DENKmal Loesungen Teil 2

DENK m a l (2)
+ + + Lösungen der Aprilaufgaben + + +

10 Lösungen zu Aufgaben, bei denen man schon
ein klein wenig rechnen oder knobeln musste ;-)

Lösung zur 1.

| | / _| \ /\ |\ \ | | \ \ | | \ \ | \ ? x| \ L=4 m | \ | _|_____ \ \ | | | \ \ | | | \ \/ \/ |_____|___\__ <-1m-> y
In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand ?
(Exakte Lösung bevorzugt !)
1. Strahlensatz: x : 1 = (1 + x) : (1 + y) x = 1/y bzw. y = 1/x 2. Satz des Phythagoras: (1 + x)² + (1 + y)² = L² 1 + 2x + x² + 1 + 2y + y² = L² 1 + 2x + x² + 1 + 2/x + (1/x)²= L²
Lösungsmöglichkeit 1: ( Gleichung 4.Grades) x² + 2x + 2 + 2/x + (1/x)² = L² mit L = 4: x² + 2x + 2 + 2/x + (1/x)² = 16 x⁴ + 2x³ - 14x² + 2 x + 1 = 0 x₁ = 2,7609 x₃ = -0,2033 x₂ = 0,3622 x₄ = -4,9198 (Lösung 3 u. 4 entfällt, da neg. Werte) Für die Gesamthöhe ergibt sich dann: 1 + 2,7609 = 3,7609 m oder 1 + 0,3622 = 1,3622 m !

Die Leiter kann so an die Wand gestellt werden, dass sie diese in 3,76 m berührt oder in 1,36m.

Lösungsmöglichkeit 2: ( Gleichungen 2.Grades) x² + 2 + (1/x)² + 2x + 2/x = L² (x + 1/x)² + 2*(x + 1/x) = L² Hilfsgröße s mit : s = x + 1/x es ergeben sich folgende quadratische Gleichungen: s² + 2 s - L² = 0 s_1/2 = -1 +/- 1+L² und: x + 1/x = s x² + 1 = s x x² - s x + 1 = 0 x_1/2 = - s/2 +/- (s/2)²-1

Für eine Leiterlänge von L = 4m ergibt sich dann: s_1/2 = -1 +/- 1+16 s₁ = 3,1231... [s₂ = entfällt, da negativ] x_1/2 = - s/2 +/- (s/2)²-1 x_1/2 = - 3,1231/2 +/- (3,1231/2)²-1 x₁ = 2,7609 x₂ = 0,3622

Zu diesen Werten muss die Kantenlänge der Kiste von 1m zugerechnet werden. Die Leiter kann so an die Wand gestellt werden, dass sie diese in 3,76 m oder in 1,36m berührt.

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Lösung zur 2.

Robert ist 28 Jahre alt und damit doppelt so alt, wie Walter war, als Robert so alt war, wie Walter heute ist.
Wie alt ist Walter?

Lösung:
heute: Robert ist 28 Jahre und Walter n Jahre vor x Jahren: Robert ist n Jahre und Walter 14 Jahre (28/2) 28 - x = n 14 + x = n 28 - x = 14 + x x = 7 Vor 7 Jahren war Walter 14 Jahre und Robert 21 Jahre, das Alter, welches Walter heute hat; und somit ist Walter jetzt 21 Jahre alt.

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Lösung zur 3.

Wie viel war die eine anfangs kürzer als die andere? Lösung: x Länge der längeren Kerze brennt in einer Stunde: x : 3 1/2 = 2/7 x nach 2 Stunden : 2 * 2/7x = 4/7 x (runtergebrannt) -> 3/7 x (übrig) y Länge der kürzeren Kerze brennt in einer Stunde: y : 5 = 1/5 y nach 2 Stunden : 2 * 1/5y = 2/5 y (runtergebrannt) -> 3/5 y (übrig) nach 2 Stunden gleiche Länge: 3/5 y = 3/7 x y = 5/7 x Die Länge der kürzere Kerze beträgt 5/7 der anderen Kerze.

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Lösung zur 4.

Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit hat er die Gesamtstrecke zurückgelegt ? gesamte Strecke : 240 km + 240 km = 480 km Geschwindigkeit : 240 km : 120 km/h + 240 km : 80 km/h = 2 h + 3 h = 5 h 480 km : 5 h = 96 km/h Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt also 96 km/h .

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Lösung zur 5.

Wenn der Raddampfer 8 Tage vor dem Schraubendampfer ausgelaufen ist, wie viele Tage muss der Raddampfer dann noch fahren, nachdem er vom Schraubendampfer überholt wurde? s ist die zurückgelegte Strecke. Tagesgeschwindigkeit des Raddampfers: s / 40 (Tage) 8 Tage Vorsprung des Raddampfers: 8 * s / 40 = s / 5 Tagesgeschwindigkeit des Schraubendampfers: s / 30 (Tage) täglich aufgeholter Vorsprung: s / 30 - s / 40 = s / 120 Zeit, die zum Aufholen nötig ist: ( s / 5 ) : ( s / 120 ) = 24 (Tage) daraus folgt: am 24. Tag holt der Schraubendampfer den Raddampfer ein; da war der Raddampfer 24 Tage + 8 Tage = 32 Tage unterwegs. Es bleiben dann noch 40 - 32 = 8 Tage für die restliche Fahrt. Der Raddampfer muss nach dem Überholen noch 8 Tage fahren.

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Lösung zur 6.

Welche Zeit zeigt die Armbanduhr um 19:00 Uhr beim Ton des Zeitzeichens?

Die Armbanduhr zeigt nicht die genaue Zeit an !
Begründung:
genaue Zeit:
1 h = 60 Min
Wanduhr 58 (Min.)
Tischuhr 58 * 62 / 60 (Min.)
Wecker (58 * 62 / 60 ) * 58 / 60 (Min.)
Armbanduhr ((58 * 62 / 60 ) * 58 / 60) * 62 / 60 (Min.) = 59,86 Min.
--> die Armbanduhr geht pro Stunde ca. 0,14 Min. nach ,
d.h. nach 7 Stunden sind das 7 * 0,14 = 0,98 Minuten (ca. 1 Min).

die Armbanduhr zeigt um 19:00 Uhr erst 18:59 Uhr an.

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Lösung zur 7.

Finde heraus, ob es mehr Anglisten unter den Jungen gibt, als Nichtanglisten unter den Mädchen!
Um wie viel unterscheiden sich diese beiden Zahlen?

J(e) sei die Zahl der Englisch lernenden Jungen; für die Zahl der Englisch lernenden Mädchen M(e) ergibt sich dann:
M(e) = 30 - J(e)
dann gilt für die nicht Englisch lernenden Mädchen
M(a): M(a) = 24 - (30 - J(e))
M(a) = J(e) - 6

Die Anzahl der Englisch lernenden Jungen ist um 6 höher als die Anzahl der nicht Englisch lernenden Mädchen.

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Lösung zur 8.

Wenn sich unsere beiden Walfische um 9:00 Uhr getrennt und um 10:00 Uhr wieder getroffen haben, wie viel Uhr war es dann, als der schnellere umgekehrt ist?

t(1) : Zeit zwischen der Trennung und der Kehrtwende des schnelleren t(2) : Zeit zwischen der Kehrtwende und dem Zeitpunkt des erneuten Zusammentreffens Gleichung (I) es gilt: t(1) + t(2) = 60 ( Min ) Gleichung (II) der Weg: 6 * ( t(1) + t(2) ) = 10 t(1) - 10 t(2) aus Gl (I) folgt : 4 t(1) + 4 t(2) = 4 * 60 aus Gl (II) folgt : 4 t(1) - 16 t(2) = 0 --> 20 t(2) = 4 * 60 t(2) = 4 * 60 / 20 t(2) = 12 Min. Es ist 12 Minuten vor 10:00 Uhr oder 9:48 Uhr als der schnellere Walfisch umkehrt.

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Lösung zur 9.

Wie verhalten sich die beiden Durchschnittsgeschwindigkeiten der Eheleute zueinander? Es seien p(1) und p(2) die Pausenzeiten von Herrn bzw. Frau Wagner und es seien t(1) und t(2) ihre Fahrzeiten. Sie sind gleichzeitig abgefahren und angekommen --> p(1) + t(1) = t(2) + p(2) Gleichung (I) es ist bekannt: p(1) = t(2) / 3 Gleichung(II) und p(2) = t(1) / 4 Gleichung(III) (II) und (III) in (I) eingesetzt: t(2) / 3 + t(1) = t(2) + t(1) / 4 3/4 t(1) = 2/3 t(2) t(1) = 8/9 t(2) t(2) = 9/8 t(1) v = s/t v(1) = s / t(1) v(2) = s / t(2) v(1) : v(2) = s / t(1) : s / 9/8 t(1) v(1) : v(2) = 9 : 8 Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Frau Wagner entspricht dann acht Neuntel der ihres Mannes.

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Lösung zur 10.

Um wie viel Prozent hat sich der Preis nach der zweiten Veränderung gegenüber dem ursprünglichen Verkaufspreis geändert? P(1) = 100% P(2) = 110% von 100% P(2) = 1,1 * 100% P(2) = 110% P(3) = 90% von 110% P(3) = 0,9 * 110 % P(3) = 99% Der Verkaufspreis hat sich insgesamt um 1% verändert;
die Ware ist 1% billiger als ursprünglich.

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Wann ist die Freude amgrößten?
Wenn Du das Gewünschte erreichst.

Thales von Milet (ca 624 -548 v.u.Z.)

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Lösung zur 1.
\| \| / _\| \ /\ \|\ \ \| \| \ \ \| \| \ \ \| \ ? x\| \ L=4 m \| \ \| _\|_____ \ \ \| \| \| \ \ \| \| \| \ \/ \/ \|_____\|___\__ <-1m-> y	In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand ? (Exakte Lösung bevorzugt !) `1. Strahlensatz: x : 1 = (1 + x) : (1 + y) x = 1/y bzw. y = 1/x 2. Satz des Phythagoras: (1 + x)² + (1 + y)² = L² 1 + 2x + x² + 1 + 2y + y² = L² 1 + 2x + x² + 1 + 2/x + (1/x)²= L²`