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Lösungen zum Sommerrätsel 1998

 

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Knobeln mit VIER mal VIER ;-))


 
Man stelle mit genau vier Vieren nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 usw. dar.
Erlaubt sind die 4 Grundrechenarten sowie Potenzbildung, Fakultät und Klammersetzung
Außerdem dürfen die Vieren auch "aneinander gehängt" werden, wie etwa bei "44" . Leider ist es unter diesen Bedingungen nicht möglich, alle Zahlen darzustellen.

Auch nachdem   .4 für 0,4 und W4 für Quadratwurzel aus 4 zugelassen wurden,
bleiben immer noch NEUN Lücken!

Gibt es wirklich keine Lösung für : 73, 77, 87, 103, 107, 113, 117 ?

DOCH!, dank Helmut Jörger  und der Verwendung von W4 lassen sich die Lücken bei 73, 77, 87, 103 schliessen.

. . . . .
   1 =   44 / 44
  (4 / 4) * (4 / 4)
  (4 * 4) / (4 * 4)
.   51=   (4! - 4 +  . 4 ) /  . 4
  (((4! - W4) /   .
 4) - 4)
.  101=   ((4 * 4!) + (W4 /  . 4))
  
   2 =   4 / 4 + 4 / 4
  ((44 + 4) / 4!)
  52 =   4 * 4! - 44
  44 + 4 + 4
 102 =   4 * 4! + 4! / 4
  
   3 =   (4 + 4 + 4) / 4
  (4 * 4 - 4) / 4
  53 =   ((4! + 4!) + (W4 /  . 4))
  
 103 =   44 : W4 + 4
   4 =   4 + (4 - 4) / 4
  (4! - 4 - 4) / 4
  54 =   4! + 4! + 4! / 4
  (44 + (4 /   .
 4))
 104 =   4 * 4! + 4 + 4
  ((4! /   .
 4) + 44)
   5 =   (4 * 4 + 4) / 4
  ((44 - 4!) / 4)
  55 =   (4! -  . 4 ) /  . 4 - 4
  44 / (  .
 4 +  . 4)
 105 =   ((44 - W4) /  . 4)
  
   6 =   4 + (4 + 4) / 4
  4! / 4 + 4 - 4
  56 =   4! + 4! + 4 + 4
  ((4 * (4 + 4)) + 4!)
 106 =   44 /  . 4 - 4
  
   7 =   44 / 4 - 4
  4 + 4 - 4/4
  57 =   (4! +  . 4 ) /   . 4 - 4
  (((4! -   .
 4) /   . 4) - W4)
 107 =     siehe unten
   8 =   4 + 4 + 4 - 4
  (4! + 4 + 4) / 4
  4 * 4 - 4 - 4
  (  .
 4 * (44 - 4!))
  58 =   (44 - 4!) / 4
  4 /  .
 4 + 4! + 4!
 108 =   (4 + 4!) * 4 - 4
  
   9 =   4 + 4 + 4 / 4
  
  59 =   4! /  . 4 - 4 / 4
  
 109 =   (44 -  . 4) /  . 4
  
  10 =   (44 - 4) / 4
  
  60 =   4 * 4 * 4 - 4
  4 * 4! / (  .
 4 * 4)
  44 + 4 * 4
 110 =   (4! + 4! - 4) /  . 4
  
  11 =   (4 + 4!) / 4 + 4
  (4! + 4! - 4) / 4
  ((4 /   .
 4) + (4 / 4))
  61 =   4! /  . 4 + 4 / 4
  ((4 / 4) + (4! /   .
 4))
 111 =   444 / 4
  
  12 =   (44 + 4) / 4
  
  62 =   (4! +   . 4 +  . 4 ) /   . 4
  
 112 =   4 * 4 + 4 * 4!
  
  13 =   4! - 44 / 4
  (4! + 4! + 4) / 4
  63 =   (44 - 4) / 4
  
 113 =     siehe unten
  14 =   4! / 4 + 4 + 4
  
  64 =   4! + 44 - 4
  4^(4 - 4 / 4)
 114 =   44 /  . 4 + 4
  
  15 =   4 * 4 - 4 / 4
  44 / 4 + 4
  65 =   (44 + 4) / 4
  
 115 =   ((44 + W4) /  . 4)
  
  16 =   (4 * 4 * 4) / 4
  4 + 4 + 4 + 4
  (44 - (4! + 4))
  66 =   (4 + 4!) /  . 4 - 4
  4! /  .
 4 + 4! / 4
  ((44 - W4) + 4!)
 116 =   4 * 4! + 4! - 4
  (4 + 4 / 4)! - 4
  (((4! + 4) * 4) + 4)  (4!+4)*4+4
  17 =   4 * 4  +  4 / 4
  
  ((4! + 44) / 4)
  67 =   (W4 + ((4! + W4) /  . 4))
  
 117 =     siehe unten
  18 =   (4! + 4! + 4!) / 4
  4! - (4 - 4 / 4)!
  (  .
 4 + (44 *   . 4))
  68 =   4! + 4! + 4! - 4
  (4 + (4 * (4 * 4)))
  4*4*4+4
 118 =   ((4 + (4 / 4))! - W4)
  
  19 =   4! - 4 - 4 / 4
  
  69 =   (4! + 4 -  . 4) /  . 4
  
 119 =   (4! + 4! -  . 4) /  . 4
  
  20 =   4 * (4 + 4 / 4)
  4! - 4 - 4 + 4
  70 =   (4 + 4)! / (4! * 4!)
  (4^4 + 4!) / 4
 120 =   (4 + 4 / 4) * 4!
  (4 + 4^(4 - 4))!
  ((4 + 44) /   .
 4)
  ((4*4+4)/4)!
  21 =   4! - 4 + 4 / 4
  
  71 =   (4! + 4 +  . 4) /  . 4
  
 121 =   (4! + 4! +  . 4) /  . 4
  ((44 / 4) ^ W4)
  22 =   4! - (4 + 4) / 4
  4! / 4 + 4 * 4
  (44 / (4 / W4))
  72 =   44 + 4 + 4!
  4! * (4 - 4 / 4)
  ((4 + 4!) + 44)
 122 =   4! + 4*4! + W4
  (((4 / 4) + 4)! + W4)
  23 =   (4 * 4! - 4) / 4
  4! - 4^(4 - 4)
  73 =   ( . 4-te W4 + W4) : W4  123 =   
  siehe unten!
  24 =   44 + 4 - 4!
  4! + (4 - 4)* 4
  74 =   (4 + 4!)/  . 4 + 4
  
 124 =   4 + 4! + 4 * 4!
  ((4 + (4 / 4))! + 4)
  25 =   (4 * 4! + 4) / 4
  4! + 4^(4 - 4)
   75 =   (4! / 4 + 4!) /  . 4
  
 125 =   (4! - 4) / (  . 4 *  . 4)
  
  26 =   4! + (4 + 4) / 4
  
  76 =   4! + 4! + 4! +4
  (((4! - 4) * 4) - 4)
 126 =   4! / (  . 4 *  . 4) - 4!
  
  27 =   4! + 4 - 4 / 4
  
  77 =   4! : (W4 * W4) - 4  127 =   (44 - W4) / W4
  
  28 =   (4 * 4!) / 4 + 4
  4! + 4 + 4 - 4
  (44 - (4 * 4))
  78 =   (((4! - 4) * 4) - W4)
  
 128 =   (4 + 4 + 4!) * 4
  
  29 =   4! + 4 + 4 / 4
  
  79 =   (4! - ((W4 - 4!) /  . 4))
  
     
  
  30 =   (4 * 4! + 4!) / 4
  (4 + 4 / 4)! / 4
  (((4 + 4) + 4) /   .
 4)
  80 =   4 * 4! - 4 * 4
  (44 - 4!) * 4
     
  
  31=   4! + (4! + 4) / 4
  ((4! / 4)! + 4!) / 4!
  81=   (4 - 4 / 4)^4
  (((4 / 4) - 4) ^ 4)
     
  
  32 =   4 * 4 + 4 * 4
  ((4 ^ 4) / (4 + 4))
  82 =   ((4 * (4! - 4)) + W4)
  
     
  
  33 =    (4 -  . 4 ) /  . 4 + 4!
  
  83 =   (4! -  . 4) /  . 4 + 4!
  
     
  
  34 =   4! + 4! / 4 + 4
  (44 - (4 /   .
 4))
  (4!/4)!/4!+4
  84 =   (4! - 4) * 4 + 4
  
     
  
  35 =   4! + 44 / 4
  
  85 =   (4! +  . 4) /  . 4 + 4!
  (((4 /   .
 4) + 4!) /   . 4)
     
  
  36 =   4 + 4 + 4 + 4!
  44 - 4 - 4
  86 =   44 /  . 4 - 4!
  
     
  
  37 =   (4! +  . 4 ) /  . 4 - 4!
  

  (4! + ((W4 + 4!) / W4))
  87 =   4 * 4! - 4 : W4      
  
  38 =   44 - 4! / 4
  
  88 =   4 * 4! - 4 - 4
  44 + 44
     
  
  39 =   4! / 4 /  . 4  + 4!
  (4 * 4 -  . 4) /  . 4 
  89 =   (((4! + W4) /  . 4) + 4!)
  
     
  
  40 =   4 * 4 * 4 - 4!
  4! + 4! - 4 - 4
  90 =   4 * 4! - 4! / 4
  
     
  
  41 =   (4 * 4 +  . 4) /  . 4
  Wurzel aus:(((4 + 4)! + 4!) / 4!)
  91 =   ((4! * 4) - (W4 /  . 4))
  
     
  
  42 =   4! + 4! - 4! / 4
  ((W4 + 44) - 4)
  92 =   44 + 4! + 4!
  4*(4!-4/4)
     
  
  43 =   44 - 4 / 4
  
  93 = siehe unten      
  
  44 =   4 / 4 * 44
  44 + 4 - 4
  94 =   (4 + 4!) /  . 4 + 4!
  (4! -  .
 4) * 4 -  . 4 
     
  
  45 =   44 + 4 / 4
  
  95 =   4 * 4! - 4 / 4
  
     
  
  46 =   (4 + 4!) /  . 4  - 4!
  ((44 - W4) + 4)
  96 =   4 * 4! + 4 - 4
  4! + 4! + 4! + 4!
  (4! / (4 / (4 * 4)))
     
  
  47 =   4! + 4! - 4 / 4
  
  97 =   4 * 4! + 4 / 4
  
     
  
  48 =   4! + 4! + 4 - 4
  4! * (4 + 4)/ 4
  (4 * ((4 + 4) + 4))
  98 =   (4! +  . 4) * 4 +  . 4
  
     
  
  49 =   4! + 4! + 4 / 4
  
  99 = siehe unten      
  
  50 =   4! / 4 + 44
  
 100 =   (4 / 4 + 4!) * 4
  ((44 - 4) /   .
 4)
     
  
 neu    93 =   4! * (4 - sqrt( sqrt(sqrt(sqrt( 4(-4!) ))))
 neu    99 =   4! * (4 + sqrt(sqrt(sqrt(sqrt( 4(-4!) ))))
 neu   123 =  sqrt( sqrt(  sqrt(  ( sqrt( 4) / .4)4! )))  sqrt( 4)
 neu 107 =  G(G(4)) - (4! + sqrt( 4) )  / sqrt( 4)    *
 neu 113 =  G(G(4)) - G(4+4) / (G(4)!)   *
 neu 117 =  (G(4)!)/G(4) - G(4) / sqrt( 4)   *
    *    G(n) die Gamma-Funktion.
. . . . .
Zeichenerklärung:
 +   Addition                  -   Subtraktion
 *   Multiplikation      : bzw. /  Division
x4   4 als Exponent      sqrt(4)   Quadratwurzel aus 4
^4   4 als Exponent      W4        Quadratwurzel aus 4
4!   Fakultät
.4   Null-Komma-Vier     0,4P        0,4444444444..... [= 4/9]
G(n) Gamma-Funktion

Die Lösungen verdanken wir:

Dietmar Viertel (Lösung für 107,113 und 117) unter Mithilfe von http://matheplanet.com/
Axel Brand ( 104 Lösungen),
Matthias Wanschura (67 Lösungen unter alleiniger Verwendung der Standardbedingungen),
Peter Niebling (1 Lösung für 120).
Andreas Dubach 100 Lösungen, ( davon 29 neue - womit unter anderem auch 3 Löcher geflickt werden konnten)
Dr. Axel Kowald fand eine Lösung für 122
Uwe Brach hat weitere 116 Lösungen gefunden (47 neue Lösungen -damit sind 11 weitere Lücken gefüllt )
Januar '99 :   Heiner Marxen hat einige seiner Lösungen mitgeschickt (für 93, 99, 123, 127), auf seiner Homepage  findet man weitere interessante Beispiele zu Zahlenproblemen.
Juli '99 :   Helmut Jörger hat weitere 4 Lösungen gefunden indem er die 0,4P mit einbezieht (damit sind dieLücken von 73, 77, 87 und 103 gefüllt )


Die Lösungen, die sich überschnitten haben, wurden nur einmal aufgeführt, auch unter Berücksichtigung der Kommutativität und Assoziativität!

Anmerkung: (von Stefan Schwarz)

J E D E nat. Zahl kann man mit Hilfe von 4 Vieren darstellen!
Vorrausgesetzt, es werden auch Logarithmen (z.B. den natürlichen - ln) erlaubt.

Wie soll das gehen?

Nehmen wir an, wir wollen die Zahl n darstellen.
Wir nehmen eine 4 und ziehen daraus n mal die Wurzel. also

sqrt(sqrt(...sqrt(4)...))
Das Ergebnis ist 4^((1/2)^n).
Die logarithmieren wir und teilen durch ln(4) und erhalten
(1/2)^n = 2^(-n)
Erneutes Logarithmieren und teilen durch ln(sqrt(4)) ergibt -n.
Es gilt also:

n = - LN[ln{sqrt(sqrt(...sqrt(4)...))}/ln(4)] / LN(sqrt(4))

Tatsächlich haben wir nur 3 Vieren verbraucht. Wenn wir Wert auf die Verwendung der vierten Vier legen, können wir an beliebiger Stelle 4 durch sqrt(4*4) ersetzen.

Ehrlicherweise muss ich zugeben, dass dieses Prinzip auch nicht auf "meinem Mist gewachsen" ist.
Eine ähnliche Aufgabe stellte die Jenaer Zeitschrift für Mathematik "Wurzel" zum Jahreswechsel 1999 und einer der Leser sandte eine ähnliche Lösung ein.

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© Karin S., August 1998 last update Okt. '98