = ab - b² - bc a (a - b - c) = b (a - b - c) a = b` von koop-mathematik.uni-freiburg.de danke Andreas!