DENKmal Loesungen Teil 7

DENK m a l (7)
+ + + Lösungen der Maiaufgaben + + +

Lösungen zu Aufgaben, bei denen man
fast gar nicht rechnen aber knobeln musste ;-)

Lösung zur 1.

Der Fuchs und die Enten

der Fuchs sieht eigentlich nur 36 Enten..., denn es gilt:

Enten: e
Fuchs: f = 1
2*e + e/2 + e/4 + 1 = 100
8e + 2e + e + 4 = 400
e = 36

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Lösung zur 2.

umfüllen (2)

Tätigkeit               | E1=3-L-Eimer | E2=5-L-Eimer
-----------------------------------------------------
E2 füllen               |    0 L       |     5 L
E2 in E1 umgießen       |    3 L       |     2 L
E1 weggießen            |    0 L       |     2 L
E2 in E1 umgießen       |    2 L       |     0 L
E2 füllen               |    2 L       |     5 L
E2 zu E1 zugießen       |    3 L       |     4 L

geschafft...in genau 6 Schtitten...hurra!!!

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Lösung zur 3.

Licht im Tunnel

Zuerst gehen die beiden Schnellsten. 2 min

Einer wartet und der andere geht zurück
(dabei ist es egal ob der schnellste geht oder bleibt) 1 min 2 min

Dieser übergibt die Lampe, wartet und lässt die beiden Langsamsten gehen 5 min

der Zweitschnellste (oder Schnellste) kommt zurück 2 min 1 min

und holt den anderen ab,
um mit ihm noch einmal durch den Tunnel zu gehen 2 min

Das macht genau 12 min !!!

Za, Zb, Zc, Zc, Zd :benötigte Zeit von Person a, Person b....

Annahme:   Za <= Zb <= Zc <= Zd
benötigte Zeit
zwei hin        Za und Zb      Zb
einer zurück           Za    + Za
zwei hin        Zc und Zd    + Zd
einer zurück           Zb    + Zb
zwei hin        Za und Zb    + Zb
                               Za+3Zb+Zd
Damit nicht das Licht ausgeht muss gelten:
                  Za+3Zb+Zd < Za + Zb + Zc + Zd
                         Zb < Zc/2
Die zweitschnellste Person muss doppelt 
so schnell wie die drittschnellste Person sein.

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Lösung zur 4.

Springer auf dem Schachfeld

Es fehlen die gegenüberliegenden Ecken, die auf einem Schachbrett immer die gleiche Farbe haben. Es fehlen also 2 Felder der gleichen Farbe, das bedeutet. von 64 Feldern sind o.B.d.A. 32 Felder weiß und 30 Felder schwarz. $kaputtes Schachbrett$

Ein Springerzug, der auf einem weißen Feld startet endet immer auf einem schwarzen Feld und umgekehrt.
Aus diesen Bedingungen folgt nun, dass es keine Möglichkeit gibt, mit einem Springer auf alle Felder zu springen, ohne einige Felder doppelt zu besuchen.

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Lösung zur 5.

doppelt großer Badespaß

Ausgangsfigur ist ein Quadrat (dunkelblau); die vier Eckpunkte (an den grünen Baumsymbolen) müssen Teil des neuen, doppelt so großen, Quadrates werden.
Man stellt sich nun vor, dass die Diagonalen das Quadrat in 4 rechtwinklige Dreiecke teilt und jedes dieser Dreiecke wird nun seiner Hypotenuse (=Seite des Ausgangsquadrates ) gespiegelt. $See$

Die entstehende Figur ist dann doppelt so groß , ein Quadrat und die vorherigen Eckpunkte bleiben, als Mittelpunkte der neuen Seiten, erhalten.

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Lösung zur 6.

Vorbemerkung:
(das ist eine der Aufgaben, die man mit gesundem Menschenverstand in Sekunden lösen kann, wenn man die Mathematik aber zur Hilfe nimmt, dann wird es kompliziert...;-)) )

also, ganz einfach ..
der Hund läuft doppelt so schnell wie sein Herrchen und Herrchen läuft 12 km, dann rennt der Hund 24 km.

Da fang ich lieber gar nicht mit einzelnen Wegstrecken an und gerate in die Brüche..;-))

(eine ähnliche Aufgabe ist auch im Denkmal Teil 4 Aufgabe 3)..

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Lösung zur 7.

Wann wird die Schnecke wohl oben ankommen?

Am 7. Tag!! , denn es gibt keinen Grund bis zum Abend zu warten, um wieder runterzurutschen. Lieber wird sie nach der Aktion auf die Suche nach einem leckeren Salatbeet gehen ;-))

  Rechnung:
  Brunnen 10 m tief 
  Tag:   klettert 4 m rauf
  Nacht: rutscht  3 m runter


Tag | klettert  |  rutscht    | Gesamt
----+-----------+-------------+--------
  1 | 0 + 4=  4 |  4 - 3=  1  |    1 m
  2 | 1 + 4=  5 |  5 - 3=  2  |    2 m
  3 | 2 + 4=  6 |  6 - 3=  3  |    3 m
  4 | 3 + 4=  7 |  7 - 3=  4  |    4 m
  5 | 4 + 4=  8 |  8 - 3=  5  |    5 m
  6 | 5 + 4=  9 |  9 - 3=  6  |    6 m
  7 | 6 + 4= 10 => ANGEKOMMEN!!!
--------------------------------------

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Lösung zur 8.

Wie viele Kinder (und wie alt)?

Die Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen: 72 = 2*2*2*3*3
dadurch gibt es 12 Möglichkeiten für ein Produkt aus 3 Zahlen..

begonnen mit 1, 1, 72 und 1, 2, 36 (beide etwas unwahrscheinlich )
bis zur Kombination 3, 4, 6.

1 (+) 1 (+) 72 (= 74) 1 (+) 2 (+) 36 (= 39) 1 (+) 3 (+) 24 (= 28) 1 (+) 4 (+) 18 (= 23) 1 (+) 6 (+) 12 (= 19) 1 (+) 8 (+) 9 (= 18)

2 (+) 2 (+) 18 (= 22) 2 (+) 3 (+) 12 (= 17) 2 (+) 4 (+) 9 (= 15) 2 (+) 6 (+) 6 (= 14) 3 (+) 3 (+) 8 (= 14) 3 (+) 4 (+) 6 (= 13)
2, 6, 6 und 3, 3, 8 haben beide die gleiche Summe 14, deshalb hilft die Hausnummer nicht weiter.
Wenn man nun aber davon ausgehen kann, dass es nur ein ältestes Kind geben kann, bleibt genau eine Lösung...

Das Alter ist : 3J., 3J., 8J.
PS: Schade, dass es für Mathematik keinen Nobelpreis gibt ;-))

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Lösung zur 9.

Kühe anordnen

der Bauer hat seine 40 Kühe so schön eingeteilt, dass er in jeder Himmelsrichtung 15 sieht.
das will er auch beibehalten wenn er 16 Kühe mehr hat.

Leider ist dann die Aufteilung nicht mehr ganz so symmetrisch:

   1 | 13 | 1 
  ------------ 
  13 |  B | 13 
  ------------ 
   1 | 13 | 1 

oder ein wenig symmetrischer: 

  1 | 6+1+6 | 1 
 --------------- 
  6 |       | 6 
  1 | Bauer | 1 
  6 |       | 6 
 --------------- 
  1 | 6+1+6 | 1

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Lösung zur 10.

Carola hat also 4 Teile zu je 3 Gliedern.

$Kette1$
$Kette2$

Geht man davon aus, dass an jedem Ende ein Teil aufgebogen und nach Verkettung wieder
zusammengelötet wird, muss man an 4 Gliedern hantieren und das kostet 8 Mark.

Es muss also einen sparsameren Weg geben:
Interessanter Weise besitzen die 4 Teile je 3 Glieder - und das ist der Schlüssel zum Glück!

Der Juwelier nimmt sich ein Teil vor und zerlegt es in seine 3 Kettenglieder, die er dazu benutzt die restliche Kette, die nun aus 3 Teilen besteht, zusammenzuketten und zu verlöten.

Preis: öffnen und verlöten von 3 Gliedern zu je 2 Mark = 6 Mark.

$Kette ganz$

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Lösung zur 11.

Alsterwasser

Einem Glas Bier stehen 1/2 + 1/3 + 1/6 Glas Limonade gegenüber:

     1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1
 
 => Die Mengen sind gleich.

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Lösung zur 12.

Wie breit ist der Rhein?

Wenn sich die Fähren zum ersten Mal treffen, haben sie zusammen gerade soviel Weges zurückgelegt, wie der Fluss breit ist. Wenn sie an dem gegenüberliegenden Ufer ankommen, ist die von beiden Schiffen zurückgelegte Strecke gerade zwei Flussbreiten lang, und wenn sie sich auf dem Rückweg treffen, haben beide Schiffe zusammen die dreifache Breite des Flusses durchfahren.
Da die Geschwindigkeiten konstant sind, muss die Strecke, die jede Fähre beim zweiten Treffen zurückgelegt hat, genau dreimal so lang sein wie der Weg, den sie durchfahren hatte, als die Schiffe sich auf dem Hinweg trafen. Zu diesem Zeitpunkt hatte das von A kommende Schiff 420 m, mithin beim zweiten Treffen 3 mal 420 m zurückgelegt.
Das sind 1260 m, und das müssen gerade 260 m mehr sein, als der Fluss breit ist, denn beim zweiten Treffen war jene Fähre bereits wieder 260 m vom Ufer B entfernt.
Somit ist der Rhein an dieser Stelle genau 1000 m breit.

Man kann es auch mit Formeln ausrechen, aber das ist viel komplizierter..;-))


       |                   |
       |                   |
  (F1) |  Rhein            | (F2)
    A  |-420-<>-(Rh-420)---| B
(10min)|                   |(10min)
       |-(Rh-260)--<>--260-|
  (F2) |                   | (F1)


F1= Fähre 1
v1= Geschw. von F1
v2= Geschw. von F2
s(p)= Weg von F1 bis zum
      ersten Treffen mit F2
t(p)= Zeit bis zum ersten Treffen
      (für F1 und F2 gleich)
Rh = Breite des Rhein (gesucht)


v1= s(p) / t(p)
v1= 420 / t(p)

v2= (Rh - s(p)) / t(p)
v2= (Rh - 420) / t(p)

v1    420 / t(p)
-- = ------------
v2    (Rh - 420) / t(p)

Gleichung (I)
v1    420
-- = ------------
v2    (Rh - 420)


Weg zwischen 1. und 2. Treffen:
Fähre1 : s(1w)
Fähre2 : s(2w)

s(1w)= (Rh - 420) + 260 = Rh - 160

s(2w)= 420 + (Rh - 260) = Rh + 160


t(w) Zeit vom 1. bis zum 2. Treffen:
(für beide Fähren gleich)

[t(w) =]  s(1w) / v1  = s(2w) / v2

v1 / v2 = s(1w) / s(2w)


Gleichung (II)
v1     Rh - 160
-- =  ------------
v2     Rh + 160


Gleichung (I) und (II) gleichgesetzt:

420 / (Rh - 420) = (Rh - 160) / (Rh + 160)
420 * (Rh + 160) = (Rh - 160) / (Rh - 420)

  420 * Rh + 420 * 160
= Rh * Rh - 160 * Rh - 420 * Rh + 420 * 160

0 = Rh * Rh - 1000 * Rh
0 = Rh * ( Rh - 1000)

Rh = 1000
(Rh = 0 entfällt, da der Rhein eine Breite hat)

Der Rhein ist also an der Stelle wo 
die beiden Fähren fahren 1000m breit.
(die Wartezeit der Fähren am Ufer ist dabei unerheblich

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Denken und Sein werden vom Widerspruch bestimmt.

Aristoteles von Stagira (384 -322 v.u.Z.)

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Zuerst gehen die beiden Schnellsten.	2 min
Einer wartet und der andere geht zurück (dabei ist es egal ob der schnellste geht oder bleibt)	1 min	2 min
Dieser übergibt die Lampe, wartet und lässt die beiden Langsamsten gehen	5 min
der Zweitschnellste (oder Schnellste) kommt zurück	2 min	1 min
und holt den anderen ab, um mit ihm noch einmal durch den Tunnel zu gehen	2 min
Das macht genau	12 min !!!

Es fehlen die gegenüberliegenden Ecken, die auf einem Schachbrett immer die gleiche Farbe haben. Es fehlen also 2 Felder der gleichen Farbe, das bedeutet. von 64 Feldern sind o.B.d.A. 32 Felder weiß und 30 Felder schwarz.	$kaputtes Schachbrett$
Ein Springerzug, der auf einem weißen Feld startet endet immer auf einem schwarzen Feld und umgekehrt. Aus diesen Bedingungen folgt nun, dass es keine Möglichkeit gibt, mit einem Springer auf alle Felder zu springen, ohne einige Felder doppelt zu besuchen.

Ausgangsfigur ist ein Quadrat (dunkelblau); die vier Eckpunkte (an den grünen Baumsymbolen) müssen Teil des neuen, doppelt so großen, Quadrates werden. Man stellt sich nun vor, dass die Diagonalen das Quadrat in 4 rechtwinklige Dreiecke teilt und jedes dieser Dreiecke wird nun seiner Hypotenuse (=Seite des Ausgangsquadrates ) gespiegelt.	$See$
Die entstehende Figur ist dann doppelt so groß , ein Quadrat und die vorherigen Eckpunkte bleiben, als Mittelpunkte der neuen Seiten, erhalten.