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64 Schachfelder
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Ein
Schachbrett: hat 8*8 Felder.
Es gibt 8*8=64 verschiedene Rechtecke
und Quadrate zum Ausfüllen der Fläche
Formen der Rechtecke und Quadrate mit denen man das Schachfeld
füllen kann:
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... |
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1*1
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1*2
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1*3
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1*8
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... |
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| 2*1 |
2*2 |
2*3 |
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2*8 |
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| ... |
... |
... |
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... |
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... |
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| 8*1 |
8*2 |
8*3 |
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8*8 |
| Das 1*1 Quadrat lässt
sich in jeder Reihe 8 mal einsetzten. |
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Es gibt 8 Reihen, also gibt es
|
8*8=64 Möglichkeiten. |
| Das 1*2 Rechteck lässt
sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Arten einsetzten. |
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Es gibt 8 Reihen, also gibt es
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8*7=56 Möglichkeiten. |
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... |
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| Das 1*8 Rechteck lässt
sich in jeder Reihe auf 1 verschiedene Art einsetzten. |
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Es gibt 8 Reihen, also gibt es
|
8*1=8 Möglichkeiten. |
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Das 2*1 Rechteck lässt
sich in jeder Reihe auf 8 verschiedene Arten einsetzten.
Aber da es über 2 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur
jeweils 7 mal einsetzen. |
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Also gibt es |
7*8=56 Möglichkeiten. |
Das 2*2 Quadrat lässt
sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Arten einsetzten.
Aber da es über 2 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur
jeweils 7 mal einsetzen. |
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Also gibt es |
7*7=49 Möglichkeiten. |
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... |
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Das 8*1 Rechteck lässt
sich in jeder Reihe auf 8 verschiedene Art einsetzten.
Aber da es über 8 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur
jeweils 1 mal einsetzen. |
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Also gibt es |
1*8=8 Möglichkeiten |
Das 8*2 Rechteck lässt
sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Art einsetzten.
Aber da es über 8 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur
jeweils 1 mal einsetzen. |
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Also gibt es |
1*7=7 Möglichkeiten |
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... |
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| Das 8*8 Rechteck lässt
sich nur auf 1 verschiedene Art einsetzten, da es über 8
Reihen geht. |
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Also gibt es |
1*1=1 Möglichkeit |
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Die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit von der
Fläche
1.Zeile Länge mal Breite des Rechtecks/Quadrats
2.Zeile Anzahl der Möglichkeiten
als Produkt der vertikalen und der horizontalen Möglichkeiten.
| 1*1 |
1*2 |
1*3 |
1*4 |
1*5 |
1*6 |
1*7 |
1*8 |
Summe: |
| 8*8 |
8*7 |
8*6 |
8*5 |
8*4 |
8*3 |
8*2 |
8*1 |
=8*(4*9) |
| 2*1 |
2*2 |
2*3 |
2*4 |
2*5 |
2*6 |
2*7 |
2*8 |
Summe: |
| 7*8 |
7*7 |
7*6 |
7*5 |
7*4 |
7*3 |
7*2 |
7*1 |
=7*(4*9) |
| 3*1 |
3*2 |
3*3 |
3*4 |
3*5 |
3*6 |
3*7 |
3*8 |
Summe: |
| 6*8 |
6*7 |
6*6 |
6*5 |
6*4 |
6*3 |
6*2 |
6*1 |
=6*(4*9) |
| 4*1 |
4*2 |
4*3 |
4*4 |
4*5 |
4*6 |
4*7 |
4*8 |
Summe: |
| 5*8 |
5*7 |
5*6 |
5*5 |
5*4 |
5*3 |
5*2 |
5*1 |
=5*(4*9) |
| 5*1 |
5*2 |
5*3 |
5*4 |
5*5 |
5*6 |
5*7 |
5*8 |
Summe: |
| 4*8 |
4*7 |
4*6 |
4*5 |
4*4 |
4*3 |
4*2 |
4*1 |
=4*(4*9) |
| 6*1 |
6*2 |
6*3 |
6*4 |
6*5 |
6*6 |
6*7 |
6*8 |
Summe: |
| 3*8 |
3*7 |
3*6 |
3*5 |
3*4 |
3*3 |
83*2 |
3*1 |
=3*(4*9) |
| 7*1 |
7*2 |
7*3 |
7*4 |
7*5 |
7*6 |
7*7 |
7*8 |
Summe: |
| 2*8 |
2*7 |
2*6 |
2*5 |
2*4 |
2*3 |
2*2 |
2*1 |
=2*(4*9) |
| 8*1 |
8*2 |
8*3 |
8*4 |
8*5 |
8*6 |
8*7 |
8*8 |
Summe: |
| 1*8 |
1*7 |
1*6 |
1*5 |
1*4 |
1*3 |
1*2 |
1*1 |
=1*(4*9) |
Summe der Summen :
8*4*9 + 7*4*9 + 6*4*9 + 5*4*9 + 4*4*9 + 3*4*9 + 2*4*9 + 1*4*9
= (4 * 9) * ( 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
= (4 * 9) * ( 4 * 9 ) = 1296
davon Quadrate:
| 1*1 |
2*2 |
3*3 |
4*4 |
5*5 |
6*6 |
7*7 |
8*8 |
Quadrate |
| 8*8 |
7*7 |
6*6 |
5*5 |
4*4 |
3*3 |
2*2 |
1*1 |
|
|
| 64 |
+49 |
+36 |
+25 |
+16 |
+9 |
+4 |
+1 |
= |
204 |
Rechtecke = Gesamtanzahl minus Anzahl der Quadrate:
| Anzahl |
Gesamt |
Quadrate |
Rechtecke |
| |
1296 |
204 |
1092 |
Hinweis:
beim Bilden der Summen wurden folgende Gesetzmäßigkeiten angewandt:
-
Ausklammern gleicher Faktoren:
z.B: 8*8 + 8*7 + 8*6 + 8*5 + 8*4 + 8*3 + 8*2 + 8*1
= 8* ( 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
-
Summe von arithmetischen Reihen:
Die Hälfte der Anzahl der Glieder
mal die Summe aus dem ersten und dem letzten Glied
z.B. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 8/2 * (8+1)
= 4 * 9
 |
